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2018版高中数学必修二同步讲义(人教A版)第四章圆与方程4.2.1Word版含答案

4.2.1 学习目标 直线与圆的位置关系 1.掌握直线与圆的三种位置关系:相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判 定直线与圆的三种位置关系.3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题. 知识点 直线 Ax+By+C=0 与圆(x-a)2+(y-b)2=r2 的位置关系及判断 位置关系 公共点个数 几何法: 设圆心到直线的距离为 d= 判定方法 代数法: ?Ax+By+C=0, ? 由? 2 2 2 ? ??x-a? +?y-b? =r , 相交 2个 相切 1个 相离 0个 |Aa+Bb+C| A +B 2 2 d<r d=r d> r Δ>0 Δ =0 Δ<0 消元得到一元二次方程,可得方程的判别式 Δ 类型一 直线与圆的位置关系的判断 例 1 求实数 m 的取值范围, 使直线 x-my+3=0 与圆 x2+y2-6x+5=0 分别满足: ①相交; ②相切;③相离. 解 圆的方程化为标准形式为(x-3)2+y2=4, 故圆心(3,0)到直线 x-my+3=0 的距离为 d= 6 ,圆的半径为 r=2. m2+1 ①若相交,则 d<r,即 ②若相切,则 d=r,即 ③若相离,则 d>r,即 6 <2,所以 m<-2 2或 m>2 2; m2+1 6 =2,所以 m=± 2 2; m2+1 6 >2,所以-2 2<m<2 2. m2+1 反思与感悟 直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法:由圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小关系判断. (2)代数法:根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断. (3)直线系法:若直线恒过定点,可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关 系.但有一定的局限性,必须是过定点的直线系. 跟踪训练 1 对任意的实数 k,直线 y=kx+1 与圆 x2+y2=2 的位置关系一定是( A.相离 C.相交但直线不过圆心 答案 C 解析 直线 y=kx+1 恒过定点(0,1),由定点(0,1)在圆 x2+y2=2 内,则直线 y=kx+1 与圆 x2 +y2=2 一定相交.又直线 y=kx+1 的斜率存在,则该直线必不过圆心(0,0),故选 C. 类型二 切线问题 命题角度1 求切线方程 例 2 过点 A(4,-3)作圆(x-3)2+(y-1)2=1 的切线,求此切线方程. 解 因为(4-3)2+(-3-1)2=17>1, 所以点 A 在圆外. ①若所求直线的斜率存在,设切线斜率为 k, 则切线方程为 y+3=k(x-4),即 kx-y-4k-3=0. 设圆心为 C, 因为圆心 C(3,1)到切线的距离等于半径 1, |3k-1-3-4k| 所以 =1,即|k+4|= k2+1, 2 k +1 15 所以 k2+8k+16=k2+1,解得 k=- . 8 15 15 所以切线方程为- x-y+ -3=0, 8 2 即 15x+8y-36=0. ②若直线斜率不存在, 圆心 C(3,1)到直线 x=4 的距离为 1, B.相切 D.相交且直线过圆心 ) 这时直线 x=4 与圆相切,所以另一条切线方程为 x=4. 综上,所求切线方程为 15x+8y-36=0 或 x=4. 引申探究 若本例的条件不变,求其切线长. 解 因为圆心 C 的坐标为(3,1), 设切点为 B,则△ABC 为直角三角形, |AC|= ?3-4?2+?1+3?2= 17, 又|BC|=r=1, 则|AB|= |AC|2-|BC|2= ? 17?2-12=4, 所以切线长为 4. 反思与感悟 求过某一点的圆的切线方程, 首先判定点与圆的位置关系, 以确定切线的数目. (1)求过圆上一点 P(x0,y0)的圆的切线方程:如果斜率存在且不为 0,先求切点与圆心连线的 1 斜率 k,则由垂直关系,切线斜率为- ,由点斜式方程可求得切线方程.如果 k=0 或斜率 k 不存在,则由图形可直接得切线方程为 y=y0 或 x=x0. (2)求圆外一点 P(x0,y0)的圆的切线时,常用几何方法求解: 设切线方程为 y-y0=k(x-x0),即 kx-y-kx0+y0=0,由圆心到直线的距离等于半径,可求 得 k,进而切线方程即可求出.但要注意,若求出的 k 值只有一个时,则另一条切线的斜率 一定不存在,可由数形结合求出. 跟踪训练 2 ________. 答案 x+2y-5=0 解析 点 P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,可得此圆的方程为 x2+y2=5,所以该圆在点 P 处的切线方程为 1×x+2×y=5,即 x+2y-5=0. 命题角度2 已知直线与圆相切,求圆的方程 例 3 过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x-y-1=0 相切于点 B(2,1),则圆 C 的方程为_______. 答案 (x-3)2+y2=2 解析 由已知 kAB=0, 所以 AB 的中垂线方程为 x=3. ① 若点 P(1,2) 在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点 P 处的切线方程为 过 B 点且垂直于直线 x-y-1=0 的直线方程为 y-1=-(x-2),即 x+y-3=0, ② ?x=3, ? 联立①②,解得? ?y=0, ? 所以圆心坐标为(3,0), 半径 r= ?4-3?2+?1-0?2= 2, 所以圆 C 的方程为(x-3)2+y2=2. 反思与感悟 此类题易错点是求最值时,对参数无法破解而致错,避免此类错误的关键:一 是会用公式,即会利用点到直线的距离公式求距离;二是会转化,把要求的半径最大问题, 转化为求代数式的最值;三是会利用圆的标准方程写出圆的方程. 跟踪训练 3 已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C 的方程为( ) A.(x+1)2+(y-1)2=2 B.(x-1)2+(y+1)2=2 C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2 答案 B 解析 设圆心为 C(a

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