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四川省成都市实验外国语学校2013-2014学年高一10月月考数学试题 Word版含答案X


成都市实验外国语学校 2013-2014 学年高一 10 月月考数学试题 命题人:赵先生 第Ⅰ卷 一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.) 1、若集合 M ? ??1, 0,1? ,集合 N ? ?0,1, 2? ,则 M ? N 等于( A. ?0,1? B. ??1, 0,1? C. ?0,1, 2? D )

D. ??1, 0,1, 2?

2、集合 A ? {?1,0,1} 的子集中,含有元素 0 的子集共有( B ) A.2 个 B.4 个 C.6 个 ) D. y ? D.8 个

3、下列函数中与 y ?| x | 图象相同的一个是( D A. y ?

? ?
x

2

B. y ?

3

x3

C.

y?

x2 x

x2
B )

4、设函数 f ( x) ? 2 x ? 3, g ( x ? 2) ? f ( x) ,则 g ( x) 的表达式是( A. 2 x ? 1 B. 2 x ? 1 C. 2 x ? 3 D. 2 x ? 7

5、 A ? {x x ? 2} ,集合 B ? {x x ? a} ,如果 A ? B ? ? ,那么 a 的范围是( D ) A. a =2 B. a ? 2 C. a = --2 6、下列图形中表示函数图象的是( C ) y y 0 A 0 B D

a ? --2
y y 0 D

x

x

0 C

x

x

7、函数 y ? f (x) 的定义域为 R 且 f (1) ? 0 若对于任意给定的不等实数 x1 , x 2 , 不等式 ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 恒成立,则不等式 f (1 ? x) ? 0 的解集为 ( A ) A. (??,0) B. (??,1) C. (0,??) D. (1,??)
2

8、已知映射 f : A ? B ,其中 A ? B ? R ,对应法则 f : x ? y ? ? x ? 2 x ,对于实数

k ? B 在集合 A 中存在两个不同的原像,则 k 的取值范围( C ) A. k ? 1 B. k ? 1 C. k ? 1 D. k ? 1 2 9、方程 x ? ? 2a 在 x ? (0,??) 内有解,则实数 a 的取值范围是( B ) x
A a?2 B a?2 C a?2 2 D

a?2 2

? 1 , ? ? x?2 10、定义在 R 上的函数 f ( x) ? ? ?1, ? ?

x?2
, 若关于 x 的方程 f ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 恰
2

x?2
B )

11、有 5 个不同的实数解 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ,则 f ( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ) =(

1 A. 4

1 B. 8
第Ⅱ卷

C.

1 12

D.

1 16

二.填空题(共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分) 11、已知集合 M ? ?0,1,3? ,集合 N ? x x ? 3a, a ? M ,则 M ? N ? ?0,3? 12、 y ?

?

?

x?4 的定义域为_ [ 4,5) ? (5,??) _. x ?5
2

13、

x f ( x ) ? {?2?1,xx ? 0 ,则 f ( f (3)) ? _37______。 x , ?0

14、函数 f ( x) ?

2x ?1 ( x ? 0) 的值域为_ (?1,2) _. x ?1

?? x 2 ? ax ? 5, ( x ? 1) ? 15、已知函数 f ( x) ? ? a 是 R 上的增函数,则 a 的取值范围是_ ?? 3,?2? ? ( x>1) ?x

三、解答题(解答应写必要的文字说明,证明过程或演算步骤.共 6 小题满分 75 分) 16、已知 A ? a ? 2, (a ? 1) , a ? 3a ? 3 , 若 1? A, 求实数 a 的值
2 2

?

?

解:若 a ? 2 ? 1, 则 a ? ?1 ,此时 A ? ? ,0,1?与互异性矛盾。 1 若 ( a ? 1) ? 1 ,则 a ? 0或 - 2 ,当 a ? 0时 , A ? ?2,1,3?,当 a ? ?2 时, A ? ?0,1,1?舍
2

去故此时 a ? 0 。 若 a ? 3a ? 3 ? 1 时,则 a ? ?1或 - 2 。由上可知都舍去。
2

综上可知, a ? 0 17、 设集合 A ? ? x | ?1 ? x ? 4? , B ? ? x | ?5 ? x ? (1)若 C ? ? ,求实数 a 的取值范围; (2)若 C ? ? 且 C ? ( A ? B) ,求实数 a 的取值范围.

? ?

3? ? , C ? ? x |1 ? 2a ? x ? 2a? . 2?

解: (1) ∵ C ? ?

∴ 1 ? 2a ? 2a

∴a ?

1 4

即实数 a 的取值范围是 ?, ] . ((2) ∵ C ? ? ∴a ?

1 4

1 4
3? ? 2?
, C ? ( A ? B)

∵ A ? B ? ? x ?1 ? x ?

? ?

? ?1 ? 2a ? ?1 ? 3 ? ∴ ? 2a ? 2 ? 1 ? ? a?4 ?

可得

1 3 ?a? 4 4

( , ]. 即实数 a 的取值范围是
18.已知函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 1| ( x ? R) (1)证明:函数 f ( x) 满足 f ( ? x) ? f ( x) (2)将函数解析式写成分段函数的形式,然后画出函数图像,并写出函数的值域; (3)在同一坐标系中画出直线 y ? x ? 2 ,观察图像写出不等式 f ( x) ? x ? 2 的解集.

1 3 4 4

解: (1) f (? x) ?| ? x ? 1| ? | ? x ? 1|?| x ? 1| ? | x ? 1|? f ( x)

? f ( x) 是偶函数
(2) f ( x ) ? ? 2 ?
? ?2 x ? 2x ? ( x ? ?1) ( ?1 ? x ? 1) ( x ? 1)

由函数图象知,函数的值域为 [2, ??) (3 由函数图象知,不等式的解集为 {x | x ? 0或x ? 2} 19、某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的一年收益与 投资额成正比, 投资股票等风险型产品的一年收益与投资额的算术平方根成正比. 已知 投资 1 万元时两类产品的一年收益分别为 0.125 万元和 0.5 万元(如图) . (1)分别写出两种产品的一年收益与投资额的函数关系; (2)该家庭现有 20 万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使一年的投资获 得最大收益,其最大收益是多少万元?

y

y

0.125

0.5





x





x
解: (1)设 f ( x) ? k1 x , g ( x) ? k2 x , 所以 f (1) ? 即 f ( x) ?

1 1 ? k1 , g (1) ? ? k2 , 8 2

1 1 x( x ? 0) , g ( x) ? x ( x ? 0) ; 8 2

(2)设投资债券类产品 x 万元,则股票类投资为 (20 ? x) 万元, 依题意得: y ? f ( x) ? g (20 ? x) ?

x 1 ? 20 ? x (0 ? x ? 20) , 8 2

20 ? t 2 t 1 ? ? ? (t ? 2) 2 ? 3 , 令 t ? 20 ? x (0 ? t ? 2 5) ,则 y ? 8 2 8
所以当 t ? 2 ,即 x ? 16 万元时,收益最大, ymax ? 3 万元.
2 2 20、设函数 f ( x) ? ax ? (1 ? a ) x ,其中 a ? 0 ,区间 I ? ? x | f ( x) ? 0? .

(Ⅰ)求 I 的长度(注:区间 (? , ? ) 的长度定义为 ? ? ? ) (Ⅱ)给定常数 k ? ? 0,1? ,当 1 ? k ? a ? 1 ? k 时,求 I 长度的最小值. 解:(1)令 f ( x) ? x ? a ( ? a 2)x ? ? 0 ? -1 ?

解得 x1 ? 0

x2 ?

a a ? ? ? I ? ?x | 0 ? x ? ? 2 1? a 1 ? a2 ? ?

? I 的长度 x2 - x1 ?
(2) k ? ? 0,1? 由 (1) I ?

a 1 ? a2

则 0 ? 1? k ? a ? 1? k ? 2

1 a , ? 1 2 1? a a ?a

故 I 关于 a 在 (1 ? k ,1) 上单调递增,在 (1,1 ? k ) 上单调递减.

I1 ? I min

1? k 2 ? 2k ? k 2 1? k ? 2 ? 2k ? k 2

I2 ?

1? k 2 1 ? 1 ? k) (

比较二者大小可知

21 、 定 义 在 R 上 的 函 数 y ? f (x), 当 x ? 0 时 , f ( x) ? 1 , 且 对 任 意 的 a, b ? R 有

f (a ? b) ? f (a ) f (b) 。
(1)求证: f (0) ? 1 ,
2

(2)求证:对任意的 x ? R ,恒有 f ( x) ? 0 ;

(3)若 f ( x ) f ( 2 x ? x ) ? 1 ,求 x 的取值范围。 (1)证明: f (1 ? 0) ? f (1) f (0) ? f (1) ? f (1) f (0) ? f (0) ? 1 (2)证明:设 x ? 0 ,则 ? x ? 0 , f (0) ? f ( ? x ? x) ? f ( ? x) f ( x) ? 1

? f ( x) ?

1 ? (0,1) 。故由(1)及已知可得对任意的 x ? R ,恒有 f ( x) ? 0 f (? x)

(3)解:任取 x1 , x2 ? R 且 x1 ? x2 , f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ? x1 ) ? f ( x1 )

? f ( x2 ? x1 ) f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? [ f ( x2 ? x1 ) ? 1] f ( x1 ) ? 0 。即 f ( x ) ? f ( x ) 2 1
故 y ? f (x) 在 R 上是增函数。 由 f ( x ) f ( 2 x ? x ) ? 1 ? f ( x ? 2 x ? x ) ? f (0) ? 3 x ? x ? 0 可得
2 2 2

其解集 x ? (0,3)


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