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第一节 平面向量的概念与线性运算


第一节 平面向量的概念与线性运算 1.向量的有关概念 3.向量的线性运算 (1)加法 ①法则 → → → 三角形法则:已知向量 a、b,在平面上任取一点 A,作AB=a,BC=b,则AC=a+b 叫 做 a 与 b 的和. → → 平行四边形法则:已知向量 a、b,在平面上任取一点 A,作AB=a,AD=b,以 AB,AD → 为邻边作平行四边形 ABCD,则AC=a+b 为向量 a 与 b 的和. ②运算性质:

a+b=b+a(交换律);
(a+b)+c=a+(b+c)(结合律);

a+0=0+a=a.

(2)减法 ①法则:三角形法则如右图所示 ②减去一个向量等于加上这个向量的相反向量. (3)实数与向量的积 ①定义:实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,记作 λ a. 1°|λ a|=|λ ||a|; 2°当 λ >0 时,λ a 与 a 的方向相同;当 λ <0 时,λ a 与 a 的方向相反;当 λ =0 时, λ a=0. ②运算律:设 λ ,μ ∈R,则: 1°λ (μ a)=(λ μ )a; 2°(λ +μ )a=λ a+μ a; 3°λ (a+b)=λ a+λ b. 4.共线向量定理:向量 b 与 a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数 λ ,使得 b =__. [例 1] 给出下列六个命题: ①两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同; ②若|a|=|b|,则 a=b;

→ → ③若AB=DC,则四点 A、B、C、D 构成平行四边形; → → ④在?ABCD 中,一定有AB=DC; ⑤若 m=n,n=p,则 m=p; ⑥若 a∥b,b∥c,则 a∥c. 其中不正确的个数是( A.2 C.4 B.3 D.5 )

1 [例 2] 如图,在△OAB 中,延长 BA 到 C,使 AC=BA,在 OB 上取点 D,使 DB= OB,DC 3 → → → → 与 OA 交于 E,设OA=a,OB=b,用 a,b 表示向量OC,DC.

→ 1→ → 1→ → → 平行四边形 OADB 的对角线交点为 C,BM= BC,CN= CD,OA=a,OB=b,用 a、b 表示 3 3 → → → OM、ON、MN.

→ → → 1.(2011·合肥二检)若AB=(2,4),AC=(1,3),则BC=( A.(1,1) B.(-1,-1) C.(3,7) D.(-3,-7)

)


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