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三角形'五心'的向量表示


三角形"五心"的向量表示
江苏省姜堰中学 张圣官(225500)
  让我们先来赏析一道颇有趣的向量题:
  命题1:在ΔABC内任取一点O,证明: ...①(其中SA、SB、SC分别表示ΔBOC、ΔCOA、ΔAOB的面积)。
  解:记方向上的单位向量依次为,并记∠BOC、∠COA、∠AOB依次为α1、α2、α3,则
   ,
   , (图1)
   。
  所以,①式等价于 ...②
   如图1,在OA上取点D,使,过D作DE∥OB交CO延长线于E,则
  在ΔODE中,,∴,于是,、、恰好构成一个三角形,它们的和为零向量。故命题得证。
  评注:如果把②式放到力学背景中,将看作是大小为1个单位的力,那么②式正好等价于三个共点力、、平衡,我们还可以从物理学的角度给出其证明。根据图2可知,、在 反方向上的分量分别为和 (图2)
;在垂直于方向上的分量分别为和 。由于,故
,而=显然成立,因此三个共点的力确实平衡,这样从物理学的角度知命题获证。
  这真是一道向量题横跨数理天地!然而且慢,该题另有玄机!联系到不少刊物上纷纷将三角形"五心"用各种形式的向量来表示,其实由以上结论出发倒可以很简便地得到三角形"五心"的一种向量表示。真是"踏破铁鞋无觅处,得来全不费功夫"啊!
  命题1中的点O是ΔABC所在平面内一点,并且在ΔABC内部,其实,若O在ΔABC的周界上时结论也成立。当点O在ΔABC形外时,类似地还可以得到:
  命题2:若点O是ΔABC的形外一点且与点A位于直线BC的两侧,则有结论 ...②(其中SA、SB、SC分别表示ΔBOC、ΔCOA、ΔAOB的面积)。(证明略)
  只要将以上两个结论中的点O逐一看作为ΔABC的"五心",就可以得到三角形"五心"的向量表示。
  命题3:设O是ΔABC所在平面内一点,则
  (Ⅰ)O是ΔABC的重心 ;
  (Ⅱ)O是ΔABC的外心 ;
  (Ⅲ)O是ΔABC的内心 ;
  (Ⅳ)O是斜ΔABC的垂心 ;
  (Ⅴ)O是ΔABC的旁心或或 。
  利用三角形面积公式和等式①、②,容易证明上面五个结论成立。由于ΔABC的外心可以在三角形内部,也可以在外部或一边上,情形较多,以下就选结论(Ⅱ)给出其证明,其余几个结论请读者自证。
  证明:设O是ΔABC的外心,先证必要性,对ΔABC分两类情形讨论。
   (1)若ΔABC是锐角三角形或直角三角形,则外心O在形内或周界上,此时,,,,根据命题1中的等式①易得结论成立;
   (2)若ΔABC是钝角三角形,不妨设A>900,则外心O在ΔABC形外且与A位于直线BC的两侧,此时,,,,代入命题2中的②得成立。
  现在再来证明充分性。若ΔABC所在平面内一点满足,则由以上证明知,ΔABC的外心O一定满足等式。两式相减,得,而在ΔABC中,,故,即点与外心O重合,也就是说,点即为ΔABC的外心。从而,O是ΔABC的外心的充要条件是。

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