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2013-2014学年高一上学期期中考试数学试题


高一上学期期中考试数学试题
1.函数 y ? sin(2 x ?

?
3

) 的最小正周期为



. ▲ . ▲ . → .

2.已知集合 A ? ? 1,2,4,6,7?, B ? ?3,4,5,7? ,则 A ? B ?

3.已知向量 a ? ? 2m ? 1,3? , b ? ? 2, m ? ,且 a / / b ,则实数 m 的值是 4.幂函数 f ? x ? 的图象经过点 3, 3 ,则 f ? x ? 的解析式是 → ∈R,则 λ+μ= ▲ .

?

?

?

?

?

?

▲ →

5.在平行四边形 ABCD 中,E、F 分别是 CD 和 BC 的中点,若AC=λAE+μAF,其中 λ,μ

6.已知 tan ? ? 2 ,则

sin ? ? 2 cos ? = cos ? ? sin ?
0



7.已知扇形的半径为 8cm ,圆心角为 45 ,则扇形的面积是 8. ? lg 5 ? ? lg 2 ? lg 50 ;
2



cm 2 .





?2 x ? 1 , x ? 0 9. 已知定义在 R 上的函数 f ? x ? ? ? ,若 f ? x ? 在 ?? ?,?? ? 上单调递增, ?mx ? m ? 1, x ? 0
则实数 m 的取值范围是 ▲ .

? ? ? ? 3? ?cos x, ? ? ? x ? 0 ? 13.设 f ? x ? 是定义域为 R ,最小正周期为 的函数,若 f ? x ? = ? ? 2 ?, 2 ?sin x, ? 0 ? x ? ? ? ?
则 f ??

? 15? ? ?? ? 4 ?





1

14. 设定义在区间 ? ? m, m ? 上的函数 f ? x ? ? log 2 1 ? nx 是奇函数,且 f ? 1 ? f 1 ,则

1 ? 2x

? 4? ? 4?

n m 的范围为



.

二、解答题:本大题共六小题,共计 90 分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 3 15. (本小题 14 分)已知角 α 终边经过点 P(x,- 2) (x≠0),且 cos α= x.求 sin α+ 6 1 的值. tan α

16. (本小题 14 分) (本题 14 分)设函数 f ( x ) ? x ? 2 x
2

? x ? R? .

(1)在区间 [ ? 2, 3] 上画出函数 f ( x) 的图像; (2)根据图像写出该函数在 [ ? 2, 3] 上的单调区间; (3)方程 f ( x) ? a 有两个不同的实数根,求 a 的取值范围.(只写答案即可)

17. (本小题 14 分)已知 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? (1)求 f ? x ? 的递增区间; (2)若 x ? ?0,

? ?

??

. ? ? a ? 1 ( a 为常数) 6?

? ?? 时, f ? x ? 的最大值为 4,求 a 的值 ? 2? ?

(3)求出使 f ? x ? 取最大值时 x 的集合.

2

18. (本小题 16 分) 已知海湾内海浪的高度 y(米)是时间 t(0≤t≤24,单位:小时)的 函数,记作 y=f(t).下表是某日各时刻记录的浪高数据: t y 0 1.5 3 1.0 6 0. 5 9 1.0 12 1.5 15 1.0 18 0.5 21 0.99 24 1.5

经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数 y=Acos ωt+b. (1)根据以上数据,求函数 y=Acos ωt+b 的最小正周期 T,振幅 A 及函数表达式; (2)依据规定,当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一 天内的上午 8∶00 至晚上 20∶00 之间,有多少时间可供冲浪者进行运动?

19. (本小题 16 分)已知二次函数 f ( x) 的最小值为 1,且 f (0) ? f (2) ? 3 . (1)求 f ( x) 的解析式; (2)若 f ( x) 在区间 [3a, a ? 1] 上不单调 ,求实数 a 的取值范围; ... (3)在区间 [?1,1] 上, y ? f ( x) 的图象恒在 y ? 2 x ? 2m ? 1 的图象上方,试确定实数 m 的 取值范围.

20. (本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? 2 x ? 3x ? 1 , g ( x) ? A sin( x ?
2

?
6

. ) ( A? 0)

3

(1)当 0 ≤ x ≤

? 时,求 y ? f (sin x) 的最大值; 2

(2)问 a 取何值时,方程 f (sin x) ? a ? sin x 在 ?0,2? ? 上有两解?

4

2012—2013 学年第一学期期末考试

高一数学参考答案
2013、12 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.

二、解答题:本大题共六小题,共计 90 分。15. (本小题 14 分) 15.解 ∵P(x,- 2) (x≠0), ∴点 P 到原点的距离 r= x2+2.………………………………………………(2 分) 3 又 cos α= x, 6 x 3 ∴cos α= 2 = x. 6 x +2 ∵x≠0,∴x=± 10, ∴r=2 3.………………………………………………………………………(6 分) 当 x= 10时,P 点坐标为( 10,- 2), 由三角函数的定义, 6 1 有 sin α=- , =- 5, 6 tan α 6 5+ 6 1 6 ∴sin α+ =- - 5=- ;…………………………………(10 分) tan α 6 6 当 x=- 10时, 6 5- 6 1 同样可求得 sin α+ = .……………………………(14 分) tan α 6 16. 16.(1)图略 ……………7 分 (2)函数的单调增区间为 ?0,1?, ?2,?? ? 函数的单调减区间为 ?? ?,0?, ?1,2?………………………………11 分 (3)由图像可知当 a ? 0 或 a ? 1 时方程有两个实数根。……………14 分 17.解: (1)由 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

,所以 k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

,k ?Z

5

所以,递增区间为 ? k? ?

? ?

?
3

, k? ?

??
6? ?

?k ? Z ? .

(2)在 ?0,

? ?? 的最大值为 a ? 3 , a ? 3 ? 4 ,所以 a ? 1 . ? 2? ?

(3)由 2 x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

,得 x ? k? ?

?

? ? ? , k ? Z ,所以 ? x | x ? k? ? , k ? Z ? . 6 6 ? ?

19 答案:解(1)由已知,设 f ( x) ? a( x ? 1) ? 1 ,由 f (0) ? 3 ,得 a ? 2 ,
2

故 f ( x) ? 2 x ? 4 x ? 3 .
2

…………5 分

(2)要使函数不单调, 则 3a ? 1 ? a ? 1, 则0 ? a ?
2

1 , 3

………10 分

(3)由已知,即 2 x ? 4 x ? 3 ? 2 x ? 2m ? 1 ,
6

化简得 x ? 3x ? 1 ? m ? 0 .
2

设 g ( x) ? x ? 3x ? 1 ? m ,则只要 g ( x) min ? 0 ,
2

而 g ( x) min ? g (1) ? ?1 ? m ,得 m ? ?1 .…………16 分

20.答案: (1) y ? f (sin x) ? 2sin x ? 3sin x ? 1
2

设 t ? sin x, x ? [0,

?
2

] ,则 0 ? t ? 1

∴ y ? 2(t 2 ?

3 3 1 t ) ? 1 ? 2(t ? )2 ? 2 4 8

∴当 t ? 0 时, ymax ? 1………………………………………6 分

(2) 2sin x ? 3sin x ? 1 ? a ? sin x 化为 2sin x ? 2sin x ? 1 ? a 在 [0, 2? ] 上有两解,
2 2

设 t ? sin x

则 2t ? 2t ? 1 ? a 在 [?1,1] 上解的情况如下:
2

①当在 (?1,1) 上只有一个解或相等解, x 有两解 (5 ? a)(1 ? a) ? 0 或 ? ? 0 ∴ a ? (1,5) 或 a ?

1 2 3 ? 2

②当 t ? ?1 时, x 有惟一解 x ? ③当 t ? 1时, x 有惟一解 x ? 故 a ? (1,5) 或 a ?

?
2

1 。…………………………………………………16 分 2

7


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