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2013-2014学年连云港市四星高一(下)期末数学含解析

2013-2014 学年江苏省连云港市高一(下)期末数学试卷(四星)
一、填空题(共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分) 1. (5 分) (2014 春?连云港期末) = .

2. (5 分) (2014 春?连云港期末)一个样本 a,3,5,7 的平均数是 4,则这个样本的方差 是 . 3. (5 分) (2014 春?连云港期末)如图所示是一飞镖游戏板,大圆的直径把一组同心圆分成 四等份,假设飞镖击中圆面上每一个点都是可能的,则飞镖落在黑色区域的概率 是 .

4. (5 分) (2014 春?连云港期末)某商场想通过检查发票及销售记录的 2%来快速估计每月 的销售总额,现采用系统抽样,从某本 50 张的发票存根中随机抽取 1 张,如 15 号,然后按 顺序往后抽,依次为 15,65,115…,则第 5 个号是 . 5. (5 分) (2010?南通校级模拟)设 a=sin17°cos45°+cos17°sin45°,b=2cos 13°﹣1, 则 a,b,c 的大小关系为 . .
2



6. (5 分) (2014 春?连云港期末)如图的算法伪代码运行后,输出的 S 为

7. (5 分) (2015?南昌校级模拟)一次选拔运动员,测得 7 名选手的身高(单位 cm)分布 茎叶图如图,测得平均身高为 177cm,有一名候选人的身高记录不清楚,其末位数记为 x, 那么 x 的值为 .

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8. (5 分) (2014 春?连云港期末) 已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ) ,x∈R(其中 ω>0,|φ|< 的图象的一部分如图所示,则 = .



9. (5 分) (2014 春?连云港期末)从某小学随机抽取 100 名学生,将他们的身高(单位:厘 米)数据绘制成频率分布直方图(如图) ,若要从身高在[120,130) ,[130,140) ,[140,150] 三组内的学生中,用分层抽样的方法选取 20 人参加一项活动,则从身高在[120,130)内的 学生中选取的人数应为 .

10. (5 分) (2014 春?连云港期末)已知函数 f(x)=sin(2x﹣ f(x)的单调递减区间是 .
2

) ,其中 x∈(0,

) ,则

11. (5 分) (2014 春?连云港期末)函数 f(x)=1﹣2sin x+2cosx 的最小值为



12. (5 分) (2014 春?连云港期末)已知圆 C 关于 y 轴对称,圆心在 x 轴上方,且经过点 A ( ,0) ,被 x 轴分成两段弧长之比为 1:2,则圆 C 的标准方程为 . 13. (5 分) (2014 春?连云港期末) 已知 θ∈( = . ,π) , + =2 ,则 sin(2θ+ )

14. (5 分) (2014 春?连云港期末)如图,设 α∈(0,π) ,且 α≠

,当∠ xOy=α 时,定义平

面坐标系 xOy 为 α﹣仿射坐标系, 在 α﹣仿射坐标系中, 任意一点 P 的斜坐标这样定义: ,

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分别为 x 轴,y 轴正向相同的单位向量,若 以下的结论中,正确的序号有 ① =(m,n) ,则| |= ; .

=x

+y

,则记为

=(x,y) ,那么在

② =(m,n) , =(s,t) ,若 ∥ ,则 mt﹣ns=0; ③ =(1,2) , (2,1) ,若 与 的夹角为 ,则 α= ;

④ =(m,n) , =(s,t) ,若 ⊥ ,则 ms+nt=0.

二、解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分) 15. (14 分) (2014 秋?灵武市校级期末)一只不透明的袋子中装有颜色分别为红、黄、蓝、 白的球各一个,这些球除颜色外都相同. (1)求搅匀后从中任意摸出 1 个球,恰好是红球的概率; (2)搅匀后从中任意摸出 1 个球,记录下颜色后放回袋子中并搅匀,再从中任意摸出 1 个 球,求至少有一次摸出的球是红球的概率.

16. (14 分) (2014 春?连云港期末)已知 , , 在同一平面内,且 =(﹣1,2) . (1)若 =(m﹣1,3m) ,且 ∥ ,求 m 的值; (2)若| ﹣ |=3,且( +2 )⊥ (2 ﹣ ) ,求 ﹣ 与 的夹角.

17. (14 分) (2014 春?连云港期末)设函数 f(x)=2sinωxsin(ωx+ 数) . (1)若 f(x)的图象中相邻两对称轴之间的距离不小于 (2)若 f(x)的最小正周期为 π,且当 x∈[﹣ = ,求 f( ﹣α)的值. ,

)+k(ω>0,k 为常

,求 ω 的取值范围;

]时,f(x)的最大值是 ,又 f(α)

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18. (16 分) (2014 春?连云港期末)如图,两块直角三角板拼在一起,已知∠ ABC=45°, ∠ BCD=60°. (1)若记 (2)若 AB= = , ,求 = ,试用 , 表示向量 ? . , ;

19. (16 分) (2014 春?连云港期末)如图,C,D 是两个小区的所在地,C,D 到一条公路 AB 的垂直距离 CA=1km,DB=2km,AB 两端之间的距离为 4km,某公交公司将在 AB 之间 找一点 N,在 N 处建造一个公交站台. (1)设 AN=x,试写出用 x 表示∠ CND 正切的函数关系式,并给出 x 的范围; (2)能否找出一点 N,使点 N 到 C,D 两小区的距离之和(NC+ND)最小,若能,请说明 理由,并求出 x 的值;若不能,也请说明理由.

20. (16 分) (2014 春?连云港期末)如图,在直角坐标系 xOy 中,圆 O:x +y =4 与 x 轴负 半轴交于点 A,过点 A 的直线 AM,AN 分别与圆 O 交于 M,N 两点. (1)若 kAM=2,kAN=﹣ ,求△ AMN 的面积; (2)过点 P(3 ,﹣5)作圆 O 的两条切线,切点分别记为 E,F,求 ? ;

2

2

(3)若 kAM?kAN=﹣2,求证:直线 MN 过定点.

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2013-2014 学年江苏省连云港市高一(下)期末数学试卷 (四星)
参考答案与试题解析

一、填空题(共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分) 1. (5 分) (2014 春?连云港期末) = .

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 计算题. 分析: 利用诱导公式把 解答: 解:原式=cos(4π﹣ 故答案为:

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转化为 cos )=cos =

,利用余弦的特殊角求得答案.

点评: 本题主要考查了运用诱导公式化简求值.解题的时候要特别留意三角函数的正负值的 判定. 2. (5 分) (2014 春?连云港期末)一个样本 a,3,5,7 的平均数是 4,则这个样本的方差 是 5 . 考点: 极差、方差与标准差;众数、中位数、平均数. 专题: 概率与统计. 分析: 由平均数的定义先求出 a,再计算这个样本的方差. 解答: 解:∵ 一个样本 a,3,5,7 的平均数是 4, ∴ a+3+5+7=4×4,解得 a=1, ∴ 这个样本的方差:
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S = [(1﹣4) +(3﹣4) +(5﹣4) +(7﹣4) ] =5. 故答案为:5. 点评: 本题考查方差的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意方差的公式的合理运用. 3. (5 分) (2014 春?连云港期末)如图所示是一飞镖游戏板,大圆的直径把一组同心圆分成 四等份,假设飞镖击中圆面上每一个点都是可能的,则飞镖落在黑色区域的概率是 .

2

2

2

2

2

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考点: 几何概型. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 首先确定阴影的面积在整个轮盘中占的比例,根据这个比例即可求出飞镖落在阴影部 分的概率. 解答: 解:∵ 观察发现:阴影部分面积= 圆的面积,
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∴ 镖落在黑色区域的概率是 , 故答案为: . 点评: 此题主要考查了几何概率,确定阴影部分的面积与大圆的面积之间的关系是解题的关 键. 4. (5 分) (2014 春?连云港期末)某商场想通过检查发票及销售记录的 2%来快速估计每月 的销售总额,现采用系统抽样,从某本 50 张的发票存根中随机抽取 1 张,如 15 号,然后按 顺序往后抽,依次为 15,65,115…,则第 5 个号是 215 . 考点: 系统抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: 相邻号码的间隔是 50,第 1 个号是 15 号,第 5 个号和第 1 个号间有 4 个间隔,由此 能求出第 5 个号的号码. 解答: 解:由题意知相邻号码的间隔是 50, 第 1 个号是 15 号,第 5 个号和第 1 个号间有 4 个间隔, ∴ 第 5 个号是:15+4×50=215. 故答案为:215. 点评: 本题考查系统抽样的应用,是基础题,解题时要认真审题.
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5. (5 分) (2010?南通校级模拟)设 a=sin17°cos45°+cos17°sin45°,b=2cos 13°﹣1, 则 a,b,c 的大小关系为 c<a<b .

2



考点: 不等式比较大小;两角和与差的正弦函数;二倍角的余弦. 专题: 计算题. 分析: 利用三角函数中两个和的正弦公式,及倍角公式,不难将 a,b,c 全部化为正弦函数, 再利用正弦函数的单调性即可解答. 解答: 解:∵ a=sin17°cos45°+cos17°sin45°=sin(17°+45°)=sin62° 2 ∵ b=2cos 13°﹣1=cos26°=sin64°
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=sin60°,

又∵ y=sinx 在 0°~90°上为增函数 ∴ c<a<b 故选 C<a<b 点评: 对三角函数式进行大小比较,一般要将其化为同名三角函数,并将其角化归到该函数 的某个单调区间上,再利用函数的单调性进行解答. 6. (5 分) (2014 春?连云港期末)如图的算法伪代码运行后,输出的 S 为 15 .

考点: 循环结构. 专题: 算法和程序框图. 分析: 模拟该算法的运行过程,即可得出输出的 S 值是多少. 解答: 解:模拟该算法的运行过程,如下; I=1,I≤9,S=2×1﹣3=﹣1; I=3,I≤9,S=2×3﹣3=3; I=5,I≤9,S=2×5﹣3=7; I=7,I≤9,S=2×7﹣3=11; I=9,I≤9,S=2×9﹣3=15; I=11,I>9,输出 S=15. 故答案为:15. 点评: 本题考查了算法程序的应用问题,解题时应模拟该算法的运行过程,从而得出正确的 答案,是基础题.
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7. (5 分) (2015?南昌校级模拟)一次选拔运动员,测得 7 名选手的身高(单位 cm)分布 茎叶图如图,测得平均身高为 177cm,有一名候选人的身高记录不清楚,其末位数记为 x, 那么 x 的值为 8 .

考点: 茎叶图. 专题: 图表型. 分析: 求出这 7 组数的平均数,列出关于 x 的方程,即可解得答案. 解答: 解:由题意得:
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=177 解得 x=8. 故答案为:8. 点评: 本题以茎叶图为载体,考查平均数,要求会读图.属简单题 8. (5 分) (2014 春?连云港期末) 已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ) ,x∈R(其中 ω>0,|φ|< 的图象的一部分如图所示,则 = 1 .



考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由周期求出 ω,由五点法作图求出 φ 的值,从而求得
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的值.

解答: 解:有函数的图象可得 T= ? 再由五点法作图可得

=3﹣1,∴ ω= ,则

. =1,

×3+φ=π,∴ φ=

故答案为:1. 点评: 本题主要考查由函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,属于基础题. 9. (5 分) (2014 春?连云港期末)从某小学随机抽取 100 名学生,将他们的身高(单位:厘 米)数据绘制成频率分布直方图(如图) ,若要从身高在[120,130) ,[130,140) ,[140,150] 三组内的学生中,用分层抽样的方法选取 20 人参加一项活动,则从身高在[120,130)内的 学生中选取的人数应为 10 .

考点: 频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: 由频率分布图求出从身高在[120,130)内的学生人数为 30 人,身高在[120,130) ,
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[130,140) ,[140,150]三组内的学生数为 60 人,由此能求出结果. 解答: 解:由频率分布图知: 身高在[120,130)内的学生所占的频率为 1﹣(0.005+0.010+0.020+0.035)×10=0.3, 则从身高在[120,130)内的学生人数为 100×0.3=30(人) , 身高在[120,130) ,[130,140) ,[140,150]三组内的学生数为: 100×[(0.003+0.002+0.001)×10]=60(人) , 从这 60 人中用分层抽样的方法选取 20 人参加一项活动, 则从身高在[120,130)内的学生中选取的人数应为 人.

故答案为:10. 点评: 本题考查分层抽样的应用,是基础题,解题时要认真审题,注意频率分布直方图的灵 活运用. ) ,其中 x∈(0,

10. (5 分) (2014 春?连云港期末)已知函数 f(x)=sin(2x﹣ f(x)的单调递减区间是 ( , ) .

) ,则

考点: 复合三角函数的单调性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由 2kπ+ 2x﹣ <2kπ+ 的即可. 解答: 解:由 2kπ+

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可得函数所有的单调递减区间,找出满足 x∈(0,



2x﹣

<2kπ+

可解得 kπ+

<x<kπ+

, ,kπ+ )k∈Z,

∴ 函数数 f(x)=sin(2x﹣ 其中满足 x∈(0, 故答案为: ( ,

)的单调递减区间为(kπ+ , )

)的为( )

点评: 本题考查三角函数的单调性,属基础题.
2

11. (5 分) (2014 春?连云港期末)函数 f(x)=1﹣2sin x+2cosx 的最小值为 ﹣



考点: 三角函数的最值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 先把函数转化为关于 cosx 的一元二次函数,进而根据二次函数的性质求得函数的最 小值. 解答: 2 2 2 2 解:f(x)=1﹣2sin x+2cosx=1﹣2+2cos x+2cosx=2cos x+2cosx﹣1=(cosx+ ) ﹣ ,
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∵ ﹣1≤cosx≤1,
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∴ 当 cosx=﹣ 时,函数取最小值,最小值为﹣ , 故答案为:﹣ . 点评: 本题主要考查了二次函数的性质.解题的关键是确定函数图象的开口方向和对称轴. 12. (5 分) (2014 春?连云港期末)已知圆 C 关于 y 轴对称,圆心在 x 轴上方,且经过点 A 2 2 ( ,0) ,被 x 轴分成两段弧长之比为 1:2,则圆 C 的标准方程为 x +(y﹣1) =4 . 考点: 圆的标准方程. 专题: 直线与圆. 分析: 设圆心 C(0,a) ,a>0,由题意可得圆被 x 轴截得的弦对的圆心角为
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,故有

tan

=

,求得 a=1,

可得半径 CP 的值,从而求得圆的方程. 解答: 解:设圆心 C(0,a) ,a>0,则半径为 CA,根据圆被 x 轴分成两段弧长之比为 1:2, 可得圆被 x 轴截得的弦对的圆心角为
2

,故有 tan
2

=

=

,解得 a=1,

半径 CP= =2,故圆的方程为 x +(y﹣1) =4, 2 2 故答案为:x +(y﹣1) =4. 点评: 本题主要考查求圆的标准方程,直线和圆相交的性质,关键是求圆心坐标,属于基础 题. 13. (5 分) (2014 春?连云港期末) 已知 θ∈( = .

,π) ,

+

=2

,则 sin(2θ+



考点: 两角和与差的正弦函数;同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由已知条件易得 sin2θ,结合角的范围和同角三角函数基本关系可得 cos2θ,由两角和 的正弦公式可得. 解答: 解:∵ + =2 ,∴ =2 ,
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∴ sinθ+cosθ=2 sinθcosθ, 2 平方可得 8(sinθcosθ) ﹣2sinθcosθ﹣1=0 解得 sinθcosθ= ∵ θ∈( ,或

,π ) ,∴ sinθcosθ<0, ,
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∴ sin2θ=2sinθcosθ=

∴ sinθ+cosθ=﹣
2



∴ (sinθ﹣cosθ) =1﹣2sinθcosθ= ∴ sinθ﹣cosθ= , =sin θ﹣cos θ=﹣cos2θ
2 2

∴ (sinθ﹣cosθ) (sinθ+cosθ)=﹣ ∴ cos2θ=﹣ ∴ sin(2θ+ 故答案为: , )= sin2θ+

cos2θ=﹣ + = ;

点评: 本题考查两角和与差的三角函数运算,涉及一元二次方程的解法和同角三角函数的基 本关系,属中档题. 14. (5 分) (2014 春?连云港期末)如图,设 α∈(0,π) ,且 α≠

,当∠ xOy=α 时,定义平

面坐标系 xOy 为 α﹣仿射坐标系, 在 α﹣仿射坐标系中, 任意一点 P 的斜坐标这样定义: , 分别为 x 轴,y 轴正向相同的单位向量,若 以下的结论中,正确的序号有 ② ③ . ① =(m,n) ,则| |= ; =x +y ,则记为 =(x,y) ,那么在

② =(m,n) , =(s,t) ,若 ∥ ,则 mt﹣ns=0; ③ =(1,2) , (2,1) ,若 与 的夹角为 ,则 α= ;

④ =(m,n) , =(s,t) ,若 ⊥ ,则 ms+nt=0.

考点: 命题的真假判断与应用;平面向量的坐标运算. 专题: 平面向量及应用;简易逻辑. 分析: 把新定义回归到向量的数量积的运算对每个结论进行验证,即可得出结论. 解答: 解:对于① , =(m,n) ,则| |=|m +n |= ,∵
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,∴ ①

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错误; 对于② ,由 ∥ 得 =λ ,∴ s=λm,t=λn,∴ mt﹣ns=0,故② 正确; 对于③ , =(1,2) , (2,1) , 与 的夹角为 (5+4 ? )cos =(m ,故 +n ? )?(s ,根据夹角公式得 4+5 ,③ 正确 ? =

=﹣ ,即 cosα=﹣ ,则 α= +t

对于④ ,∵

)=ms+nt+(mt+ns)cosα≠ms+nt,∴ ④ 错误;

所以正确的是② 、③ . 故答案为:② ③ 点评: 本题为新定义,正确理解题中给出的斜坐标并与已知的向量知识相联系是解决问题的 关键,属基础题. 二、解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分) 15. (14 分) (2014 秋?灵武市校级期末)一只不透明的袋子中装有颜色分别为红、黄、蓝、 白的球各一个,这些球除颜色外都相同. (1)求搅匀后从中任意摸出 1 个球,恰好是红球的概率; (2)搅匀后从中任意摸出 1 个球,记录下颜色后放回袋子中并搅匀,再从中任意摸出 1 个 球,求至少有一次摸出的球是红球的概率. 考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: (1)列举出所有的可能结果,找到恰是红球的结果,根据概率公式计算即可, (2)列举出所有可能出现的结果,找到至少有一次是红球的结果,根据概率公式计 算即可. 解答: 解: (1)搅匀后从中任意摸出 1 个球,所有可能出现的结果有:红、黄、蓝、白,共 有 4 种,它们出现的可能性相同.所有的结果中,满足“恰好是红球”(记为事件 A)
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的结果只有 1 种,所以 P(A)= . (2)搅匀后从中任意摸出 1 个球,记录下颜色后放回袋子中并搅匀,再从中任意摸 出 1 个球,所有可能出现的结果有: (红,红) 、 (红,黄) 、 (红,蓝) 、 (红,白) 、 (黄, 红) 、 (黄,黄) 、 (黄,蓝) 、 (黄,白) 、 (蓝,红) 、 (蓝,黄) 、 (蓝,蓝) 、 (蓝,白) 、 (白,红) 、 (白,黄) 、 (白,蓝) 、 (白,白) ,共有 16 种,它们出现的可能性相同.所 有的结果中,满足“至少有一次是红球”(记为事件 B)的结果只有 7 种,所以 P(B) = .

点评: 本题主要考查了古典概型的概率的计算,关键是一一列举出所有的基本事件,属于基 础题.

16. (14 分) (2014 春?连云港期末)已知 , , 在同一平面内,且 =(﹣1,2) .

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(1)若 =(m﹣1,3m) ,且 ∥ ,求 m 的值; (2)若| ﹣ |=3,且( +2 )⊥ (2 ﹣ ) ,求 ﹣ 与 的夹角.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)利用向量共线定理即可得出. (2)利用向量垂直与数量积的关系、向量的夹角公式即可得出. 解答: 解: (1)由 ∥ ,
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∴ 2(m﹣1)+3m=0,解得 (2)∵ =(﹣1,2) ,∴

. .

∵ ( +2 )⊥ (2 ﹣ ) ,∴ ( +2 )?(2 ﹣ )=0, 化为 由| ﹣ |=3,得 解之得, =2, =8. =0,∴ =9,即 =0, =4,

设 ﹣ 与 的夹角为 θ.

则 cosθ= 又 θ∈[0,π],∴ θ= 即 ﹣ 与 的夹角为

= . .

=

=﹣



点评: 本题考查了向量共线定理、量垂直与数量积的关系、向量的夹角公式,考查了推理能 力和计算能力,属于基础题.

17. (14 分) (2014 春?连云港期末)设函数 f(x)=2sinωxsin(ωx+ 数) . (1)若 f(x)的图象中相邻两对称轴之间的距离不小于

)+k(ω>0,k 为常

,求 ω 的取值范围;

第 14 页(共 21 页)

(2)若 f(x)的最小正周期为 π,且当 x∈[﹣ = ,求 f( ﹣α)的值.



]时,f(x)的最大值是 ,又 f(α)

考点: 三角函数中的恒等变换应用. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)利用两角和与差的三角函数化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式,
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利用函数的周期的一半不小于

,即可求 ω 的取值范围; , ]完成相

(2)通过 f(x)的最小正周期为 π,求出函数的解析式,通过 x∈[﹣

位的范围,然后通过求解 f(x)的最大值是 ,又 f(α)= ,利用两角和与差的三角 函数求 f( ﹣α)的值. )+k

解答: 解: (1)f(x)=2sinωxsin(ωx+ =sin ωx+ = =sin(2ωx﹣ 由题意知 )+k+
2

sinωxcosωx+k

…(6 分)

,得 ω 的取值范围为 0<ω≤1 …(8 分) …(9 分) 上为增函数,

(2)若 f(x)的最小正周期为 π,得 ω=1 f(x)=sin(2x﹣ )+k+ ,有 f(x)在区间

所以 f(x)的最大值为 f( 所以 f(α)=sin(2 f( =sin( = sin( = 或 )=sin( ) )+

)=1+k= ,则 k=﹣ ,…(11 分) )= ,所以 cos(2 ) )= …(12 分)

…(14 分)

点评: 本题考查三角函数的化简求值,两角和与差的三角函数的应用,三角函数的基本性质 的应用,考查计算能力.
第 15 页(共 21 页)

18. (16 分) (2014 春?连云港期末)如图,两块直角三角板拼在一起,已知∠ ABC=45°, ∠ BCD=60°. (1)若记 (2)若 AB= = , ,求 = ,试用 , 表示向量 ? . , ;

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)利用向量共线定理可得
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,再利用向量三角形法则即可得出; , 可得 . 再利用 (1)

(2) 利用平行线的性质由 BD∥ AC 可得 的结论和数量积运算性质即可得出. 解答: 解: (1)∵ AC⊥ BC,BD⊥ BC, ∴ BD∥ AC, ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ = + , = , = . = , ,

(2)∵ BD∥ AC, ∴ ∴ ∴ ∵ AB= ∴ = , , . ,∴ AC=BC=1. =1.

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∴ = = =

= =

=



点评: 本题考查了向量共线定理、数量积运算及其性质,属于中档题. 19. (16 分) (2014 春?连云港期末)如图,C,D 是两个小区的所在地,C,D 到一条公路 AB 的垂直距离 CA=1km,DB=2km,AB 两端之间的距离为 4km,某公交公司将在 AB 之间 找一点 N,在 N 处建造一个公交站台. (1)设 AN=x,试写出用 x 表示∠ CND 正切的函数关系式,并给出 x 的范围; (2)能否找出一点 N,使点 N 到 C,D 两小区的距离之和(NC+ND)最小,若能,请说明 理由,并求出 x 的值;若不能,也请说明理由.

考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 应用题;函数的性质及应用. 分析: (1)把∠ CNA 与∠ DNB 的正切值用含有 x 的代数式表示,再把∠ CND 的正切值用含有 x 的代数式表示; (2)过点 C 作直线 AB 的对称点 M,连结 DM,交 AB 于点 N,则点 N 即为所求的 点. 解答: 解: (1)由题知,令∠ CNA=α,∠ DNB=β,
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则 tanα= ,tanβ=

,…(2 分) …(6 分) ) …(8 分)

所以 tan∠ CND=﹣tan(α+β)= = (0<x<4,且 x≠2±

(2)过点 C 作直线 AB 的对称点 M,连结 DM,交 AB 于点 N,则点 N 即为所求的 点.…(10 分) 在 AB 上任取一不同于点 N 的点 P,边结 CP,DP, 则 PC+PD=PM+PD>DM,所以在点 N 处 NC+ND 的值最小.…(12 分) 如图设 AN=x,此时∠ CND=∠ CNA,
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= ,

所以 x= .…(16 分)

点评: 本题考查解三角形的实际应用,考查了利用基本不等式求最值,解答的关键是把实际 问题转化为数学问题,是中档题. 20. (16 分) (2014 春?连云港期末)如图,在直角坐标系 xOy 中,圆 O:x +y =4 与 x 轴负 半轴交于点 A,过点 A 的直线 AM,AN 分别与圆 O 交于 M,N 两点. (1)若 kAM=2,kAN=﹣ ,求△ AMN 的面积; (2)过点 P(3 ,﹣5)作圆 O 的两条切线,切点分别记为 E,F,求 ? ;
2 2

(3)若 kAM?kAN=﹣2,求证:直线 MN 过定点.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)直线 AM 的方程为 y=2x+4,直线 AN 的方程为 y=﹣ x﹣1,由中位线定理知,
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AN=

,由此能求出△ AMN 的面积. = ,cos∠ FPE=2cos ∠ OPE﹣1=
2

(2)由已知条件推导出 cos∠ OPE= 能求出 ? .

,由此

第 18 页(共 21 页)

(3)设直线 AM 的方程 y=k(x+2) ,则直线 AN 的方程为 y=﹣ (x+2) ,联立方程

,得 M(

) ,同理 N(

) ,由此能证

明直线 MN 过定点(﹣ ,0) . 解答: (1)解:由题知,得直线 AM 的方程为 y=2x+4, 直线 AN 的方程为 y=﹣ x﹣1,…(2 分) 所以,圆心到直线 AM 的距离 d= 由中位线定理知,AN= ,所以 AM=2 ,

,…(4 分) .…(6 分) =4 =2 , ,

由题知 kAM?kAN=﹣1,所以 AN⊥ AM,S= (2)解:| PO= 所以 cos∠ OPE=
2

|=

=

.…(8 分) ) ﹣1= =
2

所以 cos∠ FPE=2cos ∠ OPE﹣1=2( 所以

, .…(10 分)

(3)证明:由题知直线 AM 和直线 AN 的斜率都存在,且都不为 0, 不妨设直线 AM 的方程 y=k(x+2) ,则直线 AN 的方程为 y=﹣ (x+2) ,
2 2

所以,联立方程

,得(x+2)[(1+k )x+2k ﹣2]=0,

得 x=﹣2 或 x=



所以 M(

) ,同理 N(

) ,…(13 分)

因为 x 轴上存在一点 D(﹣ ,0) ,

第 19 页(共 21 页)

所以

=

=

,同理

,…(15 分)

所以 kDN=kDM,所以直线 MN 过定点(﹣ ,0) .…(16 分) 点评: 本题考查三角形面积的求法,考查向量的数量积的求法,考查直线过定点的证明,解 题时要认真审题,注意函数与方程思想的合理运用.

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参与本试卷答题和审题的老师有: zhwsd; zlzhan; 刘长柏; 翔宇老师; 742048; minqi5; caoqz; lincy;wsj1012;qiss;whgcn;孙佑中(排名不分先后) 菁优网 2015 年 6 月 11 日

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