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浙江省台州中学2013-2014学年高二数学上学期期中考试试题 理 新人教A版


台州中学 2013-2014 学年高二上学期期中考试 数学(理)试题
一、选择题(本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求) 1.直线 x ? y ? 7 ? 0 的倾斜角等于( A. 30 B. 60 ) C. 45 D. 120 )

2. 若A(-2,3) ,B(3,-2) ,C( A.

1 2

B.2 )

1 , m )三点共线,则 m 的值为( 2 1 C. ? D.-2 2

3. “ x ? 1 ”是“ x 2 ? x ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) D. 4:9 )

4.如果两个球的体积之比为 8:27,那么两个球的表面积之比为( A.8:27 B.2:3 C. 2:9

5.若 a , b 表示两条直线, ? 表示平面,下面命题中正确的是( A.若 a⊥ ? , a⊥b,则 b// ? C.若 a// ? , b// ? ,则 a//b

B.若 a// ? , a⊥b,则 b⊥ ? D.若 a⊥ ? ,b ? ? ,则 a⊥b

6. 如图所示, 直观图四边形 A?B?C ?D? 是一个底角为 45°的等腰梯形, 那么原平面图形是( A.任意梯形 C.任意四边形 ) B.直角梯形 D.平行四边形 第6题

7.已知圆 O1 : x2 ? y 2 ? 1与圆 O2 : ( x ? 3)2 ? ( x ? 4)2 ? 16 ,则圆 O1 与圆 O2 的位置关系为 ( ) A. 内切 8. 椭圆 B. 相交 C.外切 D.相离

x2 y2 ? ? 1 上的点 M 到焦点 F1 的距离为 2, N 为 MF1 的中点,则 ON ( O 为 25 9
) B.4 C.2 D.

坐标原点)的值为( A.8

3 2

1

9.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 (



第9题 A.48 B.32+8 17 C.48+8 17 D.80 )

10.过原点且倾斜角为 60 ? 的直线被圆 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 所截得的弦长为( A. 2 3 B. 6 C. 2 D.

3

11 . 设 圆 锥 曲 线 C 的 两 个 焦 点 分 别 为 F 1 , F2 , 若 曲 线 C 上 存 在 点 P 满 足 C 的离心率等于 ( PF 2 1 : F 1 F 2 : PF 2? 4 : 3 :,则曲线 A. ) D.

3 2 或 2 3

B. 2或

2 3

C.

1 或2 2

1 3 或 2 2

12. ?ABC 的 BC 边上的高线为 AD , BD ? a , CD ? b ,且 a ? b ,将 ?ABC 沿 AD 折 成大小为 ? 的二面角 B ? AD ? C ,若 cos ? ? A.锐角三角形 C.直角三角形

a ,则折后的 ?ABC 是( b
B.钝角三角形



D.形状与 a , b 的值有关的三角形

13.已知正四面体 ABCD 的棱长为 2,所有与它的四个顶点距离相等的平面截这个四面体所 得截面的面积之和是( A. 3 ? 3 ) . B.4 C.3 D. 3

2 14.已知函数 y ? 1 ? ( x ? 1) , x ? [1,2] 对于满足 1 ? x1 ? x2 ? 2 的任意 x1 , x2 ,给出下

列结论:① f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 ; ③ ( x2

② x2 f ( x1 ) ? x1 f ( x2 ) ; ④ ( x2 ? x1 )[ f ( x2 ) ? f ( x1 )] ? 0

? x1 )[ f ( x2 ) ? f ( x1 )] ? 0 .
) C.3

其中正确结论的个数有( A. 1 B.2

D.4

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 15.过点(1,2)且与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 平行的直线的方程是 ______________. 16.已知线段 AB 在平面 ? 外, A, B 两点到平面 ? 的距离分别是 1 和 3,则线段 AB 中点 到平面 ? 的距离是____________.
2

17.在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, B 1C 与对角面 DD 1B 1B 所成角的大小是_____



18. 若椭圆

x2 y2 1 ? 2 ? 1 的焦点在 x 轴上, 过点 (1, ) 作圆 x 2 ? y 2 ? 1 的切线, 切点分别为 A, 2 2 a b


B,直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是

19.将一些棱长为 1 的正方体放在 3 ? 3 的平面上如图所示,其正视图,侧视图如下所示.若 摆放的正方体的个数的最大值和最小值分别为 m, n ,则 m ? n ? ____ .

第 19 题 正视图 侧视图 20 . ? x ? 表 示 不 超 过 实 数 x 的 最 大 整 数 , 如 ?3.2? ? 3, ??4.5? ? ?5. 在 平 面 上 由 满 足

? x? ? ? y ?
2

2

? 50 的点 ? x , y ? 所形成的图形的面积是



三、解答题(本大题共 5 小题,共 40 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

x2 y2 ? ?1 表 示 椭 圆 , q : 方 程 21 . (本小题 6 分) 已知 p :方程 m ?1 m ? 3

x 2 ? y 2 ? 4x ? 2my ? m ? 6 ? 0 表示圆,若 p 真 q 假,求实数 m 的取值范围.

22. (本小题 7 分) 已知直线 l 经过直线 3x ? 4 y ? 2 ? 0 与直线 2 x ? y ? 2 ? 0 的交点 P , 且垂直于直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 . (Ⅰ)求直线 l 的方程; (Ⅱ)求直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积 S .

23. (本小题 8 分)如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,点 E 是 PC 的中点, 作 EF⊥PB 于点 F. (1)求证:DE⊥平面 PBC; (2)求二面角 C—PB—D 的大小. 第 23 题

3

24 . ( 本 小 题 9 分 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 以 O 为 圆 心 的 圆 与 直 线 l :
y ? mx ? (3 ? 4m) , (m ? R ) 恒有公共点,且要求使圆 O 的面积最小.

(1)写出圆 O 的方程; (2) 圆 O 与 x 轴相交于 A、 B 两点, 圆内动点 P 使 | PA | 、| PO | 、 求 PA ? PB | PB | 成等比数列, 的范围; (3)已知定点 Q( ?4 ,3) ,直线 l 与圆 O 交于 M、N 两点,试判断 QM ? QN ? tan ?MQN 是 否有最大值,若存在求出最大值,并求出此时直线 l 的方程,若不存在,给出理由.

25. (本小题 10 分) 已知椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0) . a2 b2

(1)若椭圆的长轴长为 4,离心率为

3 ,求椭圆的标准方程; 2

(2)在(1)的条件下,设过定点 M ?0,2? 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A、B , 且 ?AOB 为锐角(其中 O 为坐标原点) ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围; (3)如图,过原点 O 任意作两条互相垂直的直线与椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )相交 a2 b2

于 P, S , R, Q 四点,设原点 O 到四边形 PQSR 一边的距离为 d ,试求 d ? 1 时, a , b 满 足的条件.
y R P

O S Q

x

第 25 题

4

x2 y2 ? ? 1 ; 19. 6 ; 20.12 15. x ? 2 y ? 5 ? 0 ; 16. 1或2 ; 17.30°; 18. 5 4
三、解答题(本大题共 5 小题,共 6+7+8+9+10=40 分) 21. p : m ? 1

q : m ? 2或m ? ?1

p真q假

?1 ? m ? 2
?????????6 分

(Ⅱ)由直线 l 的方程知它在 x 轴、 y 轴上的截距分别是 ?1 、 ?2 , 所以直线 l 与两坐标轴围成三角形的面积 S ? 23. 证明: (1) PD⊥底面 ABCD 又

1 ? 1? 2 ? 1 . 2 PD=DC 且点 E 是 PC 的中点,? DE⊥PC

??????7 分

? PD⊥BC,
BC ? PC ? C

底面 ABCD 是正方形 ? CD⊥BC ? BC⊥平面 CDP

? BC⊥DE




? DE⊥平面 PBC;?????4 分

(2)由(1)知:DE⊥平面 PBC ? 平面 DEF⊥平面 PBC;

EF⊥PB,且平面 DEF ? 平面 PBC ? EF;? PB⊥平面 DEF;

? PB⊥DF;? PB⊥EF;?? DFE 就是二面角 C—PB—D 的平面角
令 AB ? a ,则 DF ?

6 a 3

EF ?

6 a 6

DE ?

2 a 2

?? DFE ? 60o ??????????????8 分
5

(3) QM ? QN ? tan ?MQN ?| QM | ? | QN | cos ?MQN ? tan ?MQN

?| QM | ? | QN | sin ?MQN ? 2S

MQN



由题意,得直线 l 与圆 O 的一个交点为 M(4,3) ,又知定点 Q( ?4 ,3) , 直线 lMQ : y ? 3 , | MQ |? 8 ,则当 N (0, ?5) 时 S
MQN

有最大值 32.

即 QM ? QN ? tan ?MQN 有最大值为 64,此时直线 l 的方程为 2 x ? y ? 5 ? 0 .??9 分 25.解: (1)

x2 ? y 2 ? 1 ?????3 分 4 (2)显然直线 x=0 不满足题设条件,可设直线 l: y ? kx ? 2, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ).

? x2 ? ? y2 ? 1 2 2 由? 4 得 (1 ? 4k ) x ? 16kx ? 12 ? 0 . ? ? y ? kx ? 2

? ? ? (16k ) 2 ? 4 ?12(1 ? 4k 2 ) ? 0 ,? k ? (??,? 3 ) ? ( 3 ,??) (1)
? 16 k 12 , x1 x 2 ? 又 x1 ? x 2 ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2
2 2

由 0 ? ?AOB ? 90 ? OA ? OB ? 0. ∴ OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0. 所以

OA? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4
? ?2 ? k ? 2 (2)
由(1) (2)得 k ? (?2,?

3 3 ) ? ( ,2) 。?????7 分 2 2

(3)由椭圆的对称性可知 PQSR 是菱形,原点 O 到各边的距离相等。

6

x y 1 1 由 d=1 得 2 ? 2 ? 1 , ?? ? ?1, a b a b 1 当 P 不在 y 轴上时,设直线 PS 的斜率为 k, P( x1 , kx1 ) ,则直线 RQ 的斜率为 ? , k 1 Q( x2 , ? x2 ) k ? y ? kx 1 1 k2 ? 1 1 1 由 ? x2 y 2 ,得 2 ? 2 ? 2 (1),同理 2 ? 2 ? 2 2 (2) x a b x a k b ? ? 1 1 2 ? 2 b2 ?a 1 1 在 Rt△OPQ 中,由 d ? | PQ |? | OP | ? | OQ | ,即 | PQ |2 ?| OP |2 ? | OQ |2 2 2 k2 1 x 2 2 x2 所 以 ( x1 ? x2 )2 ? (kx1 ? 2 ) 2 ? [ x1 2? (kx1 ) ] ? [ x2 ? ( ) ] 2, 化 简 得 2 ? 2 ? 1 ? k 2 , x2 x1 k k
当 P 在 y 轴上, Q 在 x 轴上时, 直线 PQ 的方程为

1 1 1 k2 1 1 ? ) ? ? 2 ? 1 ? k 2 ,即 2 ? 2 ? 1 。 2 2 2 2 a k b a b a b 1 1 综上,d=1 时 a,b 满足条件 2 ? 2 ? 1 ???????10 分 a b k2(

7


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