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等差数列前n项和公式的变形及应用


龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 等差数列前 n 项和公式的变形及应用 作者:代琼霞 来源:《课程教育研究· 上》2014 年第 06 期 【摘要】正等差数列有 5 个量:首项 a1,公差 d,项数 n,第 n 项 an,前 n 项和 Sn,已知其中三 个量,通过对等差数列前 n 项和公式的变形,可轻松求出其他的量。 【关键词】等差数列求和公式性质推导 【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2014)06-0141-01 等差数列是职业高中数学的一项重要内容,其重点是通项公式与前 n 项和公式。透彻理解 并掌握他们的相关性,能使我们的解题简洁方便。下面我们就等差数列前 n 项和公式作进一步 探讨。 一、Sn=na1+■d 的结构特征 若 a1,d 是确定的,那么 Sn=na1+■d=■n2+(a1-■)n 设 A=■,B=a1-■,上式可写成 Sn=An2+Bn 若 A≠0,即(d≠0)时,Sn 是关于 n 的二次式且缺常数项 分析等式的结构特征,并未强调该等式一定是个一元二次函数,因此我们分两种情况讨 论: ①当 A=0 时,该等式是一个常数值数列,即 an=c ②当 A≠0 时,该等式是一个没有常数项的一元二次函数,其中:A=■,B=a1-■ (一)对该特征的应用:判断函数是否为等差数列,求等差数列的通项公式。 例 1:数列{an}是等差数列的一个充要条件是( B ) A. Sn=an2+bn+c B. Sn=an2+bn C. Sn=an2+bn+c(a≠0) D. Sn=an2+bn(a≠0) 分析:利用我们前面的结构特征分析,即可选(B)。 例 2:已知数列{an}的前 n 项和 Sn=5n2-n,求数列{an}的通项公式 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 解:∵■=5,a1-■=-1 ∴d=10, a1=9 an=9+(n-1)10=10n-1 例 3:已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n2+2n,则 d=__________ 分析:■=3, d=6 (二)利用公式求最大值及最小值 a1,d 是确定的,那么 Sn=na1+■d=■n2+(a1-■)n,发现这个式子是一个关于 n 的一元二 次函数。 所以:①当 d>0 时,有最小值; ②当 d<0 时,有最大值。 例 4:在等差数列{an}中,a10=230,a25=-220 ①求 a1 和 d ②n 为何值时,Sn 取最大值,并求出最大值 解:(1)∵d=■=■=-30 又 a1+9d=a10=230 ∴a1=230-9d=230-9× (-30)=500 ∴d=-30,a1=500 (2)∵Sn=■n2+(a1-■)n=■n2+(500-■)n=-15n2+515n 即当 n=-■=17■ ∴当 n=17 时,Sn 取最大值 S17=-15× 172+515× 17=4420 ∴当 n=17 时,Sn 取最大值,最大值为 4420 例 5:在等差数列{an}中,a1=-33,d=6,前 n 项和 Sn 取最小值时求 n 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 解∵Sn=■n2+(a1-■)n=■n2+(-33-■)n=3n2-36n ∴当 n=■=6 即当 n=6 时,Sn 取最小值 二、Sn=■的结构特征 (一)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn=■经过变形 ①当 n=2k(k∈N*)时,S2k=k(ak+ak+1) ②当 n=2k-1(k

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