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校车安排问题


校车安排模型
摘要 本文研究了如何合理安排车辆并让教师和工作人员满意的问题。 在问题一中,我们利用 FLOYD 算法求出了最短路距离矩阵,在此基础上,我们以各区 域到最近乘车点的距离和最小为目标函数对 50 个区域进行遍历分析,建立模型一,找出 n 个最优乘车点。 并利用模型求出了如果设立 2 个乘车点则区号为 18 区和 31 区, 其最短总距 离为 24492 米。如果设立 3 个乘车个点则分别为 15 区、21 区和 31 区,其最短总距离 Z 为 19660 米。 在问题二中,为了表示满意度随距离的增大而减小的关系,我们建立满意度函数,并对 各区人数进行了归一化处理, 然后以所有区域人员满意度最大为目标函数建立模型二。 并依 据模型求出当建立 2 个乘车点时最优解为 19 点和 32 点,总满意度为 0.78。当建立 3 个乘 车点时的最优解为第 15,21,32 点,满意度为 0.83。 在处理问题三时, 我们利用总满意度最大模型和最少车辆的双目标函数, 求得满意度最 大的情况下的 3 个乘车点车辆使用情况;然后与“全区极限最少车辆数 53.23”进行比较, 发现和模型结果一致,于是确定车辆最少需要 54 辆,并且 15,21,32 三个乘车点各需 17, 19,18 辆车。 最后,我们结合模型对校车的安排问题提供了建议。

一 问题提出 许多学校都建有新校区, 常常需要将老校区的教师和工作人员用校车送到新校区。 由于 每天到新校区的教师和工作人员很多, 往往需要安排许多车辆。 有效的安排车辆并让教师和 工作人员尽量满意是个十分重要的问题。 假设老校区的教室和工作人员分布在 50 个区。 问题一:建立 n 个乘车点,使各区人员到乘车点的距离最小,建立模型,并分别建立两 个和三个乘车点的校车安排方案。 问题二:考虑每个区的乘车人数,使工作人员和教室的满意度最大,建立模型,并分别 建立两个和三个乘车点的校车安排方案。(假定车只在起始点载人) 问题三:在教师和工作人员尽量满意的前提下,在 50 个区内找出最优的三个乘车点的 位置,并根据各个乘车点的人数, (车辆最多载客 47 人)确定车辆个数。 最后, 跟据以上所得出的结论, 在提高乘车人员的满意度, 又可节省运行成本的前提下, 对如何改进校车的安排方案提出意见。 二 模型分析 第一问要求建立 n 个乘车点,使各区人员到最近乘车点的距离最小。首先结合表一,利 用 FLOYD 算法求得任意两点之间最短距离;其次在 50 个区域中任意选取 n 个区域作为乘 车点, , 找出每个区域所对应的最近乘车点, 最后以 50 个区域到各自最近乘车点的最短距离 和的最小值为目标函数建立模型一。 并对设立 2 个和 3 个乘车点时的校车安排问题进行求解。

[编辑本段]定义 Floyd 算法又称为弗洛伊德算法,插点法,是一种用于寻找给定的加权图中顶点间 最短路径的算法。 [编辑本段]核心思路 通过一个图的权值矩阵求出它的每两点间的最短路径矩阵。 从图的带权邻接矩阵 A=[a(i,j)] n×n 开始,递归地进行 n 次更新,即由矩阵 D(0)=A,按一个公式,构造出矩阵 D(1);又用同样地公式由 D(1)构造出 D(2);……;最后 又用同样的公式由 D(n-1)构造出矩阵 D(n)。 矩阵 D(n)的 i 行 j 列元素便是 i 号顶点到 j 号 顶点的最短路径长度,称 D(n)为图的距离矩阵,同时还可引入一个后继节点矩阵 path 来记 录两点间的最短路径。 采用的是松弛技术, 对在 i 和 j 之间的所有其他点进行一次松弛。 所以时间复杂度 为 O(n^3); [编辑本段]算法描述 a) 初始化:D[u,v]=A[u,v] b) For k:=1 to n For i:=1 to n For j:=1 to n If D[i,j]>D[i,k]+D[k,j] Then D[i,j]:=D[i,k]+D[k,j]; c) 算法结束:D 即为所有点对的最短路径矩阵 [编辑本段]算法过程 把图用邻接矩阵 G 表示出来,如果从 Vi 到 Vj 有路可达,则 G[i,j]=d,d 表示该路 的长度;否则 G[i,j]=空值。 定义一个矩阵 D 用来记录所插入点的信息,D[i,j]表示从 Vi 到 Vj 需要经过的点, 初始化 D[i,j]=j。 把各个顶点插入图中,比较插点后的距离与原来的距离,G[i,j] = min( G[i,j], G[i,k]+G[k,j] ),如果 G[i,j]的值变小,则 D[i,j]=k。 在 G 中包含有两点之间最短道路的信息,而在 D 中则包含了最短通路径的信息。 比如,要寻找从 V5 到 V1 的路径。根据 D,假如 D(5,1)=3 则说明从 V5 到 V1 经过 V3,路径为{V5,V3,V1},如果 D(5,3)=3,说明 V5 与 V3 直接相连,如果 D(3,1)=1,说明 V3 与 V1 直接相连。 [编辑本段]时间复杂度 O(n^3) [编辑本段]优缺点分析 Floyd 算法适用于 APSP(All Pairs Shortest Paths),是一种动态规划算法,稠密 图效果最佳,边权可正可负。此算法简单有效,由于三重循环结构紧凑,对于稠密图,效率 要高于执行|V|次 Dijkstra 算法。 优点:容易理解,可以算出任意两个节点之间的最短距离,代码编写简单; 缺点:时间复杂度比较高,不适合计算大量数据。 第二问要求在教师和工作人员的满意度最大为前提条件下选出最佳乘车点。 为此需要建 立关于满意度的函数(任意随距离单调递减的函数) ,并对每个区的人数进行归一化处理, 然后以总满意度最高为目标函数建立模型二, 并对设立 2 个和 3 个乘车点时的校车安排问题 进行求解。 第三问要去建立 3 个乘车点,在尽量使教师和工作人员满意的前提下所需的车辆最少,

我们利用模型二和总车辆数最少函数的双目标函数进行优化求解,得出最优解。 第四问中我们结合第三问的结果对车辆的安排情况提出了建议。 三 模型假设 1、假设每个人只遵循最近点乘车原则 2、假设每辆车只载一次人 3、假设汽车中途不再载人 4、假设每辆车的型号一致 5、假设每个乘车点的乘车人数固定不变 四 符号说明

Z 各区域到最近乘车点的总距离

Z1 三个乘车点时的总满意度 Z 2 三个乘车点的总车辆数
T 总人数

k i 区域号 d k 区域到最近乘车点的最小距离 p n 乘车点( n ? (1,2,?,50) ) Pi Ai
各区域人数 到第 i 个乘车点的子集合

s 满意度
ci
第 i 各乘车点的车辆数

B(i, j ) i 区域到 j 区域的最短距离矩阵
i i =( 1,2,?,50 )

j

j =( 1,2,?,50 )
五 模型建立与求解

5.0 问题一 要求: 建立 n 个乘车点, 使各区人员到乘车点的距离最小, 建立模型, 并求的 n ? 2,3 时 的结果。 5.0.1 采用 FLOYD 算法 求得 50 个区域的最短距离矩阵 B(i, j ) , (i, j ? 1,2,?,50) 结合表一,利用 FLOYD 算法求的任意两点之间最短距离(程序见附录【1】 ) 。
?1?

算法如下: 1、先根据题目数据为初始矩阵 B(i, j ) 赋值,其中没有给出距离的赋给一大值,以便于 更新。 2、进行迭代计算。对任意两点 (i, j ) ,若存在 k ,使 B(i, k ) ? B(k , j ) ? B(i, j ) ,则更新

B(i, j ) ? B(i, k ) ? B(k , j ) 。
3、直到所有点的距离不再更新停止计算。则得到最短路距离矩阵 B(i, j ) ,

(i, j ? 1, 2,

.50) 。

5.0.2 建立模型一 在最短路距离矩阵 B(i, j ) 的基础上,再做如下分析: 首先,在 50 个区域中任意选取 n 个区域作为乘车点

{ p1 , p2 ,

, pn }∈ {,1, 2,

,50}

其次,引入变量 d k ,表示 k 区域到最近乘车点的最小距离

dk ? min{B(k , p1 ), B(k , p2 ),
50

, B(k , pn )}

然后,求出 50 个区域到各自最近乘车点的最短距离之和,

Z ? ? dk
k ?1

最后,建立模型一 最佳乘车点是使得 50 个区域到各自最近乘车点的最短距离之和最小的点,基于此建立 目标函数:

min Z ? ? d k
k ?1

50

其中

dk ? min{B(k , p1 ), B(k , p2 ), { p1 , p2 , , pn }∈ {,1, 2,
,50}

, B(k , pn )}

n 为选出的最佳乘车点。
依据模型一,利用 MATLAB 软件(程序见附录【2】)求得结果如下: 当 n =2 时: 选两个乘车点时为 18 和 31,总距离 Z =24492 米 选 18 的区域有 26 个: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 24 25 26 27 47 选 31 的区域有 24 个:

22 23 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 48 49 50 当 n =3 时: 选三个乘车点时为 15,21,31,总距离为 Z =19660 米 选 15 的区域有 17 个: 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 25 26 27 选 21 的区域有 16 个: 1 2 3 4 19 20 21 22 23 24 44 45 46 47 48 49 选 31 的区域有 17 个: 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 50 5.1 问题二 要求:考虑每个区的乘车人数,使工作人员和教师的满意度最大,建立模型,并求得

n ? 2,3 时的结果。
5.1.1 将各区人数归一化
[2]

处理

设第 i 区人数为 Pi (i ? 1, 2,

,50) ,总人数为

T ? ? Pi
i ?1

50

第 i 区人数权重 Wi 为:

Wi ? P i /T
5.1.2 建立满意度函数

(i ? 1, 2,

,50)

建立任意随距离单调递减的满意度函数,设 max d 为两点之间最小距离的最大值。当 距离为 0 时满意度为 1,距离为 max d 时为 0 。 建立满意度函数为:

s(d ) ? 1 ?

d max d

5.1.3 建立模型二 结合满意度函数,在模型一的基础上,建立最高满意度乘车点选择模型, 目标函数:

max Z ? ? wk .s(d k )
k ?1

50

其中

?Wi ? Pi / T d ? ? s (d ) ? 1 ? max d ? ? ?d k ? min{B(k , p1 ), B(k , p2 ), , B(k , pn )} ? ?{ p1 , p2 , , pn } ? {,1, 2, ,50} ? ? ?i ? (1, 2, ,50)

n 表示选出的最高满意度下的最佳乘车点。
依据模型二,利用 MATLAB 软件求得结果如下(程序见附录【3】 ) : 当 n =2 时: 选择的两个乘车点为 19,32。满意度为 0.78 选 19 的区域有 32 个: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 44 46 47 48 49 选 32 的区域有 18 个: 13 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 45 50 当 n =3 时: 选择的三个乘车点为 15,21,32。满意度为 0.83。 选 15 点有 17 个: 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 25 26 27 选 21 点有 18 个: 1 2 3 4 19 20 21 22 23 24 28 43 44 45 46 47 48 49 选 32 点有 15 个: 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 50 5.2 问题三 要求:在教师和工作人员尽量满意的前提下,在 50 个区内找出最优的三个乘车点的位 置,并根据各个乘车点的人数,确定最少车辆个数。 求解问题三需要考虑两个约束条件: 条件 1 为满意度最大;条件 2 为总的车辆数最少。 设到第 i 个乘车点的子集合为 Ai

? ? Pk ? ? k?A ? ci ? ? i ? 。 (? ? ? ? 表示向上取整) 47 ? ? ? ?
min Z2 ? c1 ? c2 ? c3

(1 )

其中 ci 为第 i 个乘车点的车辆数,i ? ?1, 2,3? , Pk 表示各区域人数,Z 2 三个乘车点的 总车辆数。 对问题二的分析求解,已知道当选择三个乘车点时,选择 15,21,32 为最近乘车点。于 是:

A15 ={5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 25 26 27}
A21 ={1 2 3 4 19 20 21 22 23 24 28 43 44 45 46 47 48 49}

A32 ={29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 50}
代入(1)式得:

c1 =17, c2 =19, c3 =18, Z 2 =54
由以上可知,选择 15,21,32 作为乘车点时的车辆数为: 乘车点为 15,21,32。 在 15 点乘车人 790,车 16.81=17 辆 在 21 点乘车人 879,车 18.70=19 辆 在 32 点乘车人 833,车 17.72=18 辆 共 17+19+18=54 辆 结合表二数据可知,全区总人数为 2502,每辆车最多可载 47 人,全区极限最少车辆数 为 2502/47=53.23,即 54 辆,和模型结果一致,为最优解。 5.3 问题四 通过对第三问的结果的分析可知, 每个站点都存在空座的情况, 所以我们建议在站点校 车空座率较高的情况下时,在其他站点进行一次巡游。当校车型号单一时,很容易造成某些 站点乘客难以乘车而其他某些站点又大量空座的情况, 这种方案最大限度的节省了成本—— 相当于所有乘客集中乘车, 同时因为乘客依然可以在对自己满意度高的站点候车, 也达到了 使满意度逼近甚至达到最大的效果。 六 模型评价与改进 优点: 模型结构简单,而且便于计算,当数据量很大时,此优势更加突出。 缺点: 模型的影响因素过于单一化,使得结果与实际情况有些误差。比如存在车载量未满 开走或车辆等候教师及工作人员而停滞的现象。 改进方案:本文模型适合于区域较少的情况,当区域量十分庞大的时候,模型的误差变大, 所以我们考虑到,对于区域量很大的情况,以区域密集度为决策量,选出密集度高的区域作 为乘车点被选区,在对乘车点被选区利用本文模型进行求解,这样使得问题变得简单化。 七 参考文献 [1] vinglemar 最短路径 FLOYD 算法具体演示 http://blog.csdn.net/vinglemar/archive/2008/12/25/3605813.aspx 2009 年 8 月 13 日 [2] paincupid 数模归一化汇总 http://blog.csdn.net/paincupid/archive/2009/06/16/4273970.aspx 2009 年 8 月 13 日

附录 附录 1 通过 MATLAB 求解最短路径的过程: n=50; %总共 50 个点 A=zeros(n,n); for i=1:n for j=1:n if(i==j) A(i,j)=0; else A(i,j)=100000; end end end A(1,2)=400;A(1,3)=450; A(2,4)=300;A(2,21)=230;A(2,47)=140;A(3,4)=600; A(4,5)=210;A(4,19)=310;A(5,6)=230;A(5,7)=200;A(6,7)=320;A(6,8)=340; A(7,8)=170;A(7,18)=160;A(8,9)=200;A(8,15)=285;A(9,10)=180;A(10,11)=150; A(10,15)=160; A(11,12)=140; A(11,14)=130; A(12,13)=200; A(13,34)=400; A(14,15)=190;A(14,26)=190; A(15,16)=170; A(15,17)=250; A(16,17)=140; A(16,18)=130; A(17,27)=240; A(18,19)=204; A(18,25)=180; A(19,20)=140; A(19,24)=175; A(20,21)=180; A(20,24)=190; A(21,22)=300; A(21,23)=270; A(21,47)=350;A(22,44)=160;A(22,45)=270;A(22,48)=180;A(23,24)=240; A(23,29)=210;A(23,30)=290;A(23,44)=150;A(24,25)=170;A(24,28)=130; A(26,27)=140;A(26,34)=320;A(27,28)=190;A(28,29)=260;A(29,31)=190; A(30,31)=240;A(30,42)=130;A(30,43)=210;A(31,32)=230;A(31,36)=260; A(31,50)=210;A(32,33)=190;A(32,35)=140;A(32,36)=240;A(33,34)=210; A(35,37)=160;A(36,39)=180;A(36,40)=190;A(37,38)=135;A(38,39)=130; A(39,41)=310;A(40,41)=140;A(40,50)=190;A(42,50)=200;A(43,44)=260; A(43,45)=210;A(45,46)=240;A(46,48)=280;A(48,49)=200; for j=1:n for i=1:j-1 A(j,i)=A(i,j); %使对称 end end [m,n]=size(A); B=zeros(m,n); B=A; %利用 Flod 算法计算最短距离矩阵 for kk=1:4 kk for i=1 :n for j=1:n for k=1:n t=B(i,k)+B(k,j); if t<B(i,j) B(i,j)=t; end end

end end if(sum(sum(B-A))==0) break; end A=B; End 附录 2 问题 1 计算 d=zeros(n,1); d1=zeros(n,1); d2=zeros(n,1); %计算各点 k 到把(i,j)点作为选定点时的距离 mins1=1000000; for i=1:n-1 for j=i+1:n for k=1:n d(k)=min(B(k,i),B(k,j)); end s=sum(d); if(s<=mins1) mins1=s; i1=i;j1=j; d1=d;end % end end %计算选两个点情形 sel1=zeros(1,n); num1=0; sel2=zeros(1,n); num2=0; for k=1:n if(B(k,i1)<B(k,j1)) num1=num1+1; sel1(num1)=k; else num2=num2+1; sel2(num2)=k; end end %num1 为到 i1 点的乘车点数,sel1(num1)存储具体的点 %num2 为到 j1 点的乘车点数,sel2(num2)存储具体的点 fprintf('\n 问题 1 结果:\n'); fprintf('选两点时结果(%2d,%2d)=%5.2f\n',i1,j1,mins1); fprintf('\n 选%2d 的点有%2d 个:\n',i1,num1); for i=1:num1; fprintf('%2d ',sel1(i)); fprintf('(%2d,%2d)=%5.2f\n',i,j,s);

end fprintf('\n'); fprintf('选%2d 的点有%2d 个:\n',j1,num2); for i=1:num2; fprintf('%2d ',sel2(i)); end fprintf('\n'); %计算选三个点情形 rsel1=zeros(1,n); rnum1=0; rsel2=zeros(1,n); rnum2=0; rsel3=zeros(1,n); rnum3=0; for k=1:n if(B(k,i2)<=B(k,j2)&&B(k,i2)<=B(k,p2)) rnum1=rnum1+1; rsel1(rnum1)=k; elseif(B(k,j2)<=B(k,i2)&&B(k,j2)<=B(k,p2)) rnum2=rnum2+1; rsel2(rnum2)=k; elseif(B(k,p2)<=B(k,i2)&&B(k,p2)<=B(k,j2)) rnum3=rnum3+1; rsel3(rnum3)=k; end end %rnum1 为到 i1 点的乘车点数,rsel1(rnum1)存储具体的点 %rnum2 为到 j1 点的乘车点数,rsel2(rnum2)存储具体的点 %rnum3 为到 j1 点的乘车点数,rsel3(rnum3)存储具体的点 fprintf('\n\n 选三点时结果(%2d,%2d,%2d)=%5.2f\n',i2,j2,p2,mins2); fprintf('\n 选%2d 的点有%2d 个:\n',i2,rnum1); for i=1:rnum1; fprintf('%2d ',rsel1(i)); end fprintf('\n'); fprintf('选%2d 的点有%2d 个:\n',j2,rnum2); for i=1:rnum2; fprintf('%2d ',rsel2(i)); end fprintf('\n'); fprintf('选%2d 的点有%2d 个:\n',p2,rnum3); for i=1:rnum3; fprintf('%2d ',rsel3(i)); end fprintf('\n'); 附录 3 问题 2 计算 通过 MATLAB 求解满意度的过程:

%各区人数 PP=[65,67,42,34,38,29,17,64,39,20,61,47,66,21,70,85,12,35,48,54,49,12,54,4 6,76,16,... 94,18,29,75,10,86,70,56,65,26,80,90,47,40,57,40,69,67,20,18,68,72,76,62]; Total=sum(PP); %人数权重 W=zeros(50,1); W=PP/Total; %问题 2 计算 r=zeros(n,1); s=zeros(n,1); r1=zeros(n,1); r2=zeros(n,1); %选两点时情形 %计算各点 k 到把(i,j)点作为选定点时的满意度 maxs1=0; for i=1:n-1 for j=i+1:n for k=1:n r(k)=min(B(k,i),B(k,j)); s(k)=W(k)*(1-r(k)/maxd); %计算第 k 点的满意度 end ss=sum(s); if(ss>=maxs1) maxs1=ss; i1=i;j1=j; r1=r;end % end end %计算选两个点情形 sel1=zeros(1,n); num1=0; sel2=zeros(1,n); num2=0; for k=1:n if(B(k,i1)<B(k,j1)) num1=num1+1; sel1(num1)=k; else num2=num2+1; sel2(num2)=k; end end fprintf('(%2d,%2d)=%5.2f\n',i,j,s);

%num1 为到 i1 点的乘车点数,sel1(num1)存储具体的点 %num2 为到 j1 点的乘车点数,sel2(num2)存储具体的点 fprintf('\n 问题 2 结果:\n'); fprintf('选两点时结果(%2d,%2d)=%5.2f\n',i1,j1,maxs1); fprintf('\n 选%2d 的点有%2d 个:\n',i1,num1); for i=1:num1; fprintf('%2d ',sel1(i)); end fprintf('\n'); fprintf('选%2d 的点有%2d 个:\n',j1,num2); for i=1:num2; fprintf('%2d ',sel2(i)); end fprintf('\n');

%计算选三个点情形 %计算各点 k 到把(i,j,p)点作为选定点时的距离 maxs2=0; for i=1:n-2 for j=i+1:n-1 for p=j+1:n for k=1:n r(k)=min(min(B(k,i),B(k,j)),B(k,p)); s(k)=W(k)*(1-r(k)/maxd); %计算第 k 点的满意度 end ss=sum(s); if(ss>=maxs2) maxs2=ss; i2=i;j2=j; p2=p; r2=r;end % fprintf('(%2d,%2d,%2d)=%5.2f\n',i,j,p,s); end end end rsel1=zeros(1,n); rnum1=0; rsel2=zeros(1,n); rnum2=0; rsel3=zeros(1,n); rnum3=0; for k=1:n if(B(k,i2)<B(k,j2)&&B(k,i2)<B(k,p2)) rnum1=rnum1+1; rsel1(rnum1)=k;

elseif(B(k,j2)<=B(k,i2)&&B(k,j2)<=B(k,p2)) rnum2=rnum2+1; rsel2(rnum2)=k; elseif(B(k,p2)<=B(k,i2)&&B(k,p2)<=B(k,j2)) rnum3=rnum3+1; rsel3(rnum3)=k; end end fprintf('选三点时结果(%2d,%2d,%2d)=%5.2f\n',i2,j2,p2,maxs2); fprintf('\n 选 3 点时情形:\n'); fprintf('选%2d 点有%2d 个:\n',i2,rnum1); for i=1:rnum1; fprintf('%2d ',rsel1(i)); end fprintf('\n'); fprintf('选%2d 点有%2d 个:\n',j2,rnum2); for i=1:rnum2; fprintf('%2d ',rsel2(i)); end fprintf('\n'); fprintf('选%2d 点有%2d 个:\n',p2,rnum3); for i=1:rnum3; fprintf('%2d ',rsel3(i)); end fprintf('\n'); T1=0; for i=1:rnum1 T1=T1+PP(rsel1(i)); end T2=0; for i=1:rnum2 T2=T2+PP(rsel2(i)); end T3=0; for i=1:rnum3 T3=T3+PP(rsel3(i)); end fprintf('\n\n 问题 3 结果:\n'); fprintf('在%2d 点乘车人%2d,车%5.2f 辆\n',i2,T1,T1/47); fprintf('在%2d 点乘车人%2d,车%5.2f 辆\n',j2,T2,T2/47); fprintf('在%2d 点乘车人%2d,车%5.2f 辆\n',p2,T3,T3/47); fprintf('总共车辆数%2d 辆\n',ceil(T1/47)+ceil(T2/47)+ceil(T3/47));


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