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1.4高中物理运动图象追及与相遇问题(含配套PPT)


第 4 单元

运动图象__追及与相遇问题

直线运动的 x—t 图象 [想一想] 甲、乙两物体的位移时间图象如图 1-4-1 所示,请思考以下问题:

图 1-4-1 (1)甲、乙两物体各做什么性质的运动。 (2)甲、乙两物体速度的大小关系。 (3)甲、乙两物体的出发点相距多远。 提示:(1)甲、乙两物体均做匀速直线运动。 (2)甲物体的速度小于乙物体的速度。 (3)两物体的出发点相距为 x0,且甲物体在前。 [记一记] 1.图象的意义 反映了做直线运动的物体位移随时间变化的规律。 2.两种特殊的 x-t 图象 (1)x-t 图象是一条平行于时间轴的直线,说明物体处于静止状态。 (2)x-t 图象是一条倾斜直线,说明物体处于匀速直线运动状态。 3.x-t 图象中的“点”“线”“斜率”“截距”的意义 (1)点:两图线交点,说明两物体相遇。 (2)线:表示研究对象的变化过程和规律。 (3)斜率:x-t 图象的斜率表示速度的大小及方向。 (4)截距:纵轴截距表示 t=0 时刻的初始位移,横轴截距表示位移为零的时刻。 [试一试] 1.如图 1-4-2 所示是一辆汽车做直线运动的 x-t 图象,对线段 OA、AB、BC、CD 所 表示的运动,下列说法正确的是( )

1

图 1-4-2 A.OA 段运动最快 B.AB 段静止 C.CD 段表示的运动方向与初始运动方向相反 D.运动 4 h 汽车的位移大小为 60 km 解析 :选 BC 图中 CD 段斜率的绝对值最大,故 CD 段的速度最大,A 错误;AB 段位 移不随时间变化,说明 AB 段汽车静止,B 正确;CD 段的斜率与 OA 段的斜率符号相反, 表明两段汽车的运动方向相反,C 正确;4 h 内汽车运动的总位移为零,D 错误。

直线运动的 v-t 图象

[想一想] A、B 两物体的 v-t 图象如图 1-4-3 所示,请思考以下问题:

图 1-4-3 (1)A、B 两物体的运动性质; (2)A、B 两物体的加速度大小; (3)在 0~10 s 内 A、B 两物体的位移大小。 提示:(1)A 物体做匀速直线运动,B 物体做匀加速直线运动。 (2)A 物体的加速度为 0,B 物体的加速度大小为 0.5 m/s2。 (3)在 0~10 s 内,A 物体的位移大小为 50 m,而 B 物体的位移大小为 25 m。 [记一记] 1.图象的意义 反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律。 2.两种特殊的 v-t 图象 (1)若 v-t 图象是与横轴平行的直线,说明物体做匀速直线运动。 (2)若 v-t 图象是一条倾斜的直线,说明物体做匀变速直线运动。 3.v-t 图象中的“点”“线”“斜率”“截距”“面积”的意义

2

(1)点:两图线交点,说明两物体在该时刻的速度相等。 (2)线:表示速度的变化过程和规律。 (3)斜率:表示加速度的大小及方向。 (4)截距:纵轴截距表示 t=0 时刻的初速度,横轴截距表示速度为零的时刻。 (5)面积:数值上表示某段时间内的位移。 [试一试] 2.某物体运动的速度图象如图 1-4-4 所示,根据图象可知( )

图 1-4-4 A.0~2 s 内的加速度为 1 m/s2 B.0~5 s 内的位移为 10 m C.第 1 s 末与第 3 s 末的速度方向相同 D.第 1 s 末与第 5 s 末加速度方向相同 解析:选 AC v-t 图线在时间轴的上方,故第 1 s 末与第 3 s 末的速度方向相同,C 正

确。图线的斜率大小表示物体运动的加速度大小,正负表示加速度的方向,故 0~2 s 内的 2-0 加速度a 1= m/s2=1 m/s2,方向为正,A 正确。第 1 s 末加速度的大小和方向与 0~2 s 2 0-2 内的相同, 第 5 s 末加速度的大小和方向与 4~5 s 内的相同, 而 4~5 s 内的加速度 a2= 1 1 m/s2=-2 m/s2,方向为负,D 错误。0~5 s 内的位移 x= ×(2+5)×2 m=7 m,B 错误。 2

追及与相遇问题

[记一记] 1.追及与相遇问题的概述 当两个物体在同一直线上运动时, 由于两物体的运动情况不同, 所以两物体之间的距离 会不断发生变化,两物体间距越来越大或越来越小,这时就会涉及追及、相遇或避免碰撞等 问题。 2.追及问题的两类情况 (1)若后者能追上前者,则追上时,两者处于同一位置,后者的速度一定不小于前者的 速度。 (2)若后者追不上前者,则当后者的速度与前者速度相等时,两者相距最近。 3.相遇问题的常见情况

3

(1)同向运动的两物体追及即相遇。 (2)相向运动的物体,当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体的距离时即相遇。 [试一试] 3.甲、乙两物体先后从同一地点出发,沿一条直线运动,它们的 v-t 图象如图 1-4-5 所示,由图可知( )

图 1-4-5 A.甲比乙运动快,且早出发,所以乙追不上甲 B.t=20 s 时,乙追上了甲 C.在 t=20 s 之前,甲比乙运动快;在 t=20 s 之后,乙比甲运动快 D.由于乙在 t=10 s 时才开始运动,所以 t=10 s 时,甲在乙前面,它们之间的距离为 乙追上甲前的最大距离 解析:选 C 从题图中看到开始甲比乙运动快,且早出发,但是乙做匀加速运动,最终 是可以追上甲的,A 项错误;t=20 s 时,速度图象中甲的速度图线与时间轴所围的面积大 于乙的,即甲的位移大于乙的位移,所以乙没有追上甲,B 项错误;在 t=20 s 之前,甲的 速度大于乙的速度,在 t=20 s 之后,乙的速度大于甲的速度,C 项正确;乙在追上甲之前, 当它们速度相同时,它们之间的距离最大,对应的时刻为 t=20 s,D 选项错误。

对运动图象的理解及应用

相同的图线在不同性质的运动图象中含义截然不同,下面我们做一全面比较(见下表)。 图象 x-t 图象 v-t 图象 a-t 图象

图象实例

图线①表示质点做匀速 图线含义 直线运动(斜率表示速度 v)

图线①表示质点做匀加 速直线运动(斜率表示加 速度 a)

图线①表示质点做加 速度逐渐增大的直线 运动

4

图线②表示质点静止 图线③表示质点向负方 向做匀速直线运动 交点④表示此时三个质 点相遇

图线②表示质点做匀速 直线运动 图线③表示质点做匀减 速直线运动 交点④表示此时三个质 点有相同的速度 点⑤表示 t1 时刻质点速 度为 v1(图中阴影部分面 积表示质点在 0~t1 时间 内的位移)

图线②表示质点做匀 变速直线运动 图线③表示质点做加 速度减小的直线运动 交点④表示此时三个 质点有相同的加速度 点⑤表示 t1 时刻质点 加速度为 a1(图中阴 影部分面积表示质点 在 0~t1 时间内的速 度变化量)

点⑤表示 t1 时刻质点位移 为 x1(图中阴影部分的面 积没有意义)

[例 1] (2 013· 聊城联考)如图 1-4-6 所示,是某型号全液体燃料火箭发射时第一级火 箭发动机工作时火箭的 a-t 图象,开始时的加速度曲线比较平滑,在 120 s 的时候,为了把 加速度限制在 4g 以内,第一级的推力降至 60%,第一级的整个工作时间为 200 s。由图线可 以看出,火箭的初始加速度为 15 m/s2,且在前 50 s 内,加速度可以看做均匀变化,试计算:

图 1-4-6 (1)t=50 s 时火箭的速度; (2)如果火箭是竖直发射的, 在 t=10 s 前看成匀加速运动, 则 t=10 s 时离地面的高度是 多少?如果此时有一碎片脱落,将需多长时间落地?(取 g=10 m/s2,结果可用根式表示) [审题指导] (1)a-t 图线与 t 轴所围面积为火箭速度的变化量。 (2)火箭上脱落的碎片将做竖直上抛运动。 [尝试解题] (1)因为在前 50 s 内,加速度可以看做均匀变化,则加速度图线是倾斜的直线,它与时 间轴所围的面积大小就表示该时刻的速度大小,所以有 1 v= ×(15+20)×50 m/s=875 m/s 2 (2)如果火箭是竖直发射的, 在 t=10 s 前看成匀加速运动, 则 t=10 s 时离地面的高度是 1 1 h= at2= ×15×102 m=750 m 2 2

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如果有一碎片脱落,它的初速度 v1=at=150 m/s 1 离开火箭后做竖直上抛运动,有-h=v1t- gt2 2 代入数据解得 t=(15+5 15) s [答案] (1)875 m/s (2)750 m (15+5 15) s

应用运动图象解题时应注意的问题 (1)运动图象只描述直线运动。 (2)不同的图象“斜率”“面积”的含义不同。 (3)速度图象中,图线斜率为正,物体不一定做加速运动,图线斜率为负,物体也不一 定做减速运动。

追及相遇问题分析

1.追及相遇问题中的两个关系和一个条件 (1)两个关系:即时间关系和位移关系,这两个关系可通过画草图得到。 (2)一个条件:即两者速度相等,它往往是物体间能否追上、追不上或(两者)距离最大、 最小的临界条件,也是分析判断的切入点。 2.追及相遇问题常见的情况 假设物体 A 追物体 B,开始时,两个物体相距 x0,有两种常见情况: (1)A 追上 B 时,必有 xA-xB=x0,且 vA≥vB。 (2)要使两物体恰好不相撞,两物体同时到达同一位置时相对速度为零,必有 xA-xB= x0,vA=vB。若使两物体保证不相撞,此时应有 vA<vB。 [例 2] 甲车以 10 m/s 的速度在平直的公路上匀速行驶,乙车以 4 m/s 的速度与甲车平 行同向做匀速直线运动,甲车经过乙车旁边开始以 0.5 m/s2 的加速度刹车,从甲车刹车开始 计时,求: (1)乙车在追上甲车前,两车相距的最大距离; (2)乙车追上甲车所用的时间。 [审题指导] 第一步:抓关键点 关键点 甲车经过乙车旁边开始刹车 以 0.5 m/s2 的加速度刹车 从甲车刹车开始计时 获取信息 两车运动的起点位置 甲车刹车后做匀减速直线运动 两车运动的时间关系

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第二步:找突破口 要求两车间的最大距离→应利用速度关系式 v 乙=v 甲-at 求出到距离最大时的时间→利 用位移关系求最大距离。 [尝试解题] (1)当甲车速度减至等于乙车速度时两车的距离最大,设该减速过程经过的时间为 t,则 v 乙=v 甲-at 解得:t=12 s 1 1 此时甲、 乙间的距离为 Δx=v 甲 t- at2-v 乙 t=10×12 m- ×0.5×122 m-4×12 m=36 2 2 m v甲 (2)设甲车减速到零所需时间为 t1,则有:t1= =20 s a v甲 10 t1 时间内:x 甲= t1= ×20 m=100 m 2 2 x 乙=v 乙 t1=4×20 m=80 m x甲-x乙 20 此后乙车运动时间:t2= = s=5 s 4 v乙 故乙车追上甲车需 t1+t2=25 s [答案] (1)36 m (2)25 s

求解追及相遇问题的思路和技巧 (1)解题思路和方法:

(2)三点解题技巧: ①紧抓“一图三式”,即:过程示意图,时间关系式、速度关系式和位移关系式。 ②审题应抓住题目中的关键字眼,充分挖掘题目中的隐含条件,如“刚好”“恰 好”“最多”“至少”等,往往对应一个临界状态,满足相应的临界条件。 ③若被追赶的物体做匀减速运动,一定要注意追上前该物体是否已经停止 运动,另外 还要注意最后对解的讨论分析。

7

方法

相关说明 寻找问题中隐含的临界条件,例如速度小者加速追赶速度大者,在两物体速

临界法

度相等时有最大距离;速度大者减速追赶速度小者,若追不上则在两物体速 度相等时有最小距离 思路一:先求出在任意时刻 t 两物体间的距离 y=f(t),若对任何 t,均存在 y =f(t)>0,则这两个物体永远不能相遇;若存在某个时刻 t,使得 y=f(t)≤0,

函数法

则这两个物体可能相遇 思路二:设两物体在 t 时刻两物体相遇,然后根据位移关系列出关于 t 的方程 f(t)=0,若方程 f(t)=0 无正实数解,则说明这两物体不可能相遇;若方程 f(t) =0 存在正实数解,说明这两个物体能相遇 (1)若用位移图象求解,分别作出两个物体的位移图象,如果两个物体的位移

图象法

图象相交,则说明两物体相遇 (2)若用速度图象求解,则注意比较速度图线与时间轴包围的面积 用相对运动的知识求解追及或相遇问题时,要注意将两个物体对地的物理量 (速度、加速度和位移)转化为相对的物理量。在追及问题中,常把被追及物体

相对运动法

作为参考系,这样追赶物体相对被追物体的各物理量即可表示为:x 相对=x 后 -x 前=x0,v 相对=v 后-v 前,a 相对=a 后-a 前,且上式中各物理量(矢量)的符号 都应以统一的正方向进行确定

[典例] 在水平轨道上有两列火车 A 和 B 相距 x,A 车在后面做初速度为 v0、加速度大 小为 2a 的匀减速直线运动,而 B 车同时做初速度为零、加速度为 a 的匀加速直线运动,两 车运动方向相同。要使两车不相撞,求 A 车的初速度 v0 满足什么条件。 [解析] 要使两车不相撞,A 车追上 B 车时其速度最大只能与 B 车相等。设 A、B 两车 从相距 x 到 A 车追上 B 车时,A 车的位移为 xA、末速度为 vA、所用时间为 t;B 车的位移为 xB、末速度为 vB、运动过程如图 1-4-7 所示,现用四种方法解答如下:

图 1-4-7 1 法一:临界法 利用位移公式、速度公式求解,对 A 车有 xA=v0t+ ×(-2a)×t2,vA 2 =v0+(-2a)×t, 1 对 B 车有 xB= at2,vB=at, 2 两车位移关系有 x=xA-xB,

8

追上时,两车不相撞的临界条件是 vA=vB, 联立以上各式解得 v0= 6ax。 故要使两车不相撞,A 车的初速度 v0 应满足的条件是 v0< 6ax。 1 法二:函数法 利用判别式求解,由解法一可知 xA=x+xB,即 v0t+ ×(-2a)×t2=x 2 1 + at2, 2 整理得 3at2-2v0t+2x=0。 这是一个关于时间 t 的一元二次方程, 当根的判别式 Δ=(-2v0)2-4· 3a· 2x<0 时, t 无实 数解,即两车不相撞,所以要使两车不相撞,A 车的初速度 v0 应满足的条 件是 v0< 6ax。

9

法三:图象法 利用 v-t 图象求解,先作 A、B 两车的 v-t 图象,如图 1-4-8 所示, 设经过 t 时间两车刚好不相撞,则对 A 车有 vA=v=v0-2at ,

图 1-4-8 对 B 车有 vB=v=at, v0 以上两 式联立解得 t= 。 3a 经 t 时间两车发生的位移之差为原来两车间的距离 x,它可用图中的阴影面积表示,由 图象可知
2 1 1 v0 v0 x= v0· t= v0· = , 2 2 3a 6a

所以要使两车不相撞, A 车的初速度 v0 应满足的条件是 v0< 6ax。 法四:相对运动法 巧选参考系求解。以 B 车为参考系,A 车的初速度为 v0,加速度 为 a=-2a-a=-3a。A 车追上 B 车且刚好不相撞的条件是:vt=0,这一过程 A 车相对于
2 B 车的位移为 x,由运动学公式 v2 t -v0=2ax 得:

02-v0 2=2· (-3a)· x, 所以 v0= 6ax。 即要使两车不相撞,A 车的初速度 v0 应满足的条件是 v0< 6ax。 [答案] v0< 6ax [题后悟道] 方法一注重对运动过程的分析,抓住两车间距离有极值时速度应相等这一 关键条件来求解;方法二由位移关系得到一元二次方程,然后利用根的判别式来确定方 程中各系数间的关系, 这也是中学物理中常用的数学方法; 方法三通过图象使两车的位 移关系更直观、简洁;方法四通过巧妙地选取参考系,使两车的运动关系变得简明。

A、B 两列火车,在同一轨道上同向行驶,A 车在前,其速度 vA=10 m/s,B 车在后,其 速度 vB=30 m/s,因大雾能见度低,B 车在距 A 车 x0=85 m 时才发现前方有 A 车,这时 B 车立即刹车,但 B 车要经过 180 m 才能停止,问:B 车刹车时 A 车仍按原速率行驶,两车 是否会相撞?若会相撞, 将在 B 车刹车后何时相撞?若不会相撞, 则两车最近距离是多少? 解析: 设 B 车刹车过程的加速度大小为 aB, 由 v2-v0 2=2ax 可得: 02-302=2(-aB)· 180 解得:aB=2.5 m/s2 设经过时间 t 两车相撞,则有:

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1 vBt- aBt2=x0+vAt, 2 1 即 30t- ×2.5t2=85+10t, 2 整理得 t2 -16t+68=0 由 Δ=162-4×68<0 可知 t 无实数解,即两车不会相撞,速度相等时两车相距最近,可 得: vA=vB-aBt1,t1=8 s。 1 此过程中 xB=vBt- aBt1 2=160 m 2 xA=vAt1=80 m, 两车的最近距离 Δx=x0+xA-xB=5 m。 答案:不会相撞 5 m

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