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2-7.2平面向量应用举例


2-7.2 平面向量应用举例 一.教学目标:
1.知识与技能 (1)经历用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题的 过程,体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具. (2)揭示知识背景,创设问题情景,强化学生的参与意识;发展运算能力和解决实际问 题的能力. 2.过程与方法 通过本节课的学习, 让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、 力学问题与其它一些 实际问题是一种行之有效的工具;和同学一起总结方法,巩固强化. 3.情感态度价值观 通过本节的学习,使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识;提 高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力.

二.教学重、难点
重点: (体现向量的工具作用) ,用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问 题与其它一些实际问题,体会向量在几何、物理中的应用. 难点: (体现向量的工具作用) ,用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问 题与其它一些实际问题,体会向量在几何、物理中的应用.

三.学法与教学用具
学法:(1)自主性学习法+探究式学习法 (2)反馈练习法: 以练习来检验知识的应用情况, 找出未掌握的内容及其存在的差 距. 教学用具:电脑、投影机.

四.教学设想
【探究新知】 [展示投影] 同学们阅读教材的相关内容思考: 1.直线的向量方程是怎么来的? 2.什么是直线的法向量? 【巩固深化,发展思维】 教材练习 [展示投影]例题讲评(教师引导学生去做) 例 1.如图,AD、BE、CF 是△ABC 的三条高,求证:AD、BE、CF 相交于一点。 证:设 BE、CF 交于一点 H, A
? ??

AB = a, AC = b, AH = h,
? ??

? ??

? ??

E
? ??

则 BH = h ? a , CH = h ? b , BC = b ? a ∵ BH ? AC , ∴
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? ??

F

H C

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CH ? AB

? ??

? ??

B

D

( h ? a) ? b ? 0 ? ? ? (h ? a) ? b ? (h ? b) ? a ? h ? (b ? a) ? 0 (h ? a) ? a ? 0?

第 1 页 共 5 页

∴ AH ? BC

? ??

? ??

又∵点 D 在 AH 的延长线上,∴AD、BE、CF 相交于一点 [展示投影]预备知识: 1.设 P1, P2 是直线 l 上的两点,P 是 l 上不同于 P1, P2 的任一点,存在实数λ ,使 P 1P = λ PP 2 ,λ 叫做点 P 分 P 1P 2 所成的比, 有三种情况: P1 P P2 P1 P2 P P P1 P2
? ?? ? ?? ? ??

λ >0(内分) 注意几个问题:

(外分) λ <0 (λ <-1) λ ?-1

( 外分)λ <0 (-1<λ <0)

①λ 是关键,λ >0 内分 λ <0 外分 若 P 与 P1 重合,λ =0

P 与 P2 重合
? ??

λ 不存在

②始点终点很重要,如 P 分 P 1P 2 的定比λ = 2.线段定比分点坐标公式的获得: 设P 1 P =λ PP 2
? ?? ? ??

1 2

则 P 分 P2 P 1 的定比λ =2

? ??

点 P1, P, P2 坐标为(x1,y1) (x,y) (x2,y2) P1 P

P2

由向量的坐标运算

P1 P =(x-x1,y-y1)
? ?? ? ??

? ??

PP2 =( x2-x1, y2-y1)
O

? ??

∵P 1 P =λ PP 2 即(x-x1,y-y1) =λ ( x2-x1, y2-y1)

? x ? x1 ? ? ( x2 ? x) ∴? ? y ? y1 ? ? ( y 2 ? y)

x1 ? ?x 2 1 ? ? 定比分点坐标公式 y1 ? ?y 2 1? ? x ? x2 x? 1 ? ?? 2 3.中点坐标公式:若 P 是 P 1P 2 中点时,λ =1 y1 ? y 2 y? 2 ? ?x ? ?? ?y ? ?
中点公式是定比分点公式的特例。

[展示投影]例题讲评(教师引导学生去做)

,?5).P2 (2,4).① 求点P分 P1 P2 的比?1及x的值 例 2.已知点 P( x,1).P 1 (?1
②求点 P 1分 P 2 P 的比?2的值。 解:①由 y ?
? ??

? ??

y1 ? ?1 y 2 ? 5 ? 4?1 x ? ?1 x2 得1 ? 解得?1 ? 2 ? x ? 1 ?1 1 ? ?1 1 ? ?1 1 ? ?1

第 2 页 共 5 页

②由 y ?

x1 ? ?2 x2 2 ? ?2 3 得 ?1 ? 解得?2 ? ? 1 ? ?2 1 ? ?2 2

例 3. ?ABC的三个顶点分别为 A(x1 , y).B( x. y).C( x, y), D是边AB的中点,G是CD 上的一点,且

CG ? 2 求点 G 的坐标。 GD

解:由 D 是 AB 的中点,所以 D 的坐标为 (

x1 ? x2 y1 ? y 2 , ), 又CG ? 2GD 2 2

?x ?

x3 ? 2 ?

x1 ? x2 y ? y2 y3 ? 2 ? 1 x ? x ? x y ? y 2 ? y3 2 3 2 2 ? 1 ?y ? ? 1 1? 2 3 1? 2 3
x1 ? x 2 ? x3 y1 ? y 2 ? y3 , ) ————.重心坐标公式 3 3

即 G 的坐标为 (

例 4.过点 P1(2, 3), P2(6, -1)的直线上有一点 P,使| P1P|:| PP2|=3, 求 P 点坐标 解:当 P 内分 P 1P 2 时 ? ? 3 当 P 外分 P 1P 2 时 ? ? ?3 当 ? ? 3 得 P(5,0) 当 ? ? ?3 得 P(8,-3) 例 5.如图,在平面内任取一点 O,设
? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ?

? ??

P1
?

? ??

O

?

P
? P2 ? P’

OP 1 ? a , OP 2 ? b ,? P 1 P ? OP ? a , PP 2 ? b ? OP , P 1 P ? ? PP 2
? ( OP ? a ) ? ? ( b ? OP ),? OP ?
这就是线段的定比分点向量公式。 特别当,当 P 为线段 P1P2 的中点时,有 OP ?
? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ??

? ?? ? ??

? ??

P2 P1 P

1 ? ? ? a? b 1? ? 1? ?
O

1 ? ? (a ? b) 2

例 6.某人骑车以每小时 a 公里的速度向东行驶, 感到风从正东方向吹来, 而当速度为 2a 时, 感到风从东北方向吹来,试求实际风速和方向。 P 解:设 a 表示此人以每小时 a 公里的速度向东行驶的向量, 无风时此人感到风速为?a,设实际风速为 v, 那么此时人感到的风速为 v ? a, 设 OA = ?a, OB = ?2a
? ?? ? ??
? ?? ? ??

v?2a B A

v O

? ??

? ??

∵ PO + OA = PA ∴ PA = v ? a,这就是感到由正北方向吹来的风速, ∵ PO + OB = PB ∴ PB = v ?2a,于是当此人的速度是原来的 2 倍时所感受到由
? ?? ? ??
? ?? ? ??

第 3 页 共 5 页

东北方向吹来的风速就是 PB , 由题意:?PBO = 45?, PA?BO, BA = AO 从而,△POB 为等腰直角三角形,∴PO = PB = 2 a ∴实际风速是 2 a 的西北风 【巩固深化,发展思维】 1.课本. 2.已知平行四边形 ABCD 的两个顶点为 A(? 则另外两个顶点的坐标为 . 即:|v | = 2 a

? ??

9 3 ,?7), B(2,6), 对角线的交 点为 M(3, ), 2 2 21 10),(4, ? 3) ( , 2
(1,
41 ) 5

3.△ABC 顶点 A(1, 1), B(-2, 10), C(3, 7) ?BAC 平分线交 BC 边于 D, 求 D 点坐标 [学习小结]:略 .

五、评价设计
1.作业: 2. (备选题) :①若直线 l : mx ? y ? 2 ? 0 与线段 AB 有交点,其中 A(-2,3) ,B(3,2), 求 m 的取值范围. 解:设 l 交有向线段 AB 于点 P(x,y)且

AP ? ? (? ? 0,当 ? ? 0时直线过 A点) PB

? 2 ? 3? ? ?x ? 1 ? ? 2m ? 5 5 4 则可得 ? 因P点在l上,故可得? ? ? 0, 得m ? 或m ? ? 3 ? 2? 3m ? 4 2 3 ? y? 1? ? ? ? 由 于 设 时 , 无 形 中 排 除 了 P,B 重 合 的 情 形 , 要 将 B 点 坐 标 代 入 直 线 方 程 得 4 5 4 m ? ? , 故m ? 或m ? ? 3 2 3
②已知 O 为△ABC 所在平面内一点,且满足| OA | + | BC | = | OB | + | CA | = | OC | A
2 2 2 2 2 2 + | AB | ,求证: AB ? OC .

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证:设 OA = a, OB = b, OC = c, 则 BC = c ? b, CA = a ? c, AB = b ? a 由题设: OA + BC = OB + CA
2 2 2 2 2 2

? ??

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O
? ??

? ??

? ??

B

C

? ??

? ??

? ??

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2

2 2 = OC + AB , 2 2 2

? ??

? ??

化简:a + (c ? b) = b + (a ? c) = c + (b ? a) 得: c?b = a?c = b?a

第 4 页 共 5 页

从而 AB ? OC = (b ? a)?c = b?c ? a?c = 0 ∴ AB ? OC
? ??

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同理: BC ? OA , CA ? OB

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六、课后反思:

第 5 页 共 5 页


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