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高中数学下册 第一章


高中数学必修 2 知识点总结
第一章 1.1 柱、锥、台、球的结构特征 1.2 空间几何体的三视图和直观图 1 三视图: 正视图:从前往后 3 直观图:斜二测画法 4 斜二测画法的步骤: 空间几何体

侧视图:从左往右

俯视图:从上往下

。 。 (1).取 XOY=45 ,XOZ=90
(2).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴; (3).平行于 y 轴的线长度变半,平行于 x,z 轴的线长度不变; (4).画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤: (1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图 1.3 空间几何体的表面积与体积 (一 )空间几何体的表面积 1 棱柱、棱锥的表面积: 各个面面积之和 2 圆柱的表面积 S ? 2?rl ? 2?r 2 4 圆台的表面积 S ? ?rl ? ?r ? ?Rl ? ?R
2 2

3 圆锥的表面积 S ? ?rl ? ?r 5 球的表面积 S ? 4?R
2

2

(二)空间几何体的体积 1 柱体的体积 3 台体的体积

V ? S底 ? h
1 V ? (S 上 ? S 上 S 下 ? S 下 ) ? h 3

2 锥体的体积 4 球体的体积

V ?

1 S底 ? h 3 4 V ? ?R 3 3

综合型训练
一、选择题
1. 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为 45 面图形的面积是( A. ) B.
0

,腰和上底均为1 的等腰梯形,那么原平

2? 2

1? 2 2

C.

2? 2 2


D.

1? 2

2. 半径为 R 的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为(

A.

3 ? R3 24

B.

3 ? R3 8

C.

5 ? R3 24

D.

5 ? R3 8


3. 一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为 2cm ,则球的表面积是( A.

8? cm2

B.

12? cm2

C.

16? cm2

D.

20? cm2

4. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍,母线长为 3 ,圆台的侧面积为 84? ,则圆台较小底面 的半径为( ) A. 7 B. 6 C. 5 D. 3 5. 棱台上、下底面面积之比为 1 : 9 ,则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是( ) A. 1 : 7 B. 2 : 7 C. 7 : 1 9 D. 5 : 1 6 6. 如图,在多面体 ABCDEF 中,已知平面 ABCD 是边长为 3 的正方形, EF // AB , EF ? 平面 ABCD 的距离为 2 ,则该多面体的体积为( )

E D A

F C B
0

3 ,且 EF 与 2

A.

9 2

B.

5

C.

6

D.

15 2

二、填空题

1. 圆台的较小底面半径为 1 ,母线长为 2 ,一条母线和底面的一条半径有交点且成 60 , 则圆台的侧面积为____________. 2.

R t? A B 中, AB ? 3, BC ? 4, AC ? 5 ,将三角形绕直角边 AB 旋转一周所成的几何体的体积为___. C

3. 等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是 S球 ___ S正方体 5. 图(1)为长方体积木块堆成的几何体的三视图,此几何体共由________块木块堆成; 图(2)中的三视图表示的实物为_____________.

图(1)

图(2)

6. 若圆锥的表面积为 a 平方米,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面的 直径为_______________. 三、解答题 1. 有一个正四棱台形状的油槽,可以装油 190L ,假如它的两底面边长分别等于 60cm 和 40cm ,求它的 深度为多少 cm ?

0

2. 已知圆台的上下底面半径分别是 2, 5 ,且侧面面积等于两底面面积之和, 求该圆台的母线长.

参考答案
1. A 恢复后的原图形为一直角梯形 S ?

1 (1 ? 2 ? 1) ? 2 ? 2 ? 2 一个水平放置的平面图形的斜二测 2

直观图是一底角为 45度,腰与上底边长均为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积是 答:

2 2 ,? AB ? ? 2 ?1 ? 2 ?1 2 2 根据斜二测画法的法则 得平面图形为直角梯形 在Rt?ADE中, AE ? ADsin450 ? AD1 ? AB, A1 B1 ? AB ? 2 ? 1, C1 D1 ? CD ? 1, A1 D1 ? 2 AD ? 2 ? S A1B1C1D1 ? 1 ? A1 B1 ? C1 D1 ?A1 D1 ? 1 2 2

?

2 ?1?1 ? 2 ? 2 ? 2

?

D1
D C

C1

A

45 0

E

B

A1

B1

2. A

2? r ? ? R, r ?

R 3R 1 3 ,h ? ,V ? ? r 2 h ? ? R3 2 2 3 24

3. B

正方体的顶点都在球面上,则球为正方体的外接球,则 2 3 ? 2R ,

R ? 3, S ? 4? R2 ? 12?
4. A

S侧面积 ? ? (r ? 3r )l ? 84? , r ? 7
中截面的面积为 4 个单位,

5. C

V1 1 ? 2 ? 4 7 ? ? V2 4 ? 6 ? 9 19

6. D

过点 E , F 作底面的垂面,得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱,

1 3 1 3 15 V ? 2 ? ? ? 3? 2 ? ? 3? 2 ? ? 3 4 2 2 2
1. 2.

6? 16?

画出圆台,则 r ? 1, r2 ? 2, l ? 2, S圆台侧面 ? ? (r ? r2 )l ? 6? 1 1 旋转一周所成的几何体是以 BC 为半径,以 AB 为高的圆锥,

1 1 V ? ? r 2 h ? ? ? 42 ? 3 ? 16? 3 3
3.

?

设V ?

4 3 3V , ? R ? a3 , a ? 3 V , R ? 3 3 4?

S正 ? 6a 2 ? 6 3 V 2 ? 3 216V 2 , S球 ? 4? R 2 ? 3 36?V 2 ? 3 216V 2
4.

74

从长方体的一条对角线的一个端点出发,沿表面运动到另一个端点,有两种方案

42 ? (3 ? 5) 2 ? 80, 或 52 ? (3 ? 4) 2 ? 74
5. (1) 4 (2)圆锥 6.

2 3? a 3?
2

设圆锥的底面的半径为 r ,圆锥的母线为 l ,则由 ? l ? 2? r 得 l ? 2r ,

而 S圆锥表 ? ? r ? ? r ? 2r ? a ,即 3? r ? a, r ?
2

a 3? a 2 3? a ,即直径为 ? 3? 3? 3?
h? 3 ? 190000 ? 75 3600 ? 2400 ? 1600
2. 解 :

1. 解



1 3V V ? ( S ? SS ' ? S ' )h, h ? 3 S ? SS ' ? S '
29 7

? (2 ? 5)l ? ? (22 ? 52 ), l ?


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