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【步步高】2016高考数学大一轮复习 4.5两角和与差的正弦、余弦、正切公式试题 理 苏教版


第5讲
一、填空题

两角和与差的正弦、余弦和正切

π? 3 ? 1.已知 tan?α + ?= ,则 tan α =________. 4? 5 ? π? 3 ? tan?α + ?-1 -1 4 5 π π 1 ? ? ?? ? ? 解析 tan α =tan??α + ?- ?= = =- . 4? 4? π 3 4 ?? ? ? 1+tan?α + ? 1+ 4 5 ? ? 1 答案 - 4 π? 12 ?π ? ? 2.已知 cos α =- ,且 α ∈? ,π ?,则 tan?α + ?=________. 4? 13 ?2 ? ? π ? 1+tan α 5 5 7 ? 解析 由条件得 sin α = ,所以 tan α =- ,tan?α + ?= = . 4 ? 1-tan α 17 13 12 ? 答案 7 17

11 ? π? 3.已知 α ,β ∈?0, ?,且 tan α =4 3,cos(α +β )=- ,则角 β 度数为________. 2? 14 ? 11 ? π? 解析 由 α ,β ∈?0, ?,tan α =4 3,cos(α +β )=- , 2? 14 ? 4 3 1 得 sin α = ,cos α = ,sin(α +β )= 7 7 所以 cos β =cos[(α +β )-α ] =cos(α +β )cos α +sin(α +β )sin α 11 1 5 3 4 3 1 =- × + × = . 14 7 14 7 2 π 所以 β = . 3 答案 π 3

? 11?2 5 3, 1-?- ? = ? 14? 14

5π ? 3 ? π π? ? 4.若 sin α = ,α ∈?- , ?,则 cos?α + ?=________. 4 ? 5 ? 2 2? ? 3 4 ? π π? 解析 因为 α ∈?- , ?,sin α = ,所以 cos α = , 5 5 ? 2 2? 5π ? 2 2 ? 所以 cos?α + ?=- (cos α -sin α )=- . 4 ? 2 10 ? 答案 - 2 10
1

π? ? 4π ? ? ? ? 5.已知向量 a=?sin?α + ?,1?,b=(4,4cos α - 3),若 a⊥b,则 sin?α + ?= 6? ? 3 ? ? ? ? ________. π? ? 解析 a·b=4sin?α + ?+4cos α - 3 6? ? π? π? 1 ? ? =2 3sin α +6cos α - 3 =4 3sin?α + ?- 3 =0,所以 sin?α + ?= .所以 3? 3? 4 ? ? 4π ? π? 1 ? ? sin?α + ?=-sin?α + ?=- . 3 ? 3? 4 ? ? 1 答案 - 4 6.函数 f(x)=sin 2xsin π 5π ? π π ? -cos 2xcos 在?- , ?上的单调递增区间为________. 6 6 ? 2 2?

π? π ? 7π 5π ? ? ? π π? 解析 f(x)=cos?2x- ?,当 x∈?- , ?时,2x- ∈?- , ?,于是由 2x- 6? 6 ? 6 ? 6 ? ? 2 2? π ∈[-π ,0], 6

? π π? ? 5π π ? 得 f(x)在?- , ?上的单调增区间为?- , ?. 2 2 ? ? ? 12 12? ? 5π π ? 答案 ?- , ? 12 12 ? ?
1 1 7.已知 tan α = ,tan β = ,且 α ,β ∈(0,π ),则 α +2β =________. 7 3 1 3 + 7 4 2tan β 3 tan α +tan 2β 解析 tan 2β = = = ,所以 tan(α +2β )= = 2 1-tan β 1 4 1-tan α tan 2β 3 1- 1- 9 28 1 ? π? ? π? =1.∵tan α = <1,α ∈(0,π ),∴α ∈?0, ?,同理 β ∈?0, ?,∴α +2β ∈ 4? 4? 7 ? ? 2 3

?0,3π ?,所以 α +2β =π . ? 4 ? 4 ? ?
答案 π 4 3 1 ,cos α -cos β = ,则 cos(α -β )的值为________. 2 2 3 得: 2

8.若 sin α -sin β =1-

解析 由 sin α -sin β =1-

3 7 2 2 sin α -2sin α sin β +sin β =1- 3+ = - 3.① 4 4

2

1 1 2 2 由 cos α -cos β = 得:cos α -2cos α cos β +cos β = .② 2 4 ①+②得 1+1-2(cos α cos β +sin α sin β )=2- 3, 即 2cos(α -β )= 3,所以 cos(α -β )= 答案 3 2 3 . 2

3 5 9.在△ABC 中,若 sin A= ,cos B=- ,则 sin C=________. 5 13 5 解析 在△ABC 中,由 cos B=- <0,知角 B 为钝角,角 A 为锐角, 13 4 12 所以 cos A= ,sin B= . 5 13 所以 sin C=sin[π -(A+B)] =sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B 3 ? 5 ? 4 12 33 = ×?- ?+ × = . 5 ? 13? 5 13 65 答案 33 65

?π ? 10.已知锐角 α 满足 cos 2α =cos? -α ?,则 sin 2α 等于________. ?4 ? ?π ? 解 析 由 cos 2α =cos? -α ?得 4 ? ?
(cos α -sin α )(cos α +sin α )= 由 α 为锐角知 cos α +sin α ≠0. ∴cos α -sin α = 1 ∴sin 2α = . 2 答案 1 2 2 1 ,平方得 1-sin 2α = . 2 2 2 (cos α +sin α ) 2

二、解答题

? ? ? ? 11.函数 f(x)=cos?- ?+sin?π - ?,x∈R. 2 2 ? ? ? ?
x x
(1)求 f(x)的最小正周期; π? 2 10 ? π? ? (2)若 f(α )= ,α ∈?0, ?,求 tan?α + ?的值. 2 4? 5 ? ? ?
3



? ? ? ? (1)f(x)=cos?- ?+sin?π - ? 2? ? 2? ?
x x x x

=sin +cos 2 2

?x π ? = 2sin? + ? ?2 4 ?
2π ∴f(x)的最小正周期 T= =4π . 1 2 2 10 (2)由 f(α )= , 5 α α 2 10 得 sin +cos = , 2 2 5 8 3 ∴1+sin α = .∴sin α = . 5 5

? π? 又 α ∈?0, ?. 2? ?
∴cos α = 1-sin α = sin α 3 ∴tan α = = . cos α 4 π tan α +tan 4 π ? ? ∴t an?α + ?= 4? π ? 1-tan α tan 4 3 +1 4 = =7. 3 1- 4 12.已知向量 a=(m,sin 2x),b=(cos 2x,n),x∈R,f(x)=a·b,若函数 f(x)的图象
2

9 4 1- = . 25 5

?π ? 经过点(0,1)和? ,1?. ?4 ?
(1)求 m,n 的值;

? π? (2)求 f(x)的最小正周期,并求 f(x)在 x∈?0, ?上的最小值; 4? ?
π? ?α ? 1 ? π? ? (3)若 f? ?= ,α ∈?0, ?时,求 tan?α + ?的值. 4? 4? ?2? 5 ? ?

?π ? 解 (1)f(x)=mcos 2x+nsin 2x,因为 f(0)=1,所以 m=1.又 f? ?=1,所以 n=1. ?4?
故 m=1,n=1.
4

π? ? (2)f(x)=cos 2x+sin 2x= 2sin?2x+ ?, 4? ? 所以 f(x)的最小正周期为 π .

? π? 因为 x∈?0, ?, 4? ?
π ?π 3π ? π 所以 2x+ ∈? , ?,所以当 x=0 或 x= 时,f(x)取最小值 1. 4 ? 4 ?4 4 1 ?α ? 1 (3)因为 f? ?= ,所以 cos α +sin α = , 5 ?2? 5 π? 2 ? ? π? 即 sin?α + ?= ,又 α ∈?0, ?, 4 4? 10 ? ? ? π? 7 2 π ?π π ? ? 故 α + ∈? , ?,所以 cos?α + ?= , 2? 4 ? 10 4 ?4 ? π? 2 1 ? 所以 tan?α + ?= = . 4? 7 2 7 ? β ? π 1 ? ?α ? 2 求 cos(α +β )的值; 13. (1)已知 0<β < <α <π , 且 cos?α - ?=- , sin? -β ?= , 2? 2 9 ? ?2 ? 3 1 1 (2)已知 α ,β ∈(0,π ),且 tan(α -β )= ,tan β =- ,求 2α -β 的值. 2 7 π 解 (1)∵0<β < <α <π , 2 π α π π β ∴- < -β < , <α - <π , 4 2 2 4 2

?α ? ∴cos? -β ?= ?2 ?
β ? ? sin?α - ?= 2? ? ∴cos

5 ? 2?α 1-sin ? -β ?= , ?2 ? 3 β ? 4 5 2? 1-cos ?α - ?= , 2? 9 ?

β ? ?α α +β ?? ?? =cos??α - ?-? -β ?? 2? ?2 2 ?? ??

β ? ?α ? =cos?α - ?cos? -β 2? ?2 ?

?+sin?α -β ?sin?α -β ? ? ? ? ? 2? ? ? ? ?2 ?

5 4 5 2 7 5 ? 1? =?- ?× + × = , 9 3 27 ? 9? 3 ∴cos(α +β )=2cos
2

α +β 49×5 239 -1=2× -1=- . 2 729 729

(2)∵tan α =tan[(α -β )+β ]=

5

1 1 - 2 7 tan?α -β ?+tan β 1 π = = >0,∴0<α < , 1-tan?α -β ?tan β 1 1 3 2 1+ × 2 7 1 2× 3 2tan α 3 π 又∵tan 2α = = = >0,∴0<2α < , 2 1-tan α 1 4 2 ? ?2 1-? ? ?3? 3 1 + 4 7 tan 2α -tan β ∴tan(2α -β )= = =1. 1+tan 2α tan β 3 1 1- × 4 7 1 π ∵tan β =- <0,∴ <β <π ,-π <2α -β <0, 7 2 3π ∴2α -β =- . 4

B? 2?π 14.在△ABC 中,A、B、C 为三个内角,f(B)=4cos B·sin ? + ?+ 3cos 2B-2cos B. 4 2 ? ?
(1)若 f(B)=2,求角 B; (2)若 f(B)-m>2 恒成立,求实数 m 的取值范围.

?π ? 1-cos? +B? 2 ? ? 解 (1)f(B)=4cos B× + 3cos 2B-2cos B 2
=2cos B(1+sin B)+ 3cos 2B-2cos B =2cos Bsin B+ 3cos 2B π? ? =sin 2B+ 3cos 2B=2sin?2B+ ?. 3? ? π? ? ∵f(B)=2,∴2sin?2B+ ?=2, 3? ? π π π ∵0<B<π ,∴2B+ = .∴B= . 3 2 12 π? ? (2)f(B)-m>2 恒成立,即 2sin?2B+ ?>2+m 恒成立. 3? ? π? ? ∴2sin?2B+ ?∈[-2,2],∴2+m<-2.∴m<-4. 3? ?

6


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