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数学教师优质课教学设计:导数在研究函数中的应用含答案

普通高中课程标准实验教科书 数学选修 2-2 1.3.1 单调性 江苏省南通中学 【教学内容解析】 1.导数这个概念是高等数学的基本概念,又是中学阶段数学学习的一个主 干知识, 它是进一步学习数学和其他自然科学的基础,更是研究函数相关性质的 重要工具之一。 2.单调性作为函数的主要性质之一,主要用来刻画图象的变化趋势,在必 修 1 的学习中定义了单调性, 并且在学习幂指对及三角函数时,能够借助于函数 图象特征和单调性的定义来研究函数的单调性. 3.这节课我们是在学习了导数的平均变化率、瞬时变化率、导数的定义和 几何意义之后, 试图通过导数来研究函数的单调性,为研究单调性提供了更一般 的方法,是后面学习函数的极值、最值的知识铺垫、能力基础和方法指导。起到 了承上启下、完善建构、拓展提升的作用。 4.教学重点:导数与函数单调性的关系的探索和发现;利用导数研究函数 的单调性.这节课将结合例题研究二次函数、三次函数以及三角函数的单调性。 【教学目标设置】 1.借助几何直观,通过实例归纳函数的单调性与导数的关系; 2. 理解并掌握利用导数判断函数单调性的方法,会用导数求函数单调区间; 3.通过用定义与用导数在研究函数单调性时的两种方法的比较,体会导数 方法在研究函数性质中的一般性和有效性, 同时感受和感悟数学自身发展的一般 规律. 【学生学情分析】 1. 已有的知识储备: (1)本节课的授课对象是南通中学高二年级的学生, 他们在经历了高一一学年的数学学习后, 已经基本了解高中数学的基本思想和研 究方法,具备了一定的发现问题、探究问题、分析问题和解决问题的能力。 (2)学生已经掌握了基本初等函数的图象特征和基本性质,而且已经掌握 了导数的定义、 导数的计算以及其几何意义,已经具备了用导数探究函数单调性 的知识储备。 存在问题:将导数与函数单调性联系起来,学生的抽象概括能力还不够; 秦霞 解决方法:需引导学生通过不断探究,数学联想,逐步得出导数研究函数单 调性的结论。 2. 教学难点:发现和揭示导数与函数单调性的关系;并利用导数研究函数 的单调性. 突破策略:课堂中引导学生通过探究、验证、回归逐步得出导数研究函数单 调性的结论,再结合例题研究二次函数、三次函数以及三角函数的单调性。 【教学策略分析】 1. 精心设计教学内容 站在系统的高度组织教学内容, 从生活情境入手, 精心设问, 帮助学生联想、 抽象出数学问题, 整个教学过程,将经历设问——探究——归纳——应用——反 思,五个方面,层层递进。 2. 充分开展学生活动 站在学生的角度, 根据学生的思维特点和认知基础,给学生提供课堂参与机 会, 让学生在动手操作和尝试探索中验证猜想, 掌握方法, 体会思想, 形成技能. 3. 渗透提炼思想方法 通过典型例题及其变式的教学,由浅入深,逐层递进,给学生提供比较、分 析、归纳、综合的机会,帮助学生在解题和反思中领悟数学思想方法在数学学习 中的作用. 【教学过程设计】 一、创设情境 生活实例中导入 1 情境:前一阶段我们已经学习了导数的定义及其几何意义,导数有什么实 际应用呢,今天我们一起来研究。 问题 1: 先请同学们观看下面一段视频, 你有什么发现? (第一次播放视频) 问题 2:同学们看了这个视频后有没有产生什么联想?能不能把这个动画与 数学联系起来,看出其中的数学问题?(分组讨论、第二次播放视频) 问题 3:同学们建立了数学模型,那我们可以将曲线看做是函数 y=f (x)在 某区间 I 上的图象,对应的函数有具有怎样性质呢?(建系,教师第三次播放动 画) 【师生活动】 (1)动画视频引入,直观感知; (2)几何画板演示,猜想结论. 抽象出数学问题: 山坡 曲线 灯光向上 上坡 上升 ? 递增 切线斜率 k>0 函数 y ? f ( x) f ?( x) ? 0 (x ? I ) 感知可以通过函数图象上每一点处的切线的斜率,即函数 f(x)在该点处的 导数来研究函数的单调性. 2 猜想:导数与函数的单调性有什么联系呢? (再次播放函数图象上每一点处的切线斜率随函数单调性的变化情况) 从图象上,我们发现,单调递增区间上,每一点处的切线倾斜角均为锐角, 斜率大于 0,曲线呈上升趋势,函数单调递增;在单调递减区间上,每一点处的 斜线倾斜角为钝角,斜率小于 0,曲线呈下降趋势,函数单调递减. 于是,可以猜想结论: 对于函数 y ? f ( x) , 如果在某区间上 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x) 为该区间上的增函数; 如果在某区间上 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x) 为该区间上的减函数. 【设计意图】本课的难点是引导学生发现导数与函数单调性之间的联 系,而这两个概念都是非常抽象的,学生很难直接感知,所以这里利用生活 中的常见问题汽车灯光的指向与上下坡之间的联系,引导学生发现道路可以 抽象成函数的图象,灯光可以抽象为切线,这样问题就转化为切线斜率正负 与函数增减之间的联系,从而轻松高效引入课题,成功激发学生的求知欲, 也体现了“生活中处处有数学”的教学理念. 二、动手操作 合作学习中探究 问题 4:我们要善于用数学的眼光看世界,刚才我们同学将实际问题抽象为 一个数学问题,并且还建立了数学模型,数学语言来描述了这个问题,提出了一 个猜想。这个猜想对不对呢?我们如何探究呢? 学生方案 1:举出几个常见的函数,探究导数与函数单调性之间的联系,验 证前面猜想的结论. 函 数 图 象 单调 性 导 数 符 号 【师生活动】 (1)独立验证,合作释疑,展示成果; (2)教师从学生中选择具有代表性的函数进行汇报展示. 【设计意图】前面已经猜想出结论,但是该结论是否正确,还有待检验,学 生首先想到的就是验证已经学过的常见函数,从而深化对所得结论的理解. 学生方案 2:从以前所学的导数和函数单调性的知识入手,进行探究。 “数”的角度:从函数单调性与导数的定义入手 如果函数 f(x)在区间 (a,b)上是增

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