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高二数学寒假挑战赛-理科


寒假自主学习挑战赛--高二理科数学试卷 一. 选择题(每小题 4 分) 1.给定两个命题 p,q, 若? p是q的必要而不充分条件,则p是 ? q的( A. 必要而不充分 B. 充要 C. 既不充分也不必要 ) 条件.

D. 充分而不必要

1 2.已知命题p:?x ? R, x 2 -x ? <0;命题q:?x0 ? R,sin x0 ? cos x0 ? 2 .则下列判断 4 正确的是( )

A. ?p是假命题

B. q是真命题

C.

?

q是真命题

D. q是假命题

3. 已知VABC的顶点B,C在椭圆

x2 且椭圆的另 ? y 2 ? 1上,顶点A是椭圆的一个焦点, 3

一个焦点 F 在 BC 上,则 VABC 的周长是( A. 12 4. 椭圆 B. 4 3 C. 6

) D. 2 3

x2 过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交,一个 ? y 2 ? 1的两个焦点为F1,F2, 4

uur 交点为 P,则 PF2 =(

)
3 2

A. 4

B.

C.

3

D.

7 2

5.已知F1,F2为双曲线C:x2 ? y2 ? 2的左、右焦点,点P在C上, PF1 ? 2 PF2 ,则cos?F1PF2 ?

( )A.

1 4
2 2

B.

3 5

C.

3 4

D.

4 5

x y 6.双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? ,过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 a b

M,N 两点,O 是坐标原点.若 OM ? ON , 则双曲线的离心率为( A.
1? 2 2



B.

1? 3 2

C.

1? 5 2

D.

1? 7 2

7.抛物线 y ? x2 上的动点 M 到直线 l : x-y-1=0 距离的最小值是( A.
3 4



B.

3 8

C.

3 2 8

D.

3 2 4

8. 以椭圆

x2 y 2 ? ? 1的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是 ( 13 9



A. y 2 ? 4 13x

B. y 2 ? 8x

C. y2 ? ?4 13x

D. y 2 ? ?8x )

9.曲线 f ( x) ? x3 ? x ? 2在P 0处的切线平行于直线y ? 4 x ?1, 则P 0点的坐标为 ( A. (1,0)和(-1,-4)
3

B. (2,8)

C.(1,0)

D. (2,8)和(-1,-4)

10. 函数 f(x)=x -2x+3 的图象在 x=1 处的切线与圆 x2+y2=8 的位置关系是 (
2 A.3

)A.相切

B.相交且过圆心
4 C.3

C.相交但不过圆心
5 D.3

D.相离
)

11. 由抛物线 y=x2-x,直线 x=-1 及 x 轴围成的图形的面积为(
B.1
2

ex e2 12.设函数 f(x)满足 x f′(x)+2xf(x)= x ,f(2)= 8 ,则 x>0 时, f(x)( A.有极大值,无极小值 B.有极小值,无极大值

)

C.既有极大值又有极小值
二. 填空题(每小题 4 分)

D.既无极大值也无极小值

13.设 ?an ? 是首项大于零的等比数列,则“ a1 ? a2 ”是“数列 ?an ? 是递增数列” 的 条件.(从”充分而不必要” 、 “必要而不充分” 、 “充要” 、 “既不充 分也不必要”中选一项填空) 14.命题 "对?x ? R, x ? 2 ? x ? 4 ? 3"的否定是 15. F1,F2是
uuu r uuu r x2 ? y 2 ? 1的左、右焦点,点P在椭圆上运动,则PF1 gPF2的最大值是 4

.

1 1 16. 已知函数 f(x)= ax3+ ax2-2ax+2a+1 的图象经过四个象限, 则实数 a 的 3 2 取值范围是________.
三.解答题(17、18 题各 8 分;19—22 题各 10 分) 17.指出下列各题中,p 是 q 的什么条件: (1) p : ax2 ? ax ? 1 ? 0的解集是R;q : 0 ? a ? 4. (2) p : x-2 <1;q :
6 ? ?1. x?5

18.已知命题 p:函数 y ? loga (1 ? 2 x) 在定义域上单调递增; 命题 q:不等式 y ? (a ? 2) x2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0对任意实数x恒成立. 若 p ? q 是真命题,求实数 a 的取值范围.

x2 y 2 ? ? 1(0 ? b ? 10)的左、右焦点,点P是椭圆上一点. 100 b2 (1) PF1 g PF2 的最大值; 19.F1,F2是椭圆 (2)若?F1PF2 =600,且VF1PF2的面积为 64 3 ,求b的值. 3

20. 已知函数 f(x)=ax3+bx2 的图象经过点 M(1,4),曲线在点 M 处的切线恰好与 直线 x+9y=0 垂直. (1)求实数 a,b 的值; (2)若函数 f(x)在区间[m,m+1] 上单调递增,求 m 的取值范围. 21. 如图,在四棱锥 O-ABCD 中,底面 ? ABCD 是边长为 1 的菱形, ?ABC ? ,
4
OA ? 底面ABCD, OA ? 2, M 为OA的中点.

(1)求异面直线 AB 与 MD 夹角的大小; (2)求点 B 到平面 OCD 的距离.

21 题图

1 22.设函数 f(x)=aex+aex+b(a>0). (1)求 f(x)在[0,+∞)内的最小值; 3 (2)设曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y=2x,求 a,b 的值.


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