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第2课 同角三角函数关系及诱导公式


第 2 课 同角三角函数关系及诱导公式
【考点导读】 1.理解同角三角函数的基本关系式;同角的三角函数关系反映了同一个角的不同三角函数间 的联系. 2.掌握正弦,余弦的诱导公式;诱导公式则揭示了不同象限角的三角函数间的内在规律,起 着变名,变号,变角等作用. 【基础练习】
3 1. tan600°=______ .

? 5 13 . 2. 已知 ? 是第四象限角, tan ? ? ? ,则 sin ? ? ______ 12
3.已知 cos ?

5

3 ? ?? ? - 3. ?? ? ? ,且 ? ? ,则tan ? =______ 2 ?2 ? 2

4.sin15°cos75°+cos15°sin105°=___1___. 【范例解析】 例 1.已知 cos(? ? ? ) ?

8 ,求 sin(? ? 5? ) , tan(3? ? ? ) 的值. 17

分析:利用诱导公式结合同角关系,求值.

8 8 ,得 cos ? ? ? ? 0 ,?? 是第二,三象限角. 17 17 15 15 若 ? 是第二象限角,则 sin(? ? 5? ) ? ? sin ? ? ? , tan(3? ? ? ) ? tan ? ? ? ; 17 8 15 15 若 ? 是第三象限角,则 sin(? ? 5? ) ? ? sin ? ? , tan(3? ? ? ) ? tan ? ? . 17 8
解:由 cos(? ? ? ) ? 点评:若已知正弦,余弦,正切的某一三角函数值,但没有确定角所在的象限,可按角的象 限进行分类,做到不漏不重复. 例 2.已知 ? 是三角形的内角,若 sin ? ? cos ? ?

1 ,求 tan ? 的值. 5

分析:先求出 sin ? ? cos ? 的值,联立方程组求解. 解 : 由

sin ? ? cos ? ?

1 1 两 边 平 方 , 得 1 ? 2sin ? ? cos ? ? , 即 5 25

? 2sin ? ? cos ? ? ?

24 ? 0. 25

又 ? 是三角形的内角,? cos ? ? 0 ,? 由 (sin ? ? cos ? ) ?
2

?
2

?? ?? .

49 7 ,又 sin ? ? cos ? ? 0 ,得 sin ? ? cos ? ? . 25 5

1 4 ? ? sin ? ? cos ? ? sin ? ? ? ? 4 ? ? 5 5 联立方程组 ? ,解得 ? ,得 tan ? ? ? . 3 ?sin ? ? cos ? ? 7 ?cos ? ? ? 3 ? ? 5 5 ? ?

点评:由于 (sin ? ? cos ? ) ? 1 ? 2sin ? ? cos ? ,因此式子 sin ? ? cos ? , sin ? ? cos ? ,
2

sin ? ? cos ? 三者之间有密切的联系,知其一,必能求其二.
【反馈演练】 1.已知 sin ? ? 2. “n s i
3 5 ? 4 4 ,则 sin ? ? cos ? 的值为_____ 5 . 5

A?

1 ”是“A=30? ”的必要而不充分条件. 2

3.设 0 ? x ? 2? ,且 1 ? sin 2 x ? sin x ? cos x ,则 x 的取值范围是 4.已知 sin ? ? cos ? ? 5. (1)已知 cos ? ? ? (2)已知 sin( x ?

?

1 ? 3? ,且 ≤ ? ≤ ,则 cos 2? 的值是 5 2 4

4 7 ? 25

?x?

5? 4



2 cos(? ? ? ) ? 3sin(? ? ? ) 1 ? ,且 ? ? ? ? 0 ,求 的值. 4 cos(?? ) ? sin(2? ? ? ) 3 2

?
6

)?

1 5? ? ,求 sin( ? x) ? sin 2 ( ? x) 的值. 4 6 3

1 ,得 tan ? ? ?2 2 . 3 ?2cos ? ? 3sin ? ?2 ? 3tan ? 5 原式= ? ? 2? 2. 4cos ? ? sin ? 4 ? tan ? 2
解: (1)由 cos ? ? ? ( 2 )

? sin(

5? ? ? ? ? ? x) ? sin 2 ( ? x) ? sin[? ? ( x ? )] ? sin 2[ ? ( x ? )] 6 3 6 2 6 ? ? 19 ? sin( x ? ) ? cos2 ( x ? ) ? . 6 6 16 4 6.已知 tan ? ? ? ,求 3 6sin ? ? cos ? (I) 的值; 3sin ? ? 2cos ? 1 (II) 的值. 2sin ? cos ? ? cos 2 ?

? 1 ? sin( x ? ) ? 6 4



4 6(? ) ? 1 4 7 6sin ? ? cos ? 6 tan ? ? 1 3 解: (I)∵ tan ? ? ? ;所以 = = ? . 4 3 3sin ? ? 2cos ? 3 tan ? ? 2 3(? ) ? 2 6 3 4 (II)由 tan ? ? ? , 3 sin 2 ? ? cos 2 ? tan 2 ? ? 1 5 1 ? ? ?? . 于是 2 2 3 2sin ? cos ? ? cos ? 2sin ? cos ? ? cos ? 2 tan ? ? 1


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