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35专题三十五 直线、平面垂直的判定及其性质


专题三十五 直线、平面垂直的判定及其性质 【考点分析】 垂直是立体几何的必考题型,几乎每年都会在解答题中出现,所以直线、平面垂直的问 题是高考的热点,也是我们复习的重点内容,纵观历年来的高考题,立体几何中没有难度过 大的题,所以复习要抓好三基:基础知识,基本方法,基本能力. 主要考查方式有以下几种:一是利用直线与平面垂直的判定与性质定理证明线面垂直; 二是采用平面与平面垂直的判定与性质定理证明面面垂直;三、利用线面垂直、面面垂直证 明线面垂直.主要要学会应用“化归思想”进行“线线问题、线面问题、面面问题”的互相 转化. 【基础再练】 1. 如图, 已知 PA⊥平面 ABC, BC⊥AC, 则图中直角三角形的个数为________. 解析:由线面垂直知,图中直角三角形为 4 个. 答案:4 个. 2.(2014· 盐城一调)已知平面 α,β,γ,直线 l,m 满足 α⊥γ,γ∩α=m,γ∩β=l, l⊥m,那么:①m⊥β;②l⊥α;③β⊥γ;④α⊥β.由上述条件可推出的结论有________(填序 号). 解析:由条件知 α⊥γ,γ∩α=m,l? γ,l⊥m,则根据面面垂直的性质定理有 l⊥α,即②成 立;又 l? β,根据面面垂直的判定定理有 α⊥β,即④成立. 答案:②④ 3.(2014· 常州期末)给出下列四个命题: (1)“直线 a∥直线 b”的必要不充分条件是“a 平行于 b 所在的平面”; (2)“直线 l⊥平面 α”的充要条件是“l 垂直于平面 α 内的无数条直线”; (3)“平面 α∥平面 β”是“α 内有无数条直线平行于平面 β”的充分不必要条件; (4)“平面 α⊥平面 β”的充分条件是“有一条与 α 平行的直线 l 垂直于 β”. 上述命题中,所有真命题的序号为________. 解析:(1)是既不充分也不必要条件;(2)是充分不必要条件,即“直线 l⊥平面 α”可得“l 垂直 于平面 α 内的无数条直线”,反之不成立;(3)(4)正确. 答案:(3)(4) 4.如图所示,在四棱锥 P ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,且底面各边都相等,M 是 PC 上的一动点,当点 M 满足________时,平面 MBD⊥平面 PCD.(只要填写一个 你认为是正确的条件即可) 解析:由定理可知,BD⊥PC. ∴当 DM⊥PC(或 BM⊥PC)时,即有 PC⊥平面 MBD. 而 PC? 平面 PCD,∴平面 MBD⊥平面 PCD. 答案:DM⊥PC(或 BM⊥PC 等) 【经典导引】 题型一:直线与平面垂直的判定与性质 【知识回顾】 1.判定直线和平面垂直的方法: ①定义法:a 与 α 内任何直线都垂直?a⊥α; ②利用判定定理: 如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直, 则这条直线与这个平面垂直; ③推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直于这个平面. 2.直线和平面垂直的性质:
1

①直线垂直于平面,则垂直于平面内任意直线; ②垂直于同一个平面的两条直线平行; ③垂直于同一直线的两平面平行. 例 1:如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠ADC=45° , AD=AC=1,O 为 AC 的中点,PO⊥平面 ABCD. 证明:AD⊥平面 PAC. 证明: ∵∠ADC=45° ,且 AD=AC=1. ∴∠DAC=90° ,即 AD⊥AC, 又 PO⊥平面 ABCD,AD?平面 ABCD, ∴PO⊥AD,而 AC∩PO=O,∴AD⊥平面 PAC. 变式:如图,已知在直四棱柱

证明:∵ AB // DC , AD ? DC ,∴ AB ? AD ,在 Rt ?ABD 中,

ABCD ? A1B1C1D1 中, AD ? DC , AB // DC , DC ? DD1 ? 2 AD ? 2 AB ? 2 . 求证: DB ? 平面 B1 BCC1 .
AB ? AD ? 1 ,∴ BD ? 2 ,

易求 BC ?

2 ,又∵ CD ? 2 ,错误!未找到引用源。 ,∴ BD ? BC 又 BD ? BB1 , BB1 ? BC ? B ,∴ BD ? 平面 B1 BCC1 .
题型二:平面与平面垂直的判定与性质 【知识回顾】 1.平面与平面垂直的判定方法:①定义法 ②利用判定定理:如果一个平面过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直. 2.平面与平面垂直的性质: 如果两平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平 面. 例 2:如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB∥DC,△PAD 是等边三角形,已知 BD=2AD=8,AB=2DC=4 5.M 是 PC 上的一点, 求证:平面 MBD⊥平面 PAD. 证明:在△ABD 中,由于 AD=4,BD=8,AB=4 5, 所以 AD2+BD2=AB2.故 AD⊥BD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,BD? 平面 ABCD, 所以 BD⊥平面 PAD. 又 BD? 平面 MBD,故平面 MBD⊥平面 PAD. 题型三:线面垂直、面面垂直证明线线垂直 1 例 3:如图,已知 BD⊥平面 ABC,MC= BD,AC=BC,N 是棱 AB 的中点. 2 求证:CN⊥AD. 证明:∵BD⊥平面 ABC,CN?平面 ABC,∴BD⊥CN. 又∵AC=BC,N 是 AB 的中点.∴CN⊥AB. 又∵BD∩AB=B,∴CN⊥平面 ABD. 而 AD?平面 ABD,∴CN⊥AD. 例 4.(2014· 南京学情调研)如图,已知斜三棱柱 ABCA1B1C1 中,AB=AC,D 为 BC 的中点.平面 ABC⊥平面 BCC1B1,求证:AD⊥DC1; 证明:因为 AB=AC,D 为 BC 的中点,所以 AD⊥BC.
2

因为平面 ABC⊥平面 BCC1B1,平面 ABC∩平面 BCC1B1=BC, AD?平面 ABC,所以 AD⊥平面 BCC1B1. 因为 DC1?平面 BCC1B1,所以 AD⊥DC1. 【策略争分】 1.证明直线和平面垂直的常用方法有:①判定定理;②a∥b,a⊥α? b⊥α; ③α∥β,a⊥α? a⊥β;④线面垂直的性质,线面垂直的性质,也常用来证明线线垂直. 2. 面面垂直的关键是线面垂直,线面垂直的证明方法主要有:判定定理法、平行线法(若两 条平行线中一条垂直于这个平面,则另一条也垂直于这个平面)、面面垂直性质定理法. 重 点是实现线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化 3.注意解答过程中叙述的步骤要完整,避免因条件书写不全而失分. 【强化训练】 1.(2014,大纲卷,文科)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 A1 在平面 ABC 内的射影 D 在 AC 上,∠ACB=90 ? ,求证:AC1⊥A1B. 证明:? A1 D ? 平面ABC , A1D ? 平面AA1C1C, A1D ? 平面ABC ,

? 平面AA1C1C ? 平面ABC ,则利用平面与平面垂直的性质可得:
BC⊥平面 AA1C1C,? BC ? AC1 ,而 AC1⊥A1C,

BC ? AC ? C ,? AC1 ? 平面ACB ,? A1B ? 平面ACB 1 1 1 ? AC1 ? A1 B
2.(2014 , 四 川 卷 , 文 科 ) 在 如 图 所 示 的 多 面 体 中 , 四 边 形 ABB1 A 1 和 ACC1 A 1 都为矩 形. AC ? BC ,求证:直线 BC ? 平面 ACC1 A 1. 证明:因为四边形 ABB1 A 1 和 ACC1 A 1 都是矩形, 所以 AA 1 ? AB, AA 1 ? AC . 因为 AB,AC 为平面 ABC 内的两条相交直线,所以 AA1 ? 平面 ABC. 因为直线 BC ? 平面 ABC 内,所以 AA1 ? BC . 又由已知, AC ? BC, AA 1 , AC 为平面 ACC1 A 1 内的两条相交直线, 所以, BC ? 平面 ACC1 A 1. 3.如图, P 是△ABC 所在平面外的一点,且 PA⊥平面 ABC,平面 PAC⊥平面 PBC. 求证:BC⊥平面 PAC. 证明:过点 A 作 AE ? PC ,又平面 PAC⊥平面 PBC, 平面PAC ? 平面PBC =PC ,? AE ? 平面PBC , BC ? 平面PBC ,? AE ? BC , ? PA ? 平面ABC , BC ? 平面ABC ? BC ? PA,? PA ? AE ? A,? BC ? 平面PAC

3

4. 如图所示,在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2,M 是棱 CC1 的中点.求证:平面 ABM⊥平面 A1B1M. 证明:∵A1B1⊥平面 B1C1CB,BM?平面 B1C1CB,∴A1B1⊥BM, 由已知易得 B1M= 2, 又 BM= BC2+CM2= 2,B1B=2, ∴B1M2+BM2=B1B2,∴B1M⊥BM. 又∵A1B1∩B1M=B1,∴BM⊥平面 A1B1M. 而 BM?平面 ABM,∴平面 ABM⊥平面 A1B1M. 5. ( 2014 ,浙江卷,文科)如图,在四棱锥 A ? BCDE 中,平面 ABC ? 平面 BCDE ;

?CDE ? ?BED ? 90? , AB ? CD ? 2 , DE ? BE ?1 , AC ? 2 .求证: AC ? 平面 BCDE .
证明:连接 BD,在直角梯形 BCDE 中, DE ? BE ?1 , AB ? CD ? 2 , 得 BD ? BC ? 2 ,又 AC ? 2 , AB ? 2 ,

A

? AB2 ? AC 2 ? BC 2 , 则AC ? BC ,又平面 ABC ? 平面 BCDE ,
平面ABC ? 平面BCDE ? BC,? AC ? 平面BCDE .

D E B

C

4


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