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2013-2014苏州中学高二数学期末复习综合练习10(文科)


2013-2014 苏州中学高二数学期末复习综合练习十(文科)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需要写出解答过程,请把答案直接填在答题纸的相 ..... 应位置上 . .... 1. 命题“ ?x ? R, x2 ? 2 x ? 2 ? 0 ”的否定是_______ 2. 双曲线 x2 ? 4 y 2 ? 1的焦距长是_____________. 3. (理科)若△ABC 的周长为 16,顶点 A(-3,0)、B(3,0),则顶点 C 的轨迹方程为_________________. (文科) 椭圆 5x2-ky2=5 的一个焦点是(0,2) ,那么 k=__________. 4. 若双曲线 _________.

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点到一条准线的距离之比为 3:2, 则双曲线的离心率是 a2 b2



5. 已知 a、 b 表示两条直线, ?、?、? 表示平面,给出下列条件: ① a ? ? , b ? ? , a // ? , b // ? ; ② a ? ? , b ? ? , a // b; ③ ? ? ? , ? ? ? ; ④ ? // ? , ? // ? . 其中能推出 ? // ? 的 . (把所有正确的条件序号都填上)

6. 已知伪代码如下,则输出结果 S=____________. i ←0 S←0 While i <6 i ← i +2 S←S+ i 2 End while Print S 7. 若椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的弦被点 P(4, 2) 平分,则此弦所在的直线方程是________________. 36 9
.

2 8. 若命题“ ? x ? R ,使 x ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 ”是假命题,则实数 a 的取值范围是

9.设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A、B、C 为该抛物线上的三点,若 FA ? FB ? FC ? O,则 FA+FB+FC=___. 10.与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 有公共渐进线,且焦距为 8 的双曲线方程为___________. 5 3

11. 已知命题 p : ? 4 ? x ? a ? 4 , 命题 q : (x ? 2)(3 ? x) ? 0 .若? p 是? q 的充分不必要条件, 则实数 a 的取值范围是________________. 12. 已知正四棱柱的底面边长是 3 ,侧面的对角线长是 3 5 ,则这个正四棱柱的侧面积为 .

13. 如图,已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0) 的长、短轴端点分别为 A, B , a 2 b2 从此椭圆上一点 M 向 x 轴作垂线, 恰好通过椭圆的左焦点 F 1,

M

y B

P

向量 AB 与 OM 平行.设 P 是椭圆上任意一点, F1 , F2 分别是椭圆的两个焦点, 则 ?F1 PF2 的取值范围是___________.

F1

O

F2

A

x

14. 设点 ( a, b) 在平面区域 D ? {(a, b) | | a |? 1,| b |? 1} 中均匀分布出现,

x2 y 2 3 则椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) 的离心率 e ? 的概率是____________. 2 a b
二、解答题:本大题共 6 小题,满分 90 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,且 ?BAD ? 60 ,侧面 PAD 是正三角形,其所在的平面垂直于底 面 ABCD,点 G 为 AD 的中点. (1)求证:BG ? 面 PAD; (2)E 是 BC 的中点,在 PC 上求一点 F,使得 PG // 面 DEF.

P

F G D

A

B

E

C

16.已知函数 f(x)是 R 上的单调增函数,且 a,b ? R,若a ? b ? 0,则( f a) ?( f b) ?( f - a) ?( f - b) . 判断其逆命题的真假,并证明你的结论.

17.为了让学生了解 2014 南京“青奥会”知识,某中学举行了一次“青奥知识竞赛”,共有 800 名学生参加了这次 竞赛. 为了解本次竞赛成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数,满分为 100 分)进行统计. 请你根据尚未完成的频率分布表,解答下列问题: (1)若用系统抽样的方法抽取 50 个样本,现将所有学生随机地编号为 000,001,002,…,799, 试写出第二组第一位学生的编号; (2)填充频率分布表的空格,并作出频率分布直方图; (3)若成绩在 85.5?95.5 分的学生为二等奖,问参赛学生中获得二等 分组 频数 频率 奖的学生约为多少人? 0.16 ① 60.5?70.5 70.5?80.5 80.5?90.5 90.5?100.5 合计 10 18 ③ 50 ② 0.36 ④

3 x2 y 2 18. 已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) 的离心率为 ,短轴的一个端点到右焦点的距离为 5. 5 a b
(1)求椭圆的标准方程; (2)若“椭圆的长半轴长为 a ,短半轴长为 b 时,则椭圆的面积是 ? ab .” 请针对⑴中求得的椭圆,求解下列问题: ①若 m, n ? 是实数,且 | m |? 5,| n |? 4 ,求点 P(m, n) 落在椭圆内的概率; ②若 m, n ? 是整数,且 | m |? 5,| n |? 4 ,分别求点 P(m, n) 落在椭圆外的概率 及点 P(m, n) 落在椭圆上的概率.

19. (文科)如图,A 村在 B 地正北 3 km 处,C 村与 B 地相距 4 km ,且在 B 地的正东方向.已知环形公路 PQ 上任意 一点到 B、C 的距离之和都为 8 km ,现要在公路旁建造一个变电房 M (变电房与公路之间的距离忽略不计)分别向 A 村、C 村送电. ⑴试建立适当的直角坐标系求环形公路 PQ 所在曲线的轨迹方程; ⑵问变电房 M 应建在 A 村的什么位置(方位和距离),才能使得架设电路所用电线最少?并求出最小值. M ?
?



A? B
?

C

?

?



19.(理科)在三棱锥 ABCD 中,平面 DBC⊥平面 ABC,△ ABC 为正三角形, AC=2,DC=DB= 3 , (1)求 DC 与 AB 所成角的余弦值; (2)在平面 ABD 上求一点 P,使得 CP⊥平面 AB D. D

B C A

x2 y 2 20. 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? 和圆 O : x2 ? y 2 ? b2 ,过椭圆上一点 P 引圆 O 的两条切线,切点分别 a b
为 A, B. (1)若圆 O 过椭圆的两个焦点,求椭圆的离心率 e 的值; (2)若椭圆上存在点 P ,使得 ?APB ? 90 ,求椭圆离心率 e 的取值范围; (3)设直线 AB 与 x 轴、 y 轴分别交于点 M , N ,问当点 P 在椭圆上运动时, 请证明你的结论.

a2 ON
2

?

b2 OM
2

是否为定值?

参考答案
一、填空题: 1. ?x ? R, x2 ? 2x ? 2 ? 0. 7. x ? 2 y ? 8 ? 0 13. [0, 2.

5
9.6

3.

8. ?1 ? a ? 3

?
2

x2 y 2 ? ? 1( y ? 0) 4. 5 25 16 x2 y 2 y 2 x2 ? ? 1或 ? ? 1 10. 10 6 6 10

5. ② ④ 11.[-1,6]

6. 56 12. 72

]

14.

1 16

二、解答题:

17. 解: (1)编号为 016; --------------------------3 分 (2)① 8 ② 0.20 ③ 14 ④ 0.28

频率 组距
0.036 0.028 0.020 0.016

------------------------9 分 (3)在被抽到的学生中获二奖的人数是 9+7=16 人,

16 ? 0.32 ,即获二等奖的概率约为 32%, 占样本的比例是 50
所以获二等奖的人数估计为 800× 32%=256 人。----------14 分 答:获二等奖的大约有 256 人. ----------------------15 分

60.5 70.5

80.5 90.5 100.5

分数

18.解: (1)∵ a ? 5, e ?

3 ,? c ? 3,? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 16 ,∴椭圆的标准方程是 5

x2 y 2 ? ? 1 .---4 分; 25 16
(2)①当 m, n 是实数,且 | m |? 5,| n |? 4 时,所有形如 (m, n) 的点覆盖的图形面积是 80, 椭圆围成的区域在其内部,且面积为 20 ? ,故点 P (m, n) 落在椭圆内的概率是 ②当 m, n 是整数,且 | m |? 5,| n |? 4 时,点 P (m, n) 共有 11× 9=99 个. ----10 分; 由对称性知,当 m, n 是整数,且 | m |? 5,| n |? 4 时,

20? ? ? .----8 分; 80 4

其中当 m ? 0, n ? 0 时,点(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(1,4),(2,4),(3,4),(4,4),(4,3)共 9 点落在椭圆外,

36 4 ? ------13 分. 99 11 4 其次落在椭圆上的有四点,(-5,0),(5,0),(-4,0),(4,0),故点 P (m, n) 落在椭圆上的概率是 ----15 分 99
共有 4× 9=36 个点落在椭圆外,故点 P (m, n) 落在椭圆外的概率是

19.解: (1)以 BC 所在的直线为 X 轴,BC 的垂直平分线为 Y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,

则 B(-2,0),C(2,0),又设环形公路 PQ 上任意一点为 M,由题意知, MB ? MC ? 8 ? BC , 故 M 的轨迹是以 B,C 为焦点,长轴长为 8 的椭圆, a ? 4, c ? 2,?b2 ? 12 故椭圆方程是

x2 y 2 ? ? 1 .-------6 分; 16 12

(2)要使架设电线最少,即 MA ? MC 最小,由椭圆定义知 MB ? MC ? 8 , MC ? 8 ? MB , 所以 MA ? MC = 8 ? MA ? MB --------10 分; 又因为 | MA ? MB |? AB ? 3 故 ? 3 ? MA ? MB ? 3 , 所以 MA ? MC 最小值是 8 ? 3km ------------13 分; 当 MA ? MC 取得最小值时 AB ? x 轴,解得 M (?2,3) , MA ? 3 ? 3 , 即变电房 M 位于 A 村正北方向,距离 A 村 3 ? 3 km .------15 分. 答:当变电房 M 位于 A 村正北方向,距离 A 村 3 ? 3 km 处时,架设电线最少, 且最小值为 8 ? 3km .----------16 分.

20.解: (1)∵ 圆 O 过椭圆的焦点,圆 O : x2 ? y 2 ? b2 ,∴ b ? c ,
2 2 2 2 ∴ b ? a ? c ? c , a 2 ? 2c 2 ,∴ e ?

2 . 2
2

(2)由 ?APB ? 90 及圆的性质,可得 OP ?
2 ∴e ?

2b ,∴ OP ? 2b 2 ? a 2 , ∴ a 2 ? 2c 2

1 2 , ? e ? 1. 2 2

(3)设 P ? x0 , y0 ? , A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则

y0 ? y1 x ? ? 1 , 整理得 x0 x ? y0 y ? x12 ? y12 x0 ? x1 y1

x12 ? y12 ? b2 ∴ PA 方程为: x1x ? y1 y ? b2 ,
PB 方程为: x2 x ? y2 y ? b2 .
从而直线 AB 的方程为: x0 x ? y0 y ? b2 .令 x ? 0 ,得 ON ? y ?

b2 b2 ,令 y ? 0 ,得 OM ? x ? ,∴ y0 x0

a2 ON
2

?

b2 OM
2

a 2 y02 ? b 2 x02 a 2b 2 a 2 a2 b2 ? ? 4 ? 2 ,∴ ? 2 b4 b b ON OM

2

a2 为定值,定值是 2 . b


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