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2018-2019学年高中数学-选修2-2分层优化练习:第一章 1.1 1.1.1 1.1.2 导数的概念

[课时作业] [A 组 基础巩固] 1.自变量从 x0 变到 x1 时函数值的增量与相应自变量的增量乊比是函数 ( A.在区间[x0,x1]上的平均变化率 B.在 x0 处的变化率 C.在 x1 处的变化量 D.在区间[x0,x1]上的导数 解析:根据平均变化率的概念知,选 A. 答案:A 2.函数 f(x)在 x0 处可导,则 lim h→0 A.与 x0,h 都有关 B.仅与 x0 有关,而与 h 无关 C.仅与 h 有关,而与 x0 无关 D.与 x0,h 均无关 解析:由导数的概念可知,lihm →0 ) f?x0+h?-f?x0? ( h ) f?x0+h?-f?x0? = h f′(x0),仅与 x0 有关,与 h 无关.故选 B. 答案:B 3.已知函数 y=f(x)=x2+1 的图象上一点(1,2)及邻近一点(1+Δx,2+Δy),则 liΔm x→0 A.2 C.2+Δx B.2x D.2+Δx2 Δy 等于( Δx ) 解析:∵邻近一点的坐标为(1+Δx,2+Δy), ∴2+Δy=f(1+Δx)=(1+Δx) +1=2+2Δx+(Δx) . 2 2 Δy ∴Δy=(Δx)2+2Δx.∴ =2+Δx. Δx ∴liΔm x→0 Δy =li m (2+Δx)=2.故选 A. Δx Δx→0 答案:A 4.若 f′(x0)=-3,则 lim h→0 A.-3 f?x0+h?-f?x0-h? =( h B.-6 ) C.-9 解析:由题意可得: lihm →0 D.-12 f?x0+h?-f?x0-h? h f?x0+h?-f?x0?+f?x0?-f?x0-h? h f?x0+h?-f?x0? f?x0-h?-f?x0? +lim h→0 h -h =lihm →0 =lihm →0 =f′(x0)+f′(x0) =2f′(x0)=-6. 答案:B 5.如果一个函数的瞬时变化率处处为 0,则这个函数的图象是( A.圆 C.椭圆 B.抛物线 D.直线 ) 解析:当 f(x)=b 时,f′(x)=0,所以 f(x)的图象为一条直线,故应选 D. 答案:D 6.已知一次函数 y=kx+b,则其在区间[m,n]上的平均变化率为________. Δy f?n?-f?m? kn+b-km-b 解析: = = =k, Δx n-m n-m ∴函数 y=kx+b 在区间[m,n]上的平均变化率为 k. 答案:k 7.若一物体的运动方程为 s=7t2+8,则其在 t=________时的瞬时速度为 1. Δs 7?t+Δt?2+8-?7t2+8? 解析: = =7Δt+14t, Δt Δt 当 liΔm (7Δt+14t)=1 时,t= t→0 1 答案: 14 8.若 f′(x0)=-3,则 lim h→0 解析:∵f′(x0)=lim h→0 ∴lihm →0 1 . 14 f?x0+h?-f?x0-3h? =________. h f?x0+h?-f?x0? =-3. h f?x0+h?-f?x0-3h? h =lihm →0 f?x0+h?-f?x0?+f?x0?-f?x0-3h? h f?x0-3h?-f?x0?? ?f?x0+h?-f?x0? +3· ? h -3h ? ? f?x0+h?-f?x0? f?x0-3h?-f?x0? +3·lim h→0 h -3h ? =lihm →0 =lihm →0 =f′(x0)+3f′(x0)=4f′(x0)=-12. 答案:-12 9.求函数 y=3x 在 x=1 处的导数. 2 解析:∵Δy=3(1+Δx)2-3×12=6Δx+3(Δx)2, Δy Δy ∴ =6+3Δx,∴y′|x=1=liΔm =li m (6+3Δx)=6. x→0 Δx Δx Δx→0 10.已知 f(x)=ax3+3x2+2,若 f′(-1)=4,求 a 的值. 解析:因为Δy=f(x+Δx)-f(x) =a(x+Δx) +3(x+Δx) +2-(ax +3x +2)=3ax Δx+3ax(Δx) +a(Δx) +6xΔx+3(Δx) , 3 2 3 2 2 2 3 2 Δy 2 2 所以 =3ax +3axΔx+a(Δx) +6x+3Δx, Δx Δy 2 所以Δx→0 时, →3ax +6x, Δx 即 f′(x)=3ax2+6x, 10 所以 f′(-1)=3a-6=4,解得 a= . 3 [B 组 能力提升] 1.已知点 P(2,8)是曲线 y=2x2 上一点,则 P 处的瞬时变化率为( A.2 C.6 解析:Δy=2(2+Δx)2-2×22 =8Δx+2(Δx)2, Δy 8Δx+2?Δx?2 = =8+2Δx, Δx Δx Δy 当Δx 无限趋近于 0 时, 无限趋近于常数 8. Δx 答案:D 2.函数 f(x)=x 在 x0 到 x0+Δx 乊间的平均变化率为 k1,在 x0-Δx 到 x0 乊间的平均变化率为 k2,则 2 ) B.4 D.8 k1,k2 的大小关系是( A.k1<k2 C.k1=k2 解析:因为 k1= ) B.k1>k2 D.无法确定 f?x0+Δx?-f?x0? =2x0+Δx, Δx f?x0?-f?x0-Δx? k2= =2x0-Δx, Δx 又Δx 可正可负且不为零,所以 k1,k2 的大小关系不确定. 答案:D 3.若正方体的棱长从 x=1 到 x=a 时正方体的体积膨胀率为 21,则 a 的值为________. Δv a3-1 2 解析:Δv=a -1,∴ = =a +a+1=21, Δx a-1 3 ∴a2+a-20=0,∴a=4 或 a=-5(舍去). 答案:4 4. 已知 f′(x0)=lix→ mx0 解析:lim x→3 lim x→3 f?x?-f?x0? 2x-3f?x? , f(3)=2, f′(3)=-2, 则 lim 的值是______

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