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不等关系与不等式学案


不等关系与不等式(导学案) 一、
“作差法”比较两个实数的大小和常用的不等式的基本性质

① 用“作差法”比较两个实数大小的关键是判断差的正负,常采用配方、因式分解、有理 化等方法.常用的结论有 x ? 0, ? x ? 0,|x|? 0,-|x|? 0 等.
2 2

② “作差法”的一般步骤是: ①作差;②变形;③判断符号;④得出结论. ③常用的不等式的基本性质

(1)a ? b, b ? c ? a ? c (2)a ? b ? a ? c ? b ? c (3)a ? b, c ? 0 ? ac ? bc (4)a ? b, c ? 0 ? ac ? bc

二、实数的运算性质与大小顺序之间的关系
对于任意两个实数 a,b,如果 a>b,那么 a-b 是正数;如 a<b,那么 a-b 是负数;如果 a-b 等于 0. 它们的逆命题也正确.即

(1)a ? b ? a ? b ? 0; (2) a ? b ? a ? b ? 0; (3) a ? b ? a ? b ? 0
1.同向不等式:两个不等号方向相同的不等式。 例如:a>b,c>d,是同向不等式
王新敞
奎屯 新疆

异向不等式:两个不等号方向相反的不等式 例如:a>b,c<d,是异向不等式
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

2.不等式的性质:

(1)a ? b, b ? c ? a ? c (2)a ? b ? a ? c ? b ? c (3)a ? b, c ? 0 ? ac ? bc (4)a ? b, c ? 0 ? ac ? bc

三、知识运用
①.比较 x ? 3与3x 的大小,其中 x ? R .
2

②.比较当 a ? 0 时, (a2 ? 2a ? 1)(a2 ? 2a ? 1)与(a2 ? a ? 1)(a2 ? a ? 1) 的大小. ③ . 设 实 数 a, b, c 满 足 b ? c ? 6 ? 4a ? 3a , c ? b ? 4 ? 4a ? a , 则a, b, c 的 大 小 关 系 是 _____________. ④.配制 A, B 两种药剂需要甲、 乙两种原料, 已知配一剂 A 种药需甲料 3 毫克, 乙料 5 毫克,
2 2

配一剂 B 药需甲料 5 毫克,乙料 4 毫克。今有甲料 20 毫克,乙料 25 毫克,若 A, B 两种药
1

至少各配一剂,则 A, B 两种药在配制时应满足怎样的不等关系呢?用不等式表示出来.

四、重点概念总结
1.两个实数 a 与 b 之间的大小关系

?(1)a-b> 0 ? a>b; ? ?(2)a-b = 0 ? a = b; ? ?(3)a-b< 0 ? a<b.
2.不等式的性质

? a ?(4) b >1 ? a>b; ? ? a ? 若 a、b ? R ,则 ?(5) = 1 ? a = b; ? b ? a (6) <1 ? a<b. ? ? b
a>b ? (2) ? ? a>c( 传递性 ) b>c?

(1)a>b ? b<a( 对称性)

(3)a>b ? a+c>b+c( 加法单调性)
a>b ? ? ? ac>bc c> 0?
(4) (乘法单调性)

a>b ? ? ? ac<bc c< 0 ? (6) a>b ? ? ? a+c>b+d( 同向不等式可加 ) c>d ?

(5)a+b>c ? a>c-b(移项法则)
(7)

a>b ? ? ? a-c>b-d( 异向不等式可减 ) c<d ? a>b> 0? ? ? ac>bd( 同向正数不等式可乘 ) c>d> 0? a>b> 0? a b ? ? > ( 异向正数不等式可除 ) c d 0<c<d ?

(8)

(9)

(10)

a>b>0? n n ? ? a >b ( 正数不等式可乘方) n ?N ? a>b>0? ?? n ?N ?
n

(11)

a > n b ( 正数不等式可开方)

(12)a>b> 0 ?

1 1 < ( 正数不等式两边取倒数 ) a b
2

同步练习
1、已知 a ? b , c ? d ,且 c 、 d 不为 0 ,那么下列不等式成立的是( A. ad ? bc B. ac ? bc ) B.若 a ? b , c ? d ,则 a ? c ? b ? d C. a ? c ? b ? d 2、下列命题中正确的是(
2 2 A.若 a ? b ,则 ac ? bc

) D. a ? c ? b ? d

C.若 ab ? 0 , a ? b ,则

1 1 ? a b


D.若 a ? b , c ? d ,则

a b ? c d

3、下列命题中正确命题的个数是(

①若 x ? y ? z ,则 xy ? yz ;② a ? b , c ? d , abcd ? 0 ,则 ③若

a b ? ; c d

1 1 b b ?1 ? ? 0 ,则 ab ? b2 ;④若 a ? b ,则 ? . a b a a ?1 A. 1 B. 2 C. 3 4、如果 a ? 0 , b ? 0 ,则下列不等式中正确的是( ) 1 1 2 2 A. ? B. ? a ? b C. a ? b a b 5、下列各式中,对任何实数 x 都成立的一个式子是( ) 1 2 2 ?1 A. lg ? x ? 1? ? lg 2 x B. x ? 1 ? 2 x C. 2 x ?1 6、若 a 、 b 是任意实数,且 a ? b ,则( )
A. a ? b
2 2

D. 4

D. a ? b

D. x ?

1 ?2 x

B. ? 1
2

b a

C. lg ? a ? b? ? 0
2 2

D. ? ? ?? ? )

?1? ? 2?

a

?1? ? 2?

b

7、如果 a ? R ,且 a ? a ? 0 ,那么 a , a , ?a , ? a 的大小关系是( A . a ? a ? ?a ? ?a
2 2

B. ?a ? a ? ?a ? a
2 2

C. ? a ? a ? a ? ? a
2 2

2

D. a ? ? a ? a ? ? a
2 2

2

8、若 ? ? 3x ? x ? 1 , ? ? 2 x ? x ,则(



??? A.

??? B.

??? C.

??? D.


2 2 9、若 x ? 2 或 y ? ?1,? ? x ? y ? 4x ? 2 y , ? ? ?5 ,则 ? 与 ? 的大小关系是(

A. ? ? ?
2

B. ? ? ?

C. ? ? ?
2 2

D. ? ? ? )

2 2 10、 不等式① a ? 2 ? 2a , ② a ? b ? 2 ? a ? b ?1? , ③ a ? b ? ab 恒成立的个数是 (

A. 0 A. a ? b ? ?b ? ? a

B. 1

C. 2 B. a ? ?b ? ? a ? b

D. 3 )

11、已知 a ? b ? 0 , b ? 0 ,那么 a , b , ?a , ?b 的大小关系是(

3

C. a ? ?b ? b ? ? a
2

D. a ? b ? ? a ? ?b
2 3 3

12、给出下列命题:① a ? b ? ac ? bc ;② a ? b ? a2 ? b2 ;③ a ? b ? a ? b ;④

a ? b ? a2 ? b2 .其中正确的命题是(
A.①② A. a ? 0 且 b ? 0 C. a ? 0 或 b ? 0 B.②③

) C.③④ ) B. a ? 0 或 b ? 0 D. a ? 0 且 b ? 0 D.①④

13、已知实数 a 和 b 均为非负数,下面表达正确的是(

14、 已知 a ,b ,c ,d 均为实数, 且 ab ? 0 ,? A. bc ? ad B. bc ? ad

c d ? ? ,则下列不等式中成立的是( ) a b a b a b C. ? D. ? c d c d


15、若 f ? x ? ? 3x2 ? x ?1 , g ? x ? ? 2x2 ? x ?1 ,则 f ? x ? , g ? x ? 的大小关系是( A. f ? x ? ? g ? x ? C. f ? x ? ? g ? x ? B. f ? x ? ? g ? x ? D.随 x 值的变化而变化

16、某一天 24 小时内两艘船均须在某一码头停靠一次,为了卸货的方便,两艘船到达该码 头的时间至少要相差两小时,设甲、乙两船到达码头的时间分别 x , y 小时,且两船互不影 响,则 x , y 应满足的关系是( )

?y ? x ? 2 ? A. ? x ? 0 ?y ? 0 ?

?x ? y ? 2 ? B. ? x ? 0 ?y ? 0 ?

?y ? x ? 2 ? C. ? x ? 0 ?y ? 0 ?

? y?x ?2 ? D. ?0 ? x ? 24 ?0 ? y ? 24 ?

17、某商场对顾客实行优惠活动,规定一次购物付款总额:① 200 元以内(包括 200 元) 不予优惠;②超过 200 元不超过 500 元,按标价 9 折优惠;③超过 500 元其中 500 元按②优 惠,超过部分按 7 折优惠,某人两次购物分别付款 168 元和 423 元,若他一次购物,应付款 _______________元. 18、某高校录取新生对语、数、英三科的高考分数的要求是:语文不低于 70 分;数学应高 于 80 分;语、数、英三科的成绩之和不少于 230 分.若张三被录取到该校,设该生的语、 数、 英的成绩分别为 x ,y , 则 x ,y , z, z 应满足的条件是____________________________. 19、用“ ? ” “ ? ”号填空:如果 a ? b ? 0 ? c ,那么

c c ________ . a b

20、某品牌酸奶的质量规定,酸奶中脂肪的含量 f 应不少于 2.5 %,蛋白质的含量 p 应不 少于 2.3 %,写成不等式组就是____________________.
4

21、某中学对高一美术生划定录取控制分数线,专业成绩 x 不低于 95 分,文化课总分 y 不 低于 380 分,体育成绩 z 不低于 45 分,写成不等式组就是____________________. 22、若 0 ? a ? b ,且 a ? b ?

1 1 2 2 ,则 , a , 2ab , a ? b 中最大的是_______________. 2 2

23、 a 克糖水中有 b 克糖( a ? b ? 0 ) ,若再添进 m 克糖( m ? 0 ) ,则糖水就变甜了,试 根据事实提炼一个不等式______________________.
5 5 3 2 2 3 24、已知 a 、 b ? R? ,且 a ? b ,比较 a ? b 与 a b ? a b 的大小.

25、比较下列各组中两个数或代数式的大小: ⑴

11 ? 7 与 15 ? 3 ;



?a

4

? b 4 ?? a 2 ? b 2 ? 与 a3 ? b3 .
2

?

?

5


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