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含参不等式恒成立问题


不等式中恒成立问题的解法研究
在不等式的综合题中,经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一 个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。 恒成立问题的基本类型: 类 型 1 : 设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) , 1 ) f ( x) ? 0在x ? R 上 恒 成 立 ( ? a ? 0且? ? 0 ; (2) f ( x) ? 0在x ? R 上恒成立 ? a ? 0且? ? 0 。 类型 2:设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ( 1 ) 当 a ? 0 时 , f ( x) ? 0在x ? [? , ? ] 上 恒 成 立

? f (? ) ? 0 (2)当 a ? 0 时, f ( x) ? 0在x ? [? , ? ] 上恒成立 ? ? ? f (? ) ? 0 b ? b ? ? b ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? f ( x) ? 0在x ? [? , ? ] 上恒成立 ? ? 2a 或? 或? 2a 2a ? f (? ) ? 0 ?? ? 0 ? f (? ) ? 0 ? ? ?
类型 3: f ( x) ? ?对一切x ? I恒成立 ? f ( x) min ? ? f ( x) ? ?对一切x ? I恒成立 ? f ( x) max ? ? 。 类型 4: f ( x) ? g ( x)对一切x ? I恒成立 ? f ( x)的图象在g ( x)的图象的上方或 ( x) min ? g ( x) max f

b ? b ? ? b ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? , ? ? 2a 或? 或? 2a 2a ? f (? ) ? 0 ?? ? 0 ? f (? ) ? 0 ? ? ? ? f (? ) ? 0 f ( x) ? 0在x ? [? , ? ] 上恒成立 ? ? ? f (? ) ? 0

(x ? I ) 恒成立问题的解题的基本思路是:根据已知条件将恒成立问题向基本类 型转化,正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。 一、用一次函数的性质 对于一次函数 f ( x) ? kx ? b, x ? [m, n] 有: ? f (m) ? 0 ? f (m) ? 0 f ( x) ? 0恒成立 ? ? , f ( x) ? 0恒成立 ? ? ? f (n) ? 0 ? f (n) ? 0
例 1:若不等式 2 x ? 1 ? m( x 2 ? 1) 对满足 ? 2 ? m ? 2 的所有 m 都成立,求 x 的范围。 解析:我们可以用改变主元的办法,将 m 视为主变元,即将元不等式化为: ;令 f (m) ? m( x 2 ? 1) ? (2x ? 1) ,则 ? 2 ? m ? 2 时, m( x 2 ? 1) ? (2 x ? 1) ? 0 ,

2 ? f (?2) ? 0 ?? 2( x ? 1) ? (2 x ? 1) ? 0 ? 即? 2 ,所以 x f (m) ? 0 恒成立,所以只需 ? ?2( x ? 1) ? (2 x ? 1) ? 0 ? f (2) ? 0 ?

?1? 7 1? 3 , )。 2 2 二、利用一元二次函数的判别式 对于一元二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0, x ? R) 有: (1) f ( x) ? 0在x ? R 上恒成立 ? a ? 0且? ? 0 ; (2) f ( x) ? 0在x ? R 上恒成立 ? a ? 0且? ? 0
的范围是 x ? ( 例 2:若不等式 (m ? 1) x 2 ? (m ? 1) x ? 2 ? 0 的解集是 R,求 m 的范围。 解析:要想应用上面的结论,就得保证是二次的,才有判别式,但二次项 系数含有参数 m,所以要讨论 m-1 是否是 0。 (1)当 m-1=0 时,元不等式化为 2>0 恒成立,满足题意; ?m ? 1 ? 0 (2) m ? 1 ? 0 时,只需 ? ,所以, m ? [1,9) 。 2 ?? ? (m ? 1) ? 8(m ? 1) ? 0 三、利用函数的最值(或值域) (1) f ( x) ? m 对任意 x 都成立 ? f ( x) min ? m ; (2) f ( x) ? m 对任意 x 都成立 ? m ? f (x) max 。简单计作: “大的大于最大 的,小的小于最小的” 。由此看出,本类问题实质上是一类求函数的最值问 题。 ? B 例 3: ? ABC 中, 在 已知 f ( B) ? 4 sin B sin 2 ( ? ) ? cos 2 B, 且 | f ( B) ? m |? 2 4 2 恒成立,求实数 m 的范围。 解析:由 ? B f ( B) ? 4 sin B sin 2 ( ? ) ? cos 2 B ? 2 sin B ? 1,? 0 ? B ? ? ,? sin B ? (0,1] , 4 2 ?m ? f ( B) ? 2 f ( B) ? (1,3] , | f ( B) ? m |? 2 恒成立, ?2 ? f ( B) ? m ? 2 , ? ? ? 即 ?m ? f ( B) ? 2 恒成立,? m ? (1,3] 例 4: (1)求使不等式 a ? sin x ? cos x, x ? [0, ? ] 恒成立的实数 a 的范围。 ? ? 3? 解析:由于函 a ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ), x ? ? 4 ? [? , ] ,显然函数 4 4 4 有最大值 2 ,?a ? 2 。 如果把上题稍微改一点,那么答案又如何呢?请看下题: ? ? (2)求使不等式 a ? sin x ? cos x, x ? ? (0, ) 恒成立的实数 a 的范围。 4 2 解析:我们首先要认真对比上面两个例题的区别,主要在于自变量的取值

范围的变化,这样使得 y ? sin x ? cos x 的最大值取不到 2 ,即 a 取 2 也满 足条件,所以 a ? 2 。 所以,我们对这类题要注意看看函数能否取得最值,因为这直接关系到 最后所求参数 a 的取值。利用这种方法时,一般要求把参数单独放在一侧, 所以也叫分离参数法。 四:数形结合法 对一些不能把数放在一侧的,可以利用对应函数的图象法求解。 例 5:已知 a ? 0, a ? 1, f ( x) ? x 2 ? a x ,当x ? (?1,1)时, 有f ( x) ? 1 恒成立 ,求 2 实数 a 的取值范围。 解析:由 f ( x) ? x 2 ? a x ? 1 ,得x 2 ? 1 ? a x ,在同一直角坐标系中做出两 2 2 个 函 数 的 图 象 , 如 果 两 个 函 数 分 别 在 x=-1 和 x=1 处 相 交 , 则 由 1 1 12 ? ? a及(?1) 2 ? ? a ?1 得 到 a 分 别 等 于 2 和 0.5 , 并 作 出 函 数 2 2 1 1 y ? 2 x 及y ? ( ) x 的图象,所以,要想使函数 x 2 ? ? a x 在区间 x ? (?1,1) 中 2 2 1 恒 成 立 , 只 须 y ? 2 x 在 区 间 x ? (?1,1) 对 应 的 图 象 在 y ? x 2 ? 在 区 间 2 x ? (?1,1) 对 应 图 象 的 上 面 即 可 。 当 a ? 1时, 只有a ? 2 才 能 保 证 , 而 1 1 0 ? a ? 1时,只有a ? 才可以,所以 a ? [ ,1) ? (1,2] 。 2 2 由此可以看出,对于参数不能单独放在一侧的,可以利用函数图象来 解。利用函数图象解题时,思路是从边界处(从相等处)开始形成的。 例 6: 若当 P(m,n)为圆 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1上任意一点时, 不等式 m ? n ? c ? 0 恒 成立,则 c 的取值范围是( ) A、 ? 1 ? 2 ? c ? 2 ? 1 B、 2 ? 1 ? c ? 2 ? 1 C、 c ? ? 2 ? 1 D、 c ? 2 ? 1 解析:由 m ? n ? c ? 0 ,可以看作是点 P(m,n)在直线 x ? y ? c ? 0 的右侧,而 点 P(m,n)在圆 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1上,实质相当于是 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1在直线的右 ?0 ? 1 ? c ? 0 ? 侧并与它相离或相切。? ?| 0 ? 1 ? c | ? c ? 2 ? 1 ,故选 D。 ? 2 2 ?1 ? 1 ?1 其实在习题中,我们也给出了一种解恒成立问题的方法,即求出不等式 的解集后再进行处理。 以上介绍了常用的五种解决恒成立问题。其实,对于恒成立问题,有时 关键是能否看得出来题就是关于恒成立问题。下面,给出一些练习题,供 同学们练习。

练习题:1、对任意实数 x,不等式 a sin x ? b cos x ? c ? 0(a, b, c ? R) 恒成立 的充要条件是_______。 [c ? a 2 ? b 2 ]

5 2 x ? 3x ? 9 x a 在(??,1] 上有意义, 2、 y ? lg lg 设 求实数 a 的取值范围. [ ,?? ) 。 9 7

1 1 | [( 3、 x ? ( ,3)时,Log a x |? 1 恒成立, 当 则实数 a 的范围是____。 0, ] ? [3,?? )] 3 3

1 1 1 1 2 ? ? ......? ? Log a (a ? 1) ? 对一切大于 n ?1 n ? 2 n ? n 12 3 1? 5 1 的自然数 n 恒成立,求实数 a 的范围。 [a ? (1, )] 2

4、已知不等式:

含参不等式恒成立问题的求解策略
“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地 结合起来,其以覆盖知识点多,综合性强,解法灵活等特点而倍受高考、竞 赛命题者的青睐。 另一方面, 在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程” 、 “化归与转化” “数形结合” “分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解 、 、 题能力,培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例 谈谈这类问题的一般求解策略。 一、判别式法 若所求问题可转化为二次不等式,则可考虑应用判别式法解题。一般地, 对于二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0, x ? R) ,有 ?a ? 0 1) f ( x) ? 0 对 x ? R 恒成立 ? ? ; ?? ? 0 ?a ? 0 2) f ( x) ? 0 对 x ? R 恒成立 ? ? . ?? ? 0 例 1.已知函数 y ? lg[ x 2 ? (a ? 1) x ? a 2 ] 的定义域为 R,求实数 a 的取值范围。 解:由题设可将问题转化为不等式 x 2 ? (a ? 1) x ? a 2 ? 0 对 x ? R 恒成立,即有 1 ? ? (a ? 1) 2 ? 4a 2 ? 0 解得 a ? ?1或a ? 。 3 1 所以实数 a 的取值范围为 (?? ,?1) ? ( ,?? ) 。 3 若二次不等式中 x 的取值范围有限制,则可利用根的分布解决问题。 例 2.设 f ( x) ? x 2 ? 2mx ? 2 ,当 x ? [?1,??) 时, f ( x) ? m 恒成立,求实数 m 的 取值范围。 解:设 F ( x) ? x 2 ? 2mx ? 2 ? m ,则当 x ? [?1,??) 时, F ( x) ? 0 恒成立 当 ? ? 4(m ? 1)(m ? 2) ? 0即 ? 2 ? m ? 1时, F ( x) ? 0 显然成立; y 当 ? ? 0 时,如图, F ( x) ? 0 恒成立的充要条件为: x ? ?? ? 0 ? ? F ( ?1) ? 0 解得 ? 3 ? m ? ?2 。 ? ? 2m - O x ?? ? ?1 1 2 ? 综上可得实数 m 的取值范围为 [?3,1) 。 二、最值法 将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法,其一般类 型有:

1) f ( x) ? a 恒成立 ? a ? f (x) min 2) f ( x) ? a 恒成立 ? a ? f (x) max 例 3 . 已 知 f ( x) ? 7 x 2 ? 28x ? a, g ( x) ? 2x 3 ? 4x 2 ? 40x , 当 x ? [?3,3] 时 , f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围。 解:设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ?2x 3 ? 3x 2 ? 12x ? c , 则由题可知 F ( x) ? 0 对任意 x ? [?3,3] 恒成立 令 F ' ( x) ? ?6x 2 ? 6x ? 12 ? 0 ,得 x ? ?1或x ? 2 而 F (?1) ? ?7a, F (2) ? 20 ? a, F (?3) ? 45 ? a, F (3) ? 9 ? a, ∴ F ( x) max ? 45 ? a ? 0 ∴ a ? 45 即实数 a 的取值范围为 [45,??) 。
x 2 ? 2x ? a , x ? [1,??) ,若对任意 x ? [1,??) , f ( x) ? 0 恒成 x 立,求实数 a 的取值范围。 解:若对任意 x ? [1,??) , f ( x) ? 0 恒成立,

例 4.函数 f ( x) ?

x 2 ? 2x ? a ? 0 恒成立, x 考虑到不等式的分母 x ? [1,??) ,只需 x 2 ? 2 x ? a ? 0 在 x ? [1,??) 时恒成立而 得 而抛物线 g ( x) ? x 2 ? 2x ? a 在 x ? [1,??) 的最小值 g min ( x) ? g (1) ? 3 ? a ? 0 得 a ? ?3 a 注:本题还可将 f (x) 变形为 f ( x) ? x ? ? 2 ,讨论其单调性从而求出 f (x) 最 x 小值。 三、分离变量法 若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端,从而 问题转化为求主元函数的最值,进而求出参数范围。这种方法本质也还是求 最值,但它思路更清晰,操作性更强。一般地有: 1) f ( x) ? g (a)(a为参数) 恒成立 ? g (a) ? f ( x) max

即对 x ? [1,??) , f ( x) ?

2) f ( x) ? g (a)(a为参数) 恒成立 ? g (a) ? f ( x) max 实际上,上题就可利用此法解决。 略 解 : x 2 ? 2 x ? a ? 0 在 x ? [1,??) 时 恒 成 立 , 只 要 a ? ? x 2 ? 2 x 在 x ? [1,??) 时恒成立。 而易求得二次函数 h( x) ? ? x 2 ? 2 x 在 [1,??) 上的最大值为 ? 3 ,所以 a ? ?3 。 例 5.已知函数 f ( x) ? ax ? 4 x ? x 2 , x ? (0,4] 时 f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的 取值范围。

解: 将问题转化为 a ? 令 g ( x) ?

4x ? x 2 对 x ? (0,4] 恒成立。 x

4x ? x 2 ,则 a ? g (x) min x 4x ? x 2 4 由 g ( x) ? ? ? 1 可 知 g (x) 在 (0,4] 上 为 减 函 数 , 故 x x g ( x) min ? g (4) ? 0 ∴ a ? 0 即 a 的取值范围为 (??,0) 。 注:分离参数后,方向明确,思路清晰能使问题顺利得到解决。 四、变换主元法 处理含参不等式恒成立的某些问题时, 若能适时的把主元变量和参数变量 进行“换位”思考,往往会使问题降次、简化。 例 6.对任意 a ? [?1,1] ,不等式 x 2 ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a ? 0 恒成立,求 x 的取值 范围。 分析:题中的不等式是关于 x 的一元二次不等式,但若把 a 看成主元,则 问题可转化为一次不等式 ( x ? 2)a ? x 2 ? 4x ? 4 ? 0 在 a ? [?1,1] 上恒成立的问 题。 解 : 令 f (a) ? ( x ? 2)a ? x 2 ? 4x ? 4 , 则 原 问 题 转 化 为 f (a) ? 0 恒 成 立 ( a ? [?1,1] ) 。 当 x ? 2 时,可得 f (a) ? 0 ,不合题意。 ? f (1) ? 0 当 x ? 2 时,应有 ? 解之得 x ? 1或x ? 3 。 ? f (?1) ? 0 故 x 的取值范围为 (??,1) ? (3,??) 。 注:一般地,一次函数 f ( x) ? kx ? b(k ? 0) 在 [? , ? ] 上恒有 f ( x) ? 0 的 ? f (? ) ? 0 充要条件为 ? 。 ? f (? ) ? 0 四、数形结合法 数学家华罗庚曾说过: “数缺形时少直观,形缺数时难入微” ,这充分说 明了数形结合思想的妙处,在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我 们知道,函数图象和不等式有着密切的联系: 1) f ( x) ? g ( x) ? 函数 f (x) 图象恒在函数 g (x) 图象上方; 2) f ( x) ? g ( x) ? 函数 f (x) 图象恒在函数 g (x) 图象下上方。

例 7.设 f ( x) ? ? x 2 ? 4 x , g ( x) ?

4 x ? 1 ? a ,若恒有 f ( x) ? g ( x) 成立, 3

y

求实数 a 的取值范围. 分析:在同一直角坐标系中作出 f (x) 及 g (x) 的图象 如图所示, f (x) 的图象是半圆 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4( y ? 0)
g (x) 的图象是平行的直线系 4 x ? 3 y ? 3 ? 3a ? 0 。 要使 f ( x) ? g ( x) 恒成立, 则圆心 (?2,0) 到直线 4 x ? 3 y ? 3 ? 3a ? 0 的距离

?2 5 5 解得 a ? ?5或a ? (舍去) 3 由上可见,含参不等式恒成立问题因其覆盖知识点多,方法也多种多样, 但其核心思想还是等价转化,抓住了这点,才能以“不变应万变” ,当然这需 要我们不断的去领悟、体会和总结。

满足

d?

? 8 ? 3 ? 3a

含参不等式恒成立问题中,求参数取值范围一般方法
恒成立问题是数学中常见问题,也是历年高考的一个热点。大多是在不 等式中,已知一个变量的取值范围,求另一个变量的取值范围的形式出现。 下面介绍几种常用的处理方法。 一、 分离参数 在给出的不等式中,如果能通过恒等变形分离出参数,即:若 a ? f ? x ? 恒 成立, 只须求出 f ? x ?max , a ? f ? x ?max ; a ? f ? x ? 恒成立, 则 若 只须求出 f ? x ?min , 则 a ? f ? x ?min ,转化为函数求最值。
a ? ? 例 1、已知函数 f ? x ? ? lg ? x ? ? 2 ? ,若对任意 x??2, ??? 恒有 f ? x ? ? 0 ,试 x ? ? 确定 a 的取值范围。 a 解:根据题意得: x ? ? 2 ? 1 在 x??2, ??? 上恒成立, x 2 即: a ? ? x ? 3x 在 x??2, ??? 上恒成立,

3? 9 ? 设 f ? x ? ? ?x ? 3x ,则 f ? x ? ? ? ? x ? ? ? 2? 4 ?
2

2

当 x ? 2 时, f ? x ?max ? 2

所以 a ? 2

在给出的不等式中,如果通过恒等变形不能直接解出参数,则可将两变 量分别置于不等式的两边,即:若 f ? a ? g ?x ? ? 恒成立,只须求出 g ? x ?m a x,则

只须求出 g ? x ?m i n ,则 f ? a ? g ?x i ,然后解不等式求出参数 a 的取值范围, ? ? m n 问题还是转化为函数求最值。 例 2、已知 x ? ? ??,1? 时,不等式 1 ? 2 x ? ? a ? a 2 ? ? 4 x ? 0 恒成立,求 a 的取值范 围。 解: 2x ? t , x ? ? ??,1? 令 ?

若 f ? a? ? g ?x a , ? m x 然后解不等式求出参数 a 的取值范围; f ? a? ? g ?x恒成立, ?

?t ? ? 0 , 2 所以原不等式可化为:a 2 ? a ? ?

要使上式在 t ? ? 0, 2? 上恒成立,只须求出 f ? t ? ? 可。
2 2

t ?1 在 t ? ? 0, 2? 上的最小值即 t2

t ?1 , t2

1 ?1 t ?1 ? 1 ? 1 ? 1 1 ? 1 ? ? ? ? , ?? ? ? f ?t ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? t ?2 t ? ?t ? t ?t 2? 4 3 3 1 3 ? f ? t ?min ? f ? 2 ? ? ? a2 ? a ? ?? ? a ? 4 4 2 2 二、 分类讨论 在给出的不等式中,如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两 边,则可利用分类讨论的思想来解决。 例 3、若 x ?? ?2, 2? 时,不等式 x 2 ? ax ? 3 ? a 恒成立,求 a 的取值范围。

解:设 f ? x ? ? x2 ? ax ? 3 ? a ,则问题转化为当 x ?? ?2, 2? 时, f ? x ? 的最小值非 负。 (1) 当 ?
a 7 ? ?2 即:a ? 4 时, f ? x ?min ? f ? ?2? ? 7 ? 3a ? 0 ? a ? 又 a ? 4 所 2 3 以 a 不存在; a a2 ? a? ? 2 即 : ?4 ? a ? 4 时 , f ? x ?min ? f ? ? ? ? 3 ? a ? ? 0 2 4 ? 2?

(2) 当 ?2 ?

??6 ? a ? 2 又 ?4 ? a ? 4 ??4 ? a ? 2 a (3) 当 ? ? 2 即 : a ? ?4 时 , f ? x ?min ? f ? 2? ? 7 ? a ? 0 ? a ? ?7 又 2 a ? ?4 ??7 ? a ? ?4 综上所得: ?7 ? a ? 2 三、 确定主元 在给出的含有两个变量的不等式中, 学生习惯把变量 x 看成是主元(未知

数) ,而把另一个变量 a 看成参数,在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果 把已知取值范围的变量作为主元,把要求取值范围的变量看作参数,则可简 化解题过程。 例 4、若不等式 2 x ? 1 ? m ? x 2 ? 1? 对满足 m ? 2 的所有 m 都成立,求 x 的取值范 围。 解:设 f ? m ? ? m ? x 2 ? 1? ? ? 2 x ? 1? ,对满足 m ? 2 的 m , f ? m? ? 0 恒成立,
2 ? ? f ? ?2 ? ? 0 ?1 ? 7 1 ? 3 ? ??2 ? x ? 1? ? ? 2 x ? 1? ? 0 ?? ?? 解得: ?x? 2 2 2 ? f ? 2? ? 0 ?2 ? x ? 1? ? ? 2 x ? 1? ? 0 ? ? 四、 利用集合与集合间的关系 在给出的不等式中,若能解出已知取值范围的变量,就可利用集合与集 合之间的包含关系来求解, ? m, n ? ? ? f ? a ? , g ? a ? ? , f ? a ? ? m 且 g ? a ? ? n , 即: ? ? 则

不等式的解即为实数 a 的取值范围。 ?1 ? 例 5、当 x ? ? ,3 ? 时, loga x ? 1 恒成立,求实数 a 的取值范围。 ?3 ? 解:? ?1 ? loga x ? 1 (1) 当 a ? 1 时 ,
?a ? 3

1 ?1 ? ? 1 ? ? x ? a , 则 问 题 转 化 为 ? ,3 ? ? ? , a ? a ?3 ? ?a ?

?a ? 3 ? ?? 1 1 ?a ? 3 ?

(2) 当

0 ? a ?1





a?x?

1 a















1 ? ?a ? 3 1 ?1 ? ? 1? ? ?0 ? a ? ? ,3 ? ? ? a, ? ? ? 1 3 ?3 ? ? a? ? ?3 ?a ?

综上所得: 0 ? a ? 五、

1 或a ? 3 3

数形结合 数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数,且正确作出两 个函数的图象,然后通过观察两图象(特别是交点时)的位置关系,列出关 于参数的不等式。 ? 1? 例 6、若不等式 3x2 ? loga x ? 0 在 x ? ? 0, ? 内恒成立,求实数 a 的取值范围。 ? 3?

? 1? 解:由题意知: 3x2 ? loga x 在 x ? ? 0, ? 内恒成立, ? 3? 在同一坐标系内,分别作出函数 y ? 3x2 和 y ? loga x ? 1? 观察两函数图象,当 x ? ? 0, ? 时, ? 3? 若 a ? 1 函数 y ? loga x 的图象显然

在函数 y ? 3x2 图象的下方, 所以不 成立; 当 0 ? a ? 1 时, 由图可知, ? loga x y
1 1 1 ?1 1? ?a ? 的 图 象 必 须 过 点 ? , ? 或 在 这 个 点 的 上 方 , 则 , log a ? 3 3 27 ?3 3? 1 ?1 ? a ? 27 1 综上得: 1 ? a ? 27 上面介绍了含参不等式中恒成立问题几种解法,在解题过程中,要灵活 运用题设条件综合分析,选择适当方法准确而快速地解题。

含参数不等式恒成立问题的解题策略(专题探究)
一、教学目标: 理解含参不等式恒成立问题特征;能充分利用化归、数形结合、函数和分 类讨论等数学思想解决含参不等式恒成立问题; 培养学生分析解决综合问题的 能力。 二、教学方法:启发、探究 三、教学过程:通过含参数不等式恒成立问题的求解,通过变式、启发、引 导学生探究解题策略,培养学生利用化归、数形结合、函数和分类讨论等数 学思想进行解题的意识。 例题 1:已知不等式 ( x ? 1)m ? 2 x ? 1 对 x ? ? 0,3? 恒成立,求实数 m 的取值范围。

变式:已知不等式 ( x ? 1)m ? 2 x ? 1 对 m? ? 0,3? 恒成立,求实数 x 的取值范围。

例题 2:已知不等式 x 2 ? 2ax ? 2 ? 0 对 x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围。

变式 1:已知不等式 x 2 ? 2ax ? 2 ? 0 对 x ??1, 2? 恒成立,求实数 a 的取值范围。

变式 2:已知不等式 x 2 ? 2ax ? 2 ? 0 对 x?? ?1, 2? 恒成立,求实数 a 的取值范围。

例题 3:当 x ? ?1, 2? 时,不等式 ? x ? 1? ? log a x 恒成立,求实数 a 的取值范围。
2

1 练习 1:已知函数 f ( x) ? ? x 2 ? a ln( x ? 2) 在区间 ? ?1, ?? ? 上为减函数,求实 2 数 a 的取值范围。

练习 2:对于满足 | p |? 2 的所有实数 p ,求使不等式 x2 ? px ? 1 ? 2 p ? x 恒成立 的 x 的取值范围。

思考: 1、若不等式 2x ?1 ? m( x2 ?1) 对满足 | m |? 2 的所有 m 都成立,求实数 x 的取值 范围。

5 1 , 若满足不等式 | x ? a |? b 的一切实数 x , 能使不等式 | x ? a 2 |? 4 2 恒成立,求正实数 b 的取值范围。

2、 0 ? a ? 设

常见不等式恒成立问题的几种求解策略
不等式恒成立问题是近几年高考以及各种考试中经常出现,它综合考查 函数、方程和不等式的主要内容,并且与函数的最值、方程的解和参数的取 值范围紧密相连,本文结合解题教学实践举例说明几种常见不等式恒成立问 题的求解策略,以抛砖引玉。 1 变量转换策略 例 1 已知对于任意的 a∈[-1,1],函数 f(x)=ax2+(2a-4)x+3-a>0 恒成立, 求 x 的取值范围. 解析 本题按常规思路是分 a=0 时 f(x)是一次函数,a≠0 时是二次函数两 种情况讨论,不容易求 x 的取值范围。因此,我们不能总是把 x 看成是变量, 把 a 看成常参数,我们可以通过变量转换,把 a 看成变量,x 看成常参数,这 就转化一次函数问题,问题就变得容易求解。令 g(a)=(x2+2x-1)a-4x+3 在 a∈[-1,1]时,g(a)>0 恒成立,则 ? 点评
? g (?1) ? 0 ,得 ? 3 ? 13 ? x ? ?3 ? 13 . ? g (1) ? 0

对于含有两个参数,且已知一参数的取值范围,可以通过变量转

换,构造以该参数为自变量的函数,利用函数图象求另一参数的取值范围。 2 零点分布策略

例 2 已知 f ( x) ? x 2 ? ax ? 3 ? a , x ? [?2,2], f ( x) ? 0 恒成立, a 的取值范围. 若 求 解析 本题可以考虑 f(x)的零点分布情况进行分类讨论,分无零点、零点
?? ? 0 ?? ? 0 ? a ? a ? ?? ? 2 ? ? ? ?2 或? 2 或? 2 , ? ? f ( ?2) ? 0 ? f (?2) ? 0 ? ? ? ? ? f ( 2) ? 0 ? f ( 2) ? 0

在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情况,即 Δ≤0

即 a 的取值范围为[-7,2]. 点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题,可以考

虑函数的零点分布情况,要求对应闭区间上函数图象在 x 轴的上方或在 x 轴上 就行了. 3 函数最值策略 例 3 已知 f ( x) ? x 2 ? ax ? 3 ? a ,若 x ? [?2,2], f ( x) ? 2 恒成立,求 a 的取值范 围. 解析 本题可以化归为求函数 f(x)在闭区间上的最值问题,只要对于任意
x ? [?2,2], f ( x) min ? 2

.



x ? [?2,2], f ( x) ? 2







? a ?? ? ?2 ? ?x ? [?2,2], f ( x) min ? 2 ? ? 2 ? f ( x) min ? f (?2) ? 7 ? 3a ? 2 ?
a ? ? a ?? 2 ? ? 2 ? 2 ? ?2 或? 或? 2 ,即 a 的取值范围为 ? ? 2 a a ? f ( x) ? f ( x) min ? f (2) ? 7 ? a ? 2 ?2 ? min ? f ( ? ) ? 3 ? a ? ? 2 4 ?

[?5,?2 ? 2 2 ] .

点评

对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数

问题,可以求函数最值的方法,只要利用 f ( x) ? m 恒成立 ? f ( x) min ? m ; f ( x) ? m 恒成立 ? f ( x) max ? m .本题也可以用零点分布策略求解.

4 变量分离策略 例 4 已知函数 f ( x) ?| x2 ? 4x ? 5 | ,若在区间 [?1,5] 上, y ? kx ? 3k 的图象位于 函数 f(x)的上方,求 k 的取值范围. 解 析 本 题 等 价 于 一 个 不 等 式 恒 成 立 问 题 , 即 对 于

?x ?[?1,5], kx ? 3k ? ? x 2 ? 4x ? 5 恒成立,式子中有两个变量,可以通过变量分离化归

为求函数的最值问题. 对于 ?x ?[?1,5], kx ? 3k ? ? x2 ? 4x ? 5 恒成立 ? k ? 对 于
?x ? [?1,5]

? x 2 ? 4x ? 5 x?3

恒 成 立 , 令 y?

? x 2 ? 4x ? 5 , x ?[?1,5] , 设 x ? 3 ? t , t ? [ 2,8] , 则 x?3

y ? ?(t ?

16 ) ? 10, t ? [2,8], ?当t ? 4 ,即 x=1 时 ymax ? 2 , ? k 的取值范围是 k>2. t

变式 若本题中将 y ? kx ? 3k 改为 y ? k ( x ? 3) 2 ,其余条件不变,则也可以用 变量分离法解. 由题意得,对于 ?x ?[?1,5], k ( x ? 3) 2 ? ?x 2 ? 4x ? 5 恒成立 ? k ?
? x 2 ? 4x ? 5 ( x ? 3) 2

对于

?x ? [?1,5]

恒 成 立 , 令 y?

? x 2 ? 4x ? 5 ( x ? 3) 2

, x ? [?1,5]

, 设

x ? 3 ? t , t ? [ 2,8]

, 则

y??

16 10 4 5 9 ? ? 1 ? ?( ? ) 2 ? , t ? [ 2,8] , 2 t t 4 16 t

4 5 1 9 9 ?当 ? , 即x ? 时 , y max ? , ? k 的取值范围是 k> . t 4 5 16 16

点评

本题通过变量分离,将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问

题,本题构造的函数求最值对学生来说有些难度,但通过换元后巧妙地转化 为“对勾函数”,从而求得最值. 变式题中构造的函数通过换元后转化为“二次 函数型”,从而求得最值.本题也可以用零点分布策略和函数最值策略求解. 5 数形结合策略 例 5 设函数 f ( x) ? ?a ? ? x2 ? 4x , g ( x) ? ax ? a ,若恒有 f ( x) ? g ( x) 成立,试求实

数 a 的取值范围. 解 析 由 题 意 得
f ( x) ? g ( x)

? ? x 2 ? 4x ? ax ? 2a

, 令

, . y1 ? ? x 2 ? 4x ① y 2 ? ax ? 2a ② ①可化为 ( x ? 2) 2 ? y12 ? 4(0 ? x ? 4, y1 ? 0) ,它表示以(2,0)为圆心,2 为半径的上 半圆;② 表示经过定点(-2,0),以 a 为斜率的直线,要使 f ( x) ? g ( x) 恒成立,只 需① 所表示的半圆在② 所表示的直线下方就可以了 (如图所示).当直线与半圆相切时就有
| 2a ? 2a | 1? a
2

y

? 2, a ? ? 即

3 , 由图可知, 要使 f ( x) ? g ( x) 3

恒成立,实数 a 的取值范围是 a ?

3 . 3

O

x

点评 本题通过对已知不等式变形处理后,挖 掘不等式两边式子的几何意义, 通过构造函数,运 用数形结合的思想来求参数的取值范围,不仅能使问题变得直观,同时也起 到了化繁为简的效果. 6 消元转化策略 例 6 已 知 f(x) 是 定 义 在 [-1,1] 上 的 奇 函 数 , 且 f(1)=1, 若
f (m) ? f (n) ?0 , 若 m?n

m, n ? [?1,1], m ? n ? 0时

f ( x) ? t 2 ? 2at ? 1 对 于 所 有 的

x ? [?1,1], a ? [?1,1] 恒成立,求实数

t 的取值范围.

解析 本题不等式中有三个变量,因此可以通过消元转化的策略,先消 去一个变量,容易证明 f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,故 f(x)在[-1,1]上的最大 值 为 f(1)=1, 则 f ( x) ? t 2 ? 2at ? 1 对 于 所 有 的 x ? [?1,1], a ? [?1,1] 恒 成 立
? 1 ? t 2 ? 2at ? 1 对于所有的 a ? [?1,1] 恒成立,即 2ta ? t 2 ? 0 对于所有的 a ? [?1,1] 恒

成立,令 g (a) ? 2ta ? t 2 ,只要 ? 点评

? g (?1) ? 0 ,? t ? ?2或t ? 2或t ? 0 . ? g (1) ? 0

对于含有两个以上变量的不等式恒成立问题,可以根据题意依次进

行消元转化,从而转化为只含有两变量的不等式问题,使问题得到解决. 以上介绍的几种常见不等式恒成立问题的求解策略,只是分别从某个侧 面入手去探讨不等式中参数的取值范围。事实上,这些策略不是孤立的,在 具体的解题实践中,往往需要综合考虑,灵活运用,才能使问题得以顺利解 决。


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