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北京四中2017-2018学年高二下学期期中考试数学试卷(文科) ---精校Word直接打印版

北京四中 2017-2018 学年下学期高二年级期中考试 数学试卷(文科) 满分 150 分,考试时间 120 分钟 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1. 在复平面内,复数 A. 第一象限 1? i 的对应点位于 i C. 第三象限 D. 第四象限 B. 第二象限 2. 函数 f(x)是定义在(- ? ,+ ? )上的可导函数. 则“函数 y=f(x)在 R 上单调递增”是“f'(x)>0 在 R 上恒成立”的 A. 充分而不必要条件 C. 充要条件 3 B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 曲线 y=x -2x+l 在点(1,0)处的切线方程为 A. y=x-1 B. y=-x+1 C. y=2x-2 D. y=-2x+2 4. 函数 y=xcosx 的导数为 A. y'=cosx-xsinx C. y'=xcosx-sinx 2 B. y'=cosx+xsinx D. y'=xcosx+sinx 5. 设 f(x)=x -2x-4lnx,则函数 f(x)的增区间为 A. (0,+ ? ) C. (2,+ ? ) 2 B. (- ? ,-1) , (2,+ ? ) D. (-1,0) 6. 若复数 z=(x -4)+(x+3)i(x∈R) ,则“z 是纯虚数”是“x=2”的 A. 充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 函数 f(x)的定义域为开区间(a,b) ,其导函数 f'(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数 f (x)在开区间(a,b)内极小值 点的个数为 ... A. 1 个 8. 函数 f(x)=( B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 1 x ) -log2x 的零点个数为 2 -1- A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 若函数 y=f(x)的图像上存在两点,使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直,则称 y=f(x)具 有 T 性质. 下列函数中具有 T 性质的是 A. y=sinx 3 B. y=lnx C. y=e x D. y=x 3 10. 函数 f(x)=x -3x,若对于区间[-3,2]上的任意 x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤t,则实数 t 的 最小值是 A. 20 B. 18 C. 3 D. 0 11. 设函数 f'(x)是奇函数 f(x)的导函数,f(-1)=0,当 x>0 时,xf'(x)-f(x)<0,则使得 f (x)>0 成立的 x 的取值范围是 A. (- ? ,-1) ? (0,1) C. (- ? ,-1) ? (-1,0) B. (-1,0) ? (1,+ ? ) D. (0,1) ? (1,+ ? ) 12. 德国数学家科拉茨 1937 年提出了一个著名的猜想:任给一个正整数 n,如果 n 是偶数,就将它减半 (即 n ) ;如果 n 是奇数,则将它乘 3 加 1(即 3n+1) ,不断重复这样的运算,经过有限步后,一定可以得 2 到 1. 对于科拉茨猜想,目前谁也不能证明,也不能否定,现在请你研究:如果对正整数 n(首项)按照 上述规则施行变换后的第 8 项为 1(注:l 可以多次出现) ,则 n 的所有不同值的个数为 A. 4 B. 6 C. 8 D. 32 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分 13. 已知 i 是虚数单位,若复数 z 满足 zi=l+i,则 z =___________. 14. 如图,函数 y=f(x)的图象在点 P 处的切线方程是 y=-x+8,则 f(2018)+f'(2018)=_________. 2 15. 已知函数 f(x)=e -x+a 有零点,则 a 的取值范围是_________. 16. 已知函数 f(x)=x +ax +bx+a 在 x=1 处有极值 10,则(a,b)=________. 17. 对于函数 f(x)=(2x-x )e 2 x 3 2 2 x ①(- 2 , 2 )是 f(x)的单调递减区间; ②f(- 2 )是 f(x)的极小值,f( 2 )是 f(x)的极大值; -2- ③f(x)没有最大值,也没有最小值; ④f(x)有最大值,没有最小值. 其中判断正确的是_________. 18. 若函数 e f(x) (e=2.71828…,是自然对数的底数)在 f(x)的定义域上单调递增,则称函数 f(x) 具有 M 性质,下列函数: ①f(x)= x 1 (x>1) x ②f(x)=x 2 ③f(x)=cosx ④f(x)=2 -x 中具有 M 性质的是__________. 三、解答题:本大题共 4 小题,每小题 15 分,共 60 分. 19. 已知函数 f(x)=-x +3x +9x+a. (I)求 f(x)的单调减区间; (II)若 f(x)在区间[-2,2]上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值. 20. 设 f(x)=a(x-5) +61nx,其中 a∈R,曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线与 y 轴相交于点 (0,6). (I)确定 a 的值; (II)求函数 f(x)的单调区间与极值. 21. 已知:函数 f(x)=ax lnx+bx -c(x>0)在 x=1 处取得极值-3-c,其中 a,b,c 为常数. (1)试确定 a,b 的值; (2)讨论函数 f(x)的单调区间: (3)若对任意 x>0,不等式 f(x)≥-2c 恒成立,求 c 的取值范围. 22. 已知函数 f(x)=e · (a+ x 2 4 4 2 3 2 1 +lnx) ,其中 a∈R. x x 垂直,求 a 的值; e (I)若曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线与直线 y=- (II)当 a∈(0,ln2)时,证明:f(x)存在极小值.

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