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江苏省常州市西夏墅中学高中数学 1.1.2 瞬时变化率-导数(3)课件 新人教A版选修2-2_图文

高中数学 选修2-2

复习回顾: 1.曲线在某一点切线的斜率
y

y=f(x) Q

割 线 T

切线

o

P

x

f ( x+ ? x )- f ( x ) k PQ= ) ?x

(当Δx无限趋向0时,kPQ无限趋近点P处切线斜率)

2.瞬时速度
设物体作直线运动所经过的路程为 s=f(t).以t0为 起始时刻,物体在?t时间内的平均速度为

f (t 0+ ? t )- f (t 0 ) ?s v?= = . ?t ?t

? s 近似的程度就越好. 所以当?t?0时,比值 ?t
就是物体在t0时刻的瞬时速度,即

`v 可作为物体在t0时刻的速度的近似值,? t 越小,

f (t0+ ?t )- f (t0 ) v在t0的瞬时速度= ,当Δt→0时 ?t

3.物体在某一时刻的加速度称为瞬时加速度.
(即t=t0时速度相对时间的瞬时变化率)

v(t0+?t )-v(t0 ) v在t0的瞬时加速度 = 当Δt→0时 ?t
以平均加速度代替瞬时加速度,然后通过 从瞬时加速度的近似值过渡到瞬时加速 取极限, 度的精确值. 其实函数在某一点处的瞬时变化 率——导数.

建构数学:
x0 ? (a,b ) 函数 y ? f ( x )在区间( a, b)有定义,

如果自变量 x在 x0处有增量 ?x, 那么函数y相应地有 ?y 增量?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ); 比 值 就 叫 做 函 数 ?x y ? f ( x)在x0到x0 ? ?x之间的平 均 变 化 率 , 即
?y f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ? . ?x ?x

如果当 ?x ? 0 时,

?y ?A ?x
x ? x0

叫做函数 y ? f ( x )在点 x0处的导 数 , 记为y ?
'

并把 A 我们就说函数 y ? f ( x)在点x0 处可 导 ,

? y f ( x0 ? ? x ) ? f ( x 0 ) y ? x ? x0 ? f ( x0 ) ? ? ,?x ? 0 ?x ?x

数学运用:
例1.求y=x2+2在点x=1处的导数.
解: ? y=[(1+ ? x ) 2 +2]-(12 +2)=2 ? x+( ? x ) 2

? y 2 ? x+( ? x ) = =2+ ? x ?x ?x ?y ? =2+?x?,?x ? 0 ?x y? |x ?1 =2
2

变式训练:求y=x2+2在点x=a处的导数

由定义求导数(三步法) 步骤:

(2) 算比值

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? ; ?x ?x

(3) 求y?

x ? x0

?y ? ,在?x ? 0时. ?x

建构数学:
如果函数 f(x)在开区间 (a,b) 内每一点都可导,就 说f(x)在开区间 (a,b)内可导.这时,对于开区间 (a,b) 内每一个确定的值 x0,都对应着一个确定的导数 f ?(x0), 这样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数,我们把 这一新函数叫做 f(x) 在开区间(a,b)内的导函数,简称 为导数,记作f ′(x)或y′(需指明自变量时记作y′x) ,即
?y f ( x ? ?x) ? f ( x) f ?( x)=y?= = ,当Δx →0时的值. ?x ?x

f ?(x0)与f ?(x)之间的关系: 当x0∈(a,b)时,函数y=f(x)在点x0处的导数f ?(x0)等 于函数f(x)在开区间(a,b)内的导数f ?(x)在点x0处的函数 值.

f ?( x0 )=f ?( x) ?x=x

0

如果函数y=f(x)在点x0处可导,那么函数y=f(x)在点 x0处连续.

f ?(x0)与f ?(x)之间的关系: 当x0∈(a,b)时,函数y=f(x)在点x0处的导数f ?(x0)等 于函数f(x)在开区间(a,b)内的导数f ?(x)在点x0处的函数 值.

f ?( x0 )=f ?( x) ?x=x

0

如果函数y=f(x)在点x0处可导,那么函数y=f(x)在点 x0处连续.

当堂训练

课本P14第 1,2,3.

回顾反思:
(1)了解导数概念的实际背景,体会导数的思想及 其内涵;
(2)会求简单函数在某一点的导数;会求简单函数 在某个区间上的导函数 ; (3)通过函数图象直观地了解导数的几何意义.


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