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2011年北京各区县中考数学一模压轴题汇编之二次函数


2011 年北京各区县中考数学一模压轴题汇编 二次函数
(海淀) 海淀)
24.已知平面直角坐标系 xOy 中, 抛物线 y = ax 2 ? ( a + 1) x 与直线 y = kx 的一个公共点为 A(4,8) . (1)求此抛物线和直线的解析式; (2)若点 P 在线段 OA 上,过点 P 作 y 轴的平行线交(1)中抛物线于点 Q,求线段 PQ 长度的最大值; (3)记(1)中抛物线的顶点为 M,点 N 在此抛物线上,若四边形 AOMN 恰好是梯形,求点 N 的坐标及梯 形 AOMN 的面积.
y
y

O

1

x

O

1

x

(备图1)

(备图 2)

(西城) 西城)

24.如图 1, 在平面直角坐标系 xOy 中, ( 2 3 , ) B 4, ) 将 ?OAB 绕点 O 顺时针旋转 α (0° < α < 90°) A 2 ,( 0 。

角得到 ?OCD O, , 的对应点分别为 O, , )将 ?OAB 沿 x 轴负方向平移 m 个单位得到 ?EFG m > 0 , ( A B C D , ( ...

O,A,B 的对应点分别为 E,F,G) α ,m 的值恰好使点 C,D,F 落在同一反比例函数 y = ,
图象上.
(1) ∠AOB = ______ ° , α = ______ °

k ( k ≠ 0) 的 x

(2)求经过点 A,B,F 的抛物线的解析式; (3)若(2)中抛物线的顶点为 M,抛物线与直线 EF 的另一个交点为 H,抛物线上的点 P 满足以 P,M,F,A 为 顶点的四边形面积与四边形 MFAH 的面积相等, (点 P 不与点 H 重合) ,请直接写出满足条件点 P 的个数,并 求位于直线 EF 上方的点 P 坐标。

(东城) 东城)
25. 如图, 已知二次函数 y=ax2+bx+8 (a≠0) 的图像与 x 轴交于点 A (-2, , 与 y 轴交于点 C, 0) B, tan∠ABC=2. (1)求抛物线的解析式及其顶点 D 的坐标; (2)设直线 CD 交 x 轴于点 E.在线段 OB 的垂直平分线上是否存在点 P,使得经过点 P 的直线 PM 垂直于 直线 CD,且与直线 OP 的夹角为 75°?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)过点 B 作 x 轴的垂线,交直线 CD 于点 F,将抛物线沿其对称轴向上平移,使抛物线与线段 EF 总有公 共点.试探究:抛物线最多可以向上平移多少个单位长度?

(朝阳) 朝阳)

(丰台) 丰台)
23.已知: 反比例函数 y =

k ( k ≠ 0 ) 经过点B(1,1) . x
' ' ' '

(1)求该反比例函数解析式; (2)联结OB,再把点A(2,0)与点B联结,将△OAB绕点O按顺时针方向旋转135°得到△O A B ,写出 A B 的中 点P的坐标,试判断点P是否在此双曲线上,并说明理由; (3)若该反比例函数图象上有一点F(m,

3 m ? 1 )(其中m>0) ,在线段OF上任取一点E,设E点的纵坐标为 2 2 2 ,求代数式 n + 2n ? 2 3 的值. 2

n,过F点作FM⊥x轴于点M,联结EM,使△OEM的面积是

,∠EFG=45°. 24.已知:如图,在□ EFGH中,点F的坐标是(-2,-1) (1)求点 H 的坐标; (2)抛物线 C1 经过点 E、G、H,现将 C1 向左平移使之经过点 F,得到抛物线 C2 ,求抛物线 C2 的解析式; (3)若抛物线 C2 与 y 轴交于点 A,点 P 在抛物线 C2 的对称轴上运动.请问:是否存在以 AG 为腰的等腰 三角形 AGP?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

y

E
O

H

x
G

F

(石景山) 石景山)
2 23. 的顶点在坐标轴 23.已知抛物线 C : y = x ? (m + 1)x + 1 的顶点在坐标轴上. ...

的值; (1)求 m 的值; 轴对称, (2) m > 0 时,抛物线 C 向下平移 n(n > 0) 个单位后与抛物线 C1 : y = ax 2 + bx + c 关于 y 轴对称,且 C1 过 的函数关系式; 点 (n,3) ,求 C1 的函数关系式;

问在直线 使得△ (3) ? 3 < m < 0 时,抛物线 C 的顶点为 M ,且过点 P (1, y0 ) .问在直线 x = ?1 上是否存在一点 Q 使得△

QPM 的周长最小,如果存在,求出点 Q 的坐标, 如果不存在,请说明理由. 的周长最小,如果存在, 的坐标, 如果不存在,请说明理由.

25. 25.已知二次函数 y = ?

3 2 mx + 3mx ? 2 的图象与 x 轴交于点 A ( 2 3 ,0)、点 B ,与 y 轴交于点 C . 的图象与 轴交于点 0)、 轴交于点 3

(1)求点 B 坐标; 个单位的速度沿线段 点运动, 后停止运动, (2)点 P 从点 C 出发以每秒 1 个单位的速度沿线段 CO 向 O 点运动,到达点 O 后停止运动,过点 P 作 PQ // AC 交 OA 于点 Q ,将四边形 PQAC 沿 PQ 翻 折,得到四边形 PQA' C ' ,设点 P 的运动时间 为t . 为何值时, ①当 t 为何值时,点 A' 恰好落在二次函数 y = ?

3 2 mx + 3mx ? 2 图象的对称轴上; 图象的对称轴上; 3 的函数关系式, 的最大值. ②设四边形 PQA' C ' 落在第一象限内的图形面积为 S ,求 S 关于 t 的函数关系式,并求出 S 的最大值.

(昌平) 昌平)
23. 已知二次函数 y = ( k 2 ? 1) x 2 ? (3k ? 1) x + 2 . (1)二次函数的顶点在 x 轴上,求 k 的值; (2)若二次函数与 x 轴的两个交点 A、B 均为整数点(坐标为整数的点) ,当 k 为整数时,求 A、B 两点的坐标.

25.已知:如图,在平面直角坐标系 xOy 中,矩形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上,OC 在 x 轴的正半轴上,
OA=2,OC=3.过原点 O 作∠AOC 的平分线交 AB 于点 D,连接 DC,过点 D 作 DE⊥DC,交 OA 于点 E.

(1)求过点 E、D、C 的抛物线的解析式; (2) ∠EDC 绕点 D 按顺时针方向旋转后, 将 角的一边与 y 轴的正半轴交于点 F, 另一边与线段 OC 交于点 G. 如
果 EF=2OG,求点G的坐标. (3)对于(2)中的点 G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点 Q,使得直线 GQ 与 AB 的交点 P 与点 C、G 构成的△PCG 是等腰三角形?若存在,请求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

y

A
E

D

B

O
(大兴) 大兴)

C

x

五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分) 23.在平面直角坐标系 xOy 中,矩形 ABCO 的面 积为 15,边 OA 比 OC 大 2, E 为 BC 的中点,以 OE 为直径的⊙O′交 x 轴于 D 点,过点 D 作 DF⊥AE 于 F. (1) 求 OA,OC 的长; (2) 求证:DF 为⊙O′的切线; (3)由已知可得,△AOE 是等腰三角形.那么在直线 BC 上是否存在除 点 E 以外的点 P,使△AOP 也是等腰三角形?如果存在,请你证明点 P 与⊙O′的位置关系,如果不存在, 请说明理由. 25.如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(1, 3 ) ,点 B 在 x 轴的负半轴上, ( ∠ABO=30°. . (1)求过点 A、O、B 的抛物线的解析式; (2)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点 C,使 AC+OC 的值最小?若存在,求出点 C 的坐标;若不存在, 请说明理由; (3)在(1)中 x 轴下方的抛物线上是否存在一点 P,过点 P 作 x 轴的垂线,交直线 AB 于点 D,线段 OD 把 △AOB 分成两个三角形.使其中一个三角形面积与四边形 BPOD 面积比为 2:3 ?若存在,求出点 P 的坐标; 若不存在,请说明理由.
O D A x y C O' E F B

y A B O

x

(平谷) 平谷)
五、解答题 (本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分) 23.已知二次函数 y = ax + bx ?
2

3 k (a ≠ 0) 的图象经过点 (1, ,和 (?3, ,反比例函数 y1 = (x>0)的图 0) 0) 2 x

象经过点(1,2) . (1)求这两个二次函数的解析式,并在给定的直角坐标系中作出这两个函数的图象; (2)若反比例函数 y1 =

k 3 2 ( x > 0 )的图象与二次函数 y = ax + bx ? (a ≠ 0) )的图象在第一象限内交于 x 2

点 A( x0,y0 ) , x0 落在两个相邻的正整数之间.请你观察图象写出这两个相邻的正整数; (3)若反比例函数 y2 =

k 3 2 ( k > 0,x > 0 )的图象与二次函数 y = ax + bx ? (a ≠ 0) 的图象在第一象限内 x 2

的交点为 A ,点 A 的横坐标 x0 满足 2 < x0 < 3 ,试求实数 k 的取值范围. 25.已知:抛物线 y = kx 2 + 2 3 ( 2 + k ) x + k 2 + k 经过坐标原点.12999.com (1)求抛物线的解析式和顶点 B 的坐标; (2)设点 A 是抛物线与 x 轴的另一个交点,试在 y 轴上确定一点 P,使 PA+PB 最短,并求出点 P 的坐标; (3)过点 A 作 AC∥BP 交 y 轴于点 C,求到直线 AP、AC、CP 距离相等的点的坐标.

(门头沟) 门头沟)
m ?1 2 x + (m ? 2) x + 4m ? 7 与 x 轴交于 A、B 两 3

25.在平面直角坐标系 xOy 中,关于 y 轴对称的抛物线 y = ?

点(点 A 在点 B 的左侧) ,与 y 轴交于点 C,P 是这条抛物线上的一点(点 P 不在坐标轴上) ,且点 P 关于 直线 BC 的对称点在 x 轴上,D(0,3)是 y 轴上的一点. (1)求抛物线的解析式及点 P 的坐标; (2)若 E、F 是 y 轴负半轴上的两个动点(点 E 在点 F 的上面) ,且 EF=2,当四边形 PBEF 的周长最小时,求点 E、F 的坐标; (3)若 Q 是线段 AC 上一点,且 S?COQ = 2 S ?AOQ ,
–6 –5 –4 –3 –2 y 6 5 4 3 2 1 –1 O –1 –2 –3 –4 –5 –6 1 2 3 4 5 6 x

M 是直线 DQ 上的一个动点,在 x 轴上方的

平面内存在一点 N,使得以 O、D、M、N 为顶点的四边形是菱形,请你直接写出点 N 的坐标.

(房山) 房山)
24. (本小题满分 8 分)如图,抛物线 y = mx + 3mx ? 3 ( m >0)与 y 轴交于点 C,与 x 轴交于 A 、B 两点,
2

点 A 在点 B 的左侧,且 tan ∠OCB =

1 . 3

(1)求此抛物线的解析式; (2)如果点 D 是线段 AC 下方抛物线上的动点,设 D 点的横坐标为 x, △ACD 的面积为 S,求 S 与 x 的关系式,并求当 S 最大时点 D 的坐标; (3)若点 E 在 x 轴上,点 P 在抛物线上,是否存在以 A、C、E、P 为顶点的平行四边形?若存在求点 P 坐 标;若不存在,请说明理由. .

(24 题图)

(备用图)

(密云) 密云)
24.如图,边长为 5 的正方形 OABC 的顶点 O 在坐标原点处,点 A、C 分别在 x 轴、 y 轴

y C

B

G

F

的正半轴上,点 E 是 OA 边上的点(不与点 A 重合) EF ⊥ CE ,且与正 , 方形外角平分 线 AC 交于点 P . (1)当点 E 坐标为 (3, 时,试证明 CE = EP ; 0) (2) 如果将上述条件 “点 E 坐标为 (3, ” “点 E 坐标为 t , ( t > 0 ), 0) 改为 ( 0) ” 结论 CE = EP 是否仍然成立,请说明理由;

P
O E A

(3)在 y 轴上是否存在点 M ,使得四边形 BMEP 是平行四边形?若存在,请证明;若不存在,请说明理由.

25.如图,抛物线 y = ax + bx + c( a > 0) 与 y 轴相交于点 C,直线 L1 经过点 C 且平行于 x 轴,将 L1 向上平移 t
2

个单位得到直线 L2 ,设 L1 与抛物线的交点为 C、D, L2 与抛物线的交点为 A、B,连接 AC、BC. (1)当 a =

1 3 , b = ? , c = 1 , t = 2 时,探究△ABC 的形状,并说明理由; 2 2

(2)若△ABC 为直角三角形,求 t 的值(用含 a 的式子表示) ; (3)在(2)的条件下,若点 A 关于 y 轴的对称点 A’恰好在抛物线 F 的对称轴上,连接 A’C,BD,求四边 形 A’CDB 的面积(用含 a 的式子表示) A y

L2

B

C O

D

x

L1

(怀柔) 怀柔)
23. (本题满分 7 分) 如图,已知二次函数 y = ax 2 ? 4 x + c 的图象与坐标轴交于点 A(-1, 0)和点 C(0,-5) . (1)求该二次函数的解析式和它与 x 轴的另一个交点 B 的坐标。 (2)在上面所求二次函数的对称轴上存在一点 P(2,-2) 连结 OP,找出 x 轴上所有点 M 的坐标, , 使得△OPM 是等腰 三角形. 解:

25.如图,设抛物线 C1: y = a ( x + 1) ? 5 , C2: y = ? a ( x ? 1) + 5 ,C1 与 C2 的交点为 A, B,点 A 的坐标是 ( 2,4) ,点 B
2 2

的横坐标是-2. (1)求 a 的值及点 B 的坐标; (2)点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H, 在DH的右侧作正三角形DHG. 过C2顶点M的 直线记为 l ,且 l 与x轴交于点N. ① 若 l 过△DHG 的顶点 G,点 D 的坐标为 (1, 2),求点 N 的横坐标; ② 若 l 与△DHG的边DG相交,求点N的横 坐标的取值范围.
第 25 题图

(顺义) 顺义)
25. 已知:如图,抛物线 y = ax ? 2ax + c( a ≠ 0) 与 y 轴交于点 C (0, 3) ,与 x 轴交于 A 、 B 两点,点 A 的坐
2

标为 (?1, 0) . (1)求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标; (2)设点 P 是在第一象限内抛物线上的一个动点,求使与四边形 ACDB 面积相等的四边形 ACPB 的点 P 的 坐标; (3)求 ?APD 的面积.

(延庆) 延庆)

24. 如图 1,已知矩形 ABCD 的顶点 A 与点 O 重合, AD 、 AB 分别在 x 轴、 y 轴上,
2 AD = 2 , AB = 3 ;抛物线 y = ? x + bx + c 经过坐标原点 O 和 x 轴上另一点 E (4,0)

(1)当 x 取何值时,该抛物线的最大值是多少? (2) 将矩形 ABCD 以每秒 1 个单位长度的速度从图 1 所示的位置沿 x 轴的正方向匀速平行移动, 同时一动点 P 也以相同的速度从点 A 出发向 B 匀速移动.设它们运动的时间为 t 秒( 0 ≤ t ≤ 3 ) ,直线 AB 与该抛物线的交点 为 N (如图 2 所示).

第 24 题图 1 2

① 当

t=

11 4 时,判断点 P 是否在直线 ME 上,并说明理由;

② 以 P、N、C、D 为顶点的多边形面积是否可能为 5 ,若有可能,求出此时 N 点的坐标;若无可能,请说 明理由.


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