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第3章3.2知能演练轻松闯关

1.函数 f(x)=0 的导数是( ) A.0 B.1 C.不存在 D.不确定 解析:选 A.常数函数的导数为 0. 2.已知 f(x)=xα,若 f′(-1)=-4,则 α 的值是( ) A.-4 B.4 C.± 4 D.不确定 - - 解析:选 B.f′(x)=αxα 1,f′(-1)=α(-1)α 1=-4, ∴α=4. 1 3.抛物线 y= x2 在点(2,1)处的切线方程是( ) 4 A.x-y-1=0 B.x+y-3=0 C.x-y+1=0 D.x+y-1=0 解析:选 A.∵k=y′|x=2=1, ∴切线方程为 y-1=x-2,即 x-y-1=0. 4.下列结论中不正确的是( ) 1 3 A.若 y= 3,则 y′=- 4 x x 13 3 B.若 y= x,则 y′= x 3 1 - C.若 y= 2,则 y′=-2x 3 x D.若 f(x)=3x,则 f′(1)=3 解析:选 B.由(xn)′=nxn
-1

1 3 1 3 - - 知 A.y= 3=x 3,则 y′=-3x 4=- 4; B.y= x=x ,则 x x 3

1 2 13 1 - - y′= · x- ≠ x;C.y= 2=x 2,则 y′=-2x 3; D.由 f(x)=3x 知 f′(x)=3,∴f′(1) 3 3 3 x =3.∴A、C、D 正确. 5.一个物体的运动方程为 s=1-t+t2,其中 s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体 在 3 秒末的瞬时速度是( ) A.7 米/秒 B.6 米/秒 C.5 米/秒 D.8 米/秒 2 解析:选 C.∵s=1-t+t ,∴s′(t)=2t-1,当 t=3 时,s′(t)=2×3-1=5(米/秒). 1 6.曲线 y=xln x 在 x=x0 处的导数为 2,则 x0 等于______.解析:∵y′=ln x+x·=ln x x+1.由 y′|x=x0=ln x0+1=2,∴x0=e. 答案:e 7.函数 y=xsin x-cos x 的导数为________. 解析:y′=(xsin x)′-(cos x)′=2sin x+xcos x. 答案:2sin x+xcos x 8.曲线 y=x3+11 在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是________. 解析:因为 y′=3x2,故曲线在点 P(1,12)处的切线斜率是 3,所以切线方程是: y-12 =3(x-1).令 x=0 得 y=9.

答案:9 9.求曲线 y=3x2 的斜率等于 12 的切线方程. 解:设切点 P(x0,y0), ∴y′|x=x0=12,即 6x0=12,∴x0=2. 当 x0=2 时,y0=12, ∴切点 P 的坐标为(2,12), ∴所求切线方程为 y-12=12(x-2), 即 12x-y-12=0. b 10. 设函数 f(x)=ax- , 曲线 y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0.求 f(x) x 的解析式. 7 解:方程 7x-4y-12=0,可化为 y= x-3. 4 b 1 2a- = , 2 2 1 b 当 x=2 时,y= .又 f′(x)=a+ 2,于是 2 x b 7 a+ = , 4 4

? ? ?

?a=1, ? 3 解得? 故 f(x)=x- . x ?b=3. ?

1 1.若函数 f(x)= f′(-1)x2-2x+3,则 f′(-1)的值为( ) 2 A.0 B.-1 C.1 D.2 1 解析:选 B.∵f(x)= f′(-1)x2-2x+3, 2 ∴f′(x)=f′(-1)x-2. ∴f′(-1)=f′(-1)×(-1)-2. ∴f′(-1)=-1. 2.曲线 y=x· ex+2x+1 在点(0,1)处的切线方程为________. 解析:y′=ex+x· ex+2=ex(1+x)+2,∴y′| x=0=3. ∴切线方程为 y-1=3x,即 3x-y+1=0. 答案:3x-y+1=0 3.设函数 f(x)=ax3+bx+c(a>0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线 x-6y -7=0 垂直,导函数 f′(x)的最小值为-12,求 a,b,c 的值. 解:∵f(x)是奇函数,∴ f(-x)=-f(x),即-ax3-bx+c=-ax3-bx-c. ∴c=0.∵f′(x)=3ax2+b 的最小值为-12,且 a>0,∴b=-12.又图象在点(1,f(1))处 1 的切线与直线 x-6y-7=0 垂直,且直线 x-6y-7=0 的斜率为 ,∴f′(1)=3a+b=-6. 6 ∴a=2.综上可知,a=2,b=-12,c=0. 4.已知 f(x)=cos x,g(x)=x,求适合 f′(x)+g′(x)≤0 的 x 的值. 解:∵f(x)=cos x,g(x)=x, ∴f′(x)=(cos x)′=-sin x, g′(x)=(x)′=1. 由 f′(x)+g′(x)≤0 得-sin x+1≤0, 即 sin x≥1, 但 sin x∈[-1,1],∴sin x=1,

π ∴x= +2kπ,(k∈Z). 2


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