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2011年北京各区县中考数学一模压轴题汇编之四边形


2011 年北京各区县中考数学一模压轴题汇编 四边形
(海淀) 海淀)
25.在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,tan∠BAC=
1 . 点 D 在边 AC 上(不与 A,C 重合) ,连结 BD,F 为 BD 中点. 2

(1)若过点 D 作 DE⊥AB 于 E,连结 CF、EF、CE,如图 1. 设 CF = kEF ,则 k = ; (2)若将图 1 中的△ADE 绕点 A 旋转,使得 D、E、B 三点共线,点 F 仍为 BD 中点,如图 2 所示. 求证:BE-DE=2CF; (3)若 BC=6,点 D 在边 AC 的三等分点处,将线段 AD 绕点 A 旋转,点 F 始终为 BD 中点,求线段 CF 长 度的最大值.

A D E D E

A

A

F F C
图1
B

C
图2

B

C
备图

B

(西城) 西城)
25.在 Rt?ABC 中, ∠C = 90° ,D,E 分别为 CB,CA 延长线上的点,BE 与 AD 的交点为 P. (1)若 BD = AC , AE = CD ,在图 1 中画出符合题意的图形,并直接写出 ∠APE 的度数; (2)若 AC =

3BD , CD = 3 AE ,求 ∠APE 的度数。

(东城) 东城)
24. 等边△ABC 边长为 6,P 为 BC 边上一点,∠MPN=60°,且 PM、PN 分别于边 AB、AC 交于点 E、F. (1)如图 1,当点 P 为 BC 的三等分点,且 PE⊥AB 时,判断△EPF 的形状; (2)如图 2,若点 P 在 BC 边上运动,且保持 PE⊥AB,设 BP=x,四边形 AEPF 面积的 y,求 y 与 x 的函数 关系式,并写出自变量 x 的取值范围; (3)如图 3,若点 P 在 BC 边上运动,且∠MPN 绕点 P 旋转,当 CF=AE=2 时,求 PE 的长.

图1

图2

图3

(朝阳) 朝阳)

(丰台) 丰台)
25.已知:在△ABC中,BC=a,AC=b,以AB为边作等边三角形ABD. 探究下列问题: ; (1)如图 1,当点 D 与点 C 位于直线 AB 的两侧时,a=b=3,且∠ACB=60°,则 CD= (2)如图 2,当点 D 与点 C 位于直线 AB 的同侧时,a=b=6,且∠ACB=90°,则 CD= ; (3)如图 3,当∠ACB 变化,且点 D 与点 C 位于直线 AB 的两侧时,求 CD 的最大值及相应的∠ACB 的度数.
C
C
D

A

B

C

A

B

D

A

B

D

图1

图2

图3

(石景山) 石景山)
24.已知:如图, 为对角线, 24.已知:如图,正方形 ABCD 中, AC , BD 为对角线,将 ∠BAC 绕顶点 A 逆时针旋转 α °( 0 < α < 45 ) , 旋转后角的两边分别交 BD 于点 P 、点 Q ,交 BC , CD 于点 E 、点 F ,联结 EF , EQ . 的旋转过程中, 的大小是否改变,若不变写出它的度数,若改变, (1)在 ∠BAC 的旋转过程中, ∠AEQ 的大小是否改变,若不变写出它的度数,若改变,写出它的变化范 直接在答题卡上写出结果,不必证明) 围(直接在答题卡上写出结果,不必证明) ; 的面积的数量关系,写出结论并加以证明. 探究△ (2)探究△ APQ 与△ AEF 的面积的数量关系,写出结论并加以证明.

A H Q

D

F P B E C

(昌平) 昌平)
24.已知, 点 P 是∠MON 的平分线上的一动点, 射线 PA 交射线 OM 于点 A,将射线 PA 绕点 P 逆时针旋转交射线 ON 于点 B,且使∠APB+ ∠MON=180°. (1)利用图 1,求证:PA=PB; (2)如图 2,若点 C 是 AB 与 OP 的交点,当 S ?POB = 3S ?PCB 时,求 PB 与 PC 的比值; (3)若∠MON=60°, OB=2,射线 AP 交 ON 于点 D ,且满足且 ∠PBD = ∠ABO ,请借助图 3 补全图形,并求 OP 的长.

M
M

M

T P A O
图1

T A C P

A P C

T

B

N

O
图2

B

N

O

B
图3

N

(大兴) 大兴)
24.已知:如图,在四边形 ABCD 中, AD=BC,∠A、∠B 均为锐角. . (1) 当∠A=∠B 时,则 CD 与 A B 的位置关系是 CD AB,大小关系是 CD (2) 当∠A>∠B 时, (1)中 C D 与 A B 的大小关系是否还成立, 证明你的结论. AB;

D

C

A

B

(平谷) 平谷)
24.已知点 A,B 分别是两条平行线 m , n 上任意两点,C 是直线 n 上一点,且 ∠ABC=90°,点 E 在 AC 的延长线上,BC= k AB (k≠0). (1)当 k =1 时,在图(1)中,作∠BEF=∠ABC,EF 交直线 m 于点 F.,写出线段 EF 与 EB 的数量关系, 并加以证明; (2)若 k ≠1,如图(2),∠BEF=∠ABC,其它条件不变,探究线段 EF 与 EB 的数量关系,并说明理由.

(门头沟) 门头沟)
24. 在梯形 ABCD 中, AD∥BC, ∠ABC =90°, AD=1, 且 AB=2, tan∠DCB=2 , 对角线 AC 和 BD 相交于点 O. 在 等腰直角三角形纸片 EBF 中,∠EBF=90°,EB=FB.把梯形 ABCD 固定不动,将三角形纸片 EBF 绕点 B 旋转. (1)如图 1,当三角形纸片 EBF 绕点 B 旋转到使一边 BF 与梯形 ABCD 的边 BC 在同一条直线上时,线段 AF 与 CE 的位置关系是 ,数量关系是 ; (2) 将图 1 中的三角形纸片 EBF 绕点 B 逆时针继续旋转, 旋转角为 α ( 0° < α < 90° ),请你在图 2 中画 出图形,并判断(1)中的两个结论是否发生变化,写出你的猜想并加以证明; (3)将图 1 中的三角形纸片 EBF 绕点 B 逆时针旋转到一边 BF 恰好落在线段 BO 上时, 三角形纸片 EBF 的另一边 EF 与 BC 交于点 M,请你在图 3 中画出图形. ①判断(1)中的两个结论是否发生变化,直接写出你的猜想,不必证明; ②若 OF =

5 ,求 BM 的长. 6 A D
E O

A

D O

A

D O

F

B 图1

C

B 图2

C

B 图3

C

(房山) 房山)
25. (本小题满分 7 分) 已知:等边三角形 ABC (1) 如图 1,P 为等边△ABC 外一点,且∠BPC=120°. .

A

B

试猜想线段 BP、PC、AP 之间的数量关系,并证明你的猜想;

(2)如图 2,P 为等边△ABC 内一点,且∠APD=120°. . 求证:PA+PD+PC>BD

A P B

C
图2

D

(怀柔) 怀柔)
24. (本题满分 6 分)等腰△ABC,AB=AC=8,∠BAC=120°,P 为 BC 的中点,小亮拿着 300 角的透明三角 板,使 300 角的顶点落在点 P,三角板绕 P 点旋转. (1)如图 a,当三角板的两边分别交 AB、AC 于点 E、F 时.求证:△BPE∽△CFP; (2)操作:将三角板绕点 P 旋转到图 b 情形时,三角板的两边分别交 BA 的延长线、边 AC 于点 E、F. ① 探究1:△BPE 与△CFP 还相似吗? ② 探究2:连结 EF,△BPE 与△PFE 是否相似?请说明理由; ③ 设 EF=m,△EPF 的面积为 S,试用 m 的代数式表示 S.

A E F
A E F

B P

图a

C

B

图b
P

C

(顺义) 顺义)
24. 已知:如图,等边△ABC 中,点 D 为 BC 边的中点,点 F 是 AB 边上一点,点 E 在线段 DF 的延长线上, ∠BAE=∠BDF,点 M 在线段 DF 上,∠ABE=∠DBM. (1)猜想:线段 AE、MD 之间有怎样的数量关系,并加以证明;

(2)在(1)的条件下延长 BM 到 P,使 MP=BM,连接 CP,若 AB=7,AE= 2 7 , 求 tan∠BCP 的值.

(延庆) 延庆)
25. 在 Rt△ ABC 中 , ∠BAC = 90 ,AB = AC = 2 , 点 D 在 BC 所 在 的 直 线 上 运 动 , 作 ∠ADE = 45 A
o o

( A,D,E 按逆时针方向) . (1)如图 1,若点 D 在线段 BC 上运动, DE 交 AC 于 E . ①求证: △ ABD ∽△DCE ; ②当 △ ADE 是等腰三角形时,求 AE 的长. B D 第 25 题图 1

45o

E C

(2)①如图 2,若点 D 在 BC 的延长线上运动, DE 的 反向延长线与 AC 的延长线相交于点 E ′ , 是否存在点 D , △ ADE ′ 是等腰三角形?若存在, 使 写出所有点 D 的 位置;若不存在,请简要说明理由; ②如图 3,若点 D 在 BC 的反向延长线上运动,是否存在点 D ,使 △ ADE 是等腰三角形?若存在,写出所有 点 D 的位置;若不存在,请简要说明理由. A E A

45o
B D C

D

45o

C B E

第 25 题图 2

第 25 题图 3

E′


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