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【成才之路】2016-2017学年高中数学人教版选修1-1练习:3.1.3导数的几何意义.doc


选修 1-1

第三章

3.1

3.1.3

一、选择题 1.函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 f ′(x0)的几何意义是 导学号 92600557 ( A.在点 x0 处的斜率 B.在点(x0,f(x0))处的切线与 x 轴所夹的锐角的正切值 C.曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率 D.点(x0,f(x0))与点(0,0)连线的斜率 [答案] C [解析] 由导数的几何意义可知函数 y=f(x)在 x=x0 的导数 f ′(x0),即为曲线在点(x0, f(x0))处的切线的斜率. 2.曲线 y=x3 在点 P 处的切线斜率为 3,则点 P 的坐标为 导学号 92600558 ( A.(-2,-8) C.(2,8) [答案] B [解析] ∵y=x3, ∴y′= lim
Δx→0 Δx→0

)

)

B.(1,1),(-1,-1) 1 1 D.(- ,- ) 2 8

?x +Δx?3-x3 Δx3+3x·Δx2+3x2·Δx = lim Δx Δx Δx→0

= lim (Δx2+3x·Δx+3x2)=3x2. 令 3x2=3,得 x=± 1, ∴点 P 的坐标为(1,1),(-1,-1). 3.(2016· 重庆一中高二月考)已知曲线 y=f(x)在 x=5 处的切线方程是 y=-x+8,则 f(5)及 f′(5)分别为 导学号 92600559 ( A.3,3 C.-1,3 [答案] B [解析] 由已知得 f(5)=-5+8=3,f′(5)=-1,故选 B. 4.曲线 y=x3-2x+1 在点(1,0)处的切线方程为 导学号 92600560 ( ) B.3,-1 D.-1,-1 )

A.y=x-1 C.y=2x-2 [答案] A [解析] ∵f ′(x)= lim = lim
Δx→0

B.y=-x+1 D.y=-2x+2

? Δx +x?3-2? Δx +x?+1-x3+2x-1 Δx

Δx→0

Δx3+3x·Δx2+3x2·Δx-2Δx Δx

= lim (Δx2+3x·Δx+3x2-2)
Δx→0

=3x2-2, ∴f ′(1)=3-2=1,∴切线的方程为 y=x-1. 1 5.已知曲线 f(x)= x2+2x 的一条切线斜率是 4,则切点的横坐标为 导学号 92600561 2 ( ) A.-2 C.1 [答案] D 1 1 1 [解析] Δy=f(x+Δx)-f(x)= (x+Δx)2+2(x+Δx)- x2-2x=x·Δx+ (Δx)2+2Δx, 2 2 2 ∴ Δy 1 Δy =x+ Δx+2,∴f ′(x)= lim =x+2. Δx 2 Δx→0 Δx B.-1 D.2

设切点坐标为(x0,y0),则 f ′(x0)=x0+2. 由已知 x0+2=4,∴x0=2,故选 D. 6.(2016· 山东临沂一中高二检测)已知函数 f(x)的图象如图所示,f′(x)是 f(x)的导函数, 则下列结论正确的是 导学号 92600562 ( )

A.0<f′(2)<f′(3)<f(3)-f(2) C.0<f′(3)<f′(2)<f(3)-f(2) [答案] B

B.0<f′(3)<f(3)-f(2)<f′(2) D.0<f(3)-f(2)<f′(2)<f′(3)

[解析] 从图象上可以看出 f(x)在 x=2 处的切线的斜率比在 x=3 处的斜率大,且均为

f? 3? -f? 2? 正数,所以有 0<f′(3)<f′(2),此两点处的斜率 比 f(x)在 x=2 处的切线的斜率 3-2 小,比 f(x)在 x=3 处的切线的斜率大,所以 0<f′(3)<f(3)-f(2)<f′(2),故选 B. 二、填空题 7.已知函数 f(x)=x3+2,则 f ′(2)=________. 导学号 92600563 [答案] 12 [解析] f ′(2)= lim
Δx→0

?2 +Δx?3+2-23-2 Δx

?2 +Δx-2? [? 2 +Δx?2+? 2 +Δx? ·2 +22] = lim Δx Δx→0 = lim [4+4Δx+(Δx)2+4+2Δx+4]
Δx→0

= lim [12+6Δx+(Δx)2]=12.
Δx→0

8.设函数 y=f(x),f ′(x0)>0,则曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的倾斜角的范围是 ________. 导学号 92600564 π [答案] (0, ) 2 [解析] 由于 f ′(x0)>0,说明 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率大于 0,故倾斜角为 锐角. 9.若抛物线 y=x2 与直线 2x+y+m=0 相切,则 m=________. 导学号 92600565 [答案] 1 [解析] 设切点为 P(x0,y0),易知,y′|x=x0=2x0.
?2x0=-2 ?x0=-1 ? ? 由? ,得? ,即 P(-1,1), 2 ? ? ?y0=x0 ?y0=1

又 P(-1,1)在直线 2x+y+m=0 上, 故 2× (-1)+1+m=0,即 m=1. 三、解答题 10. 已知曲线方程为 y=x2, 求过点 A(2,4)且与曲线相切的直线方程. 导学号 92600566 ?x +Δx?2-x2 [解析] ∵f ′(x)= lim Δx Δx→0 = lim
Δx→0

2Δx·x+Δx2 = lim (2x+Δx)=2x, Δx Δx→0

又点 A(2,4)在曲线 y=x2 上,

∴f ′(2)=4,∴所求切线的斜率 k=4, 故所求切线的方程为 y-4=4(x-2), 即 4x-y-4=0.

一、选择题 1 . 设 曲 线 y = ax2 在 点 (1 , a) 处 的 切 线 与 直 线 2x - y - 6 = 0 平 行 , 则 a 等 于 导学号 92600567 ( A.1 1 C.- 2 [答案] A [解析] ∵y′|x=1= lim = lim
Δx→1

) 1 B. 2 D.-1

a? 1 +Δx?2-a× 12 Δx

Δx→0

2 2aΔx+a? Δx? = lim (2a+aΔx)=2a, Δx Δx→0

∴2a=2,∴a=1. 2. (2016· 天津南开中学检测)已知抛物线 y=f(x)=x2 与直线 y=2x+b 相切, 若 f′(x0)=2, 则 x0= 导学号 92600568 ( A.-1 1 C.- 2 [答案] D
? ?y=2x+b [解析] 由? 消去 y,得 x2-2x-b=0,①∵抛物线 y=x2 与直线 y=2x+b 相 2 ?y=x ?

)

B.2 D.1

切,∴Δ=4+4b=0,解得 b=-1.此时,方程①的根为 x=1,∴切点坐标为(1,1).由导数 的几何意义得 f′(1)=2,∴x0=1. a 3 .已知直线 ax - by - 2 = 0 与曲线 y = x3 在点 P(1,1) 处的切线互相垂直,则 为 b 导学号 92600569 ( 2 A. 3 1 C. 3 ) 2 B.- 3 1 D.- 3

[答案] D [解析] 由导数的定义可得 y′=3x2, ∴y=x3 在点 P(1,1)处的切线斜率 k=y′|x=1=3, a a 1 由条件知,3× =-1,∴ =- . b b 3 4.设 P0 为曲线 f(x)=x3+x-2 上的点,且曲线在 P0 处切线平行于直线 y=4x-1,则 P0 点的坐标为 导学号 92600570 ( A.(1,0) C.(1,0)或(-1,-4) [答案] C [解析] f ′(x)= lim = lim
Δx→0 3 ?x +Δx?3+? x +Δx?-2-? x +x-2? Δx

)

B.(2,8) D.(2,8)或(-1,-4)

Δx→0

2 2 3 ? 3x +1? Δx +3x? Δx? +? Δx? =3x2+1. Δx

由于曲线 f(x)=x3+x-2 在 P0 处的切线平行于直线 y=4x-1,所以 f(x)在 P0 处的导数 值等于 4,设 P0(x0,y0),有 f ′(x0)=3x2 1,这时 P0 点的坐标为(1,0)或(-1, 0+1=4.解得 x0=± -4). 二、填空题 5 . (2016·山 东 青 岛 期 末 ) 曲 线 f(x) = x2 + 1 在 点 P(1,2) 处 的 切 线 方 程 为 ________. 导学号 92600571 [答案] y=2x [解析] 设曲线 f(x)=x2+1 在点 P(1,2)处的切线的斜率为 k, 则 k= lim = lim = lim
Δx→0

f? 1 +Δx?-f? 1? Δx

Δx→0

2 ?1 +Δx?2+1-? 1 +1? Δx 2 2Δx+? Δx? =2. Δx

Δx→0

所以切线方程为 y-2=2(x-1),即 y=2x. 6 . 曲 线 y = x3 在 点 (1,1) 处 的 切 线 与 x 轴 、 x = 2 所 围 成 的 三 角 形 的 面 积 为 ________. 导学号 92600572

[答案]

8 3
Δx→0

[解析] y′= lim

?x +Δx?3-x3 =3x2,所以 k=y′|x=1=3× 1=3,所以在点(1,1)处的切 Δx

2 ? 1 ? 2? 2- × 线方程为 y=3x-2, 它与 x 轴的交点为? 与 x=2 的交点为(2,4), 所以 S= × 4 ?3,0?, 2 ? 3? 8 = . 3 三、解答题 7.直线 l:y=x+a(a≠0)和曲线 C:y=x3-x2+1 相切. (1)求切点的坐标; (2)求 a 的值. 导学号 92600573 [解析] (1)设直线 l 与曲线 C 相切于 P(x0,y0)点. f ′(x)= lim = lim
Δx→0

f? x +Δx?-f? x? Δx

Δx→0

3 ?x +Δx?3-? x +Δx?2+1-? x -x2+1? Δx

=3x2-2x. 1 由题意知,k=1,即 3x2 0-2x0=1,解得 x0=- 或 x0=1. 3 当 x0=1 时,y0=1,此时 a=0(舍去) 1 23? 于是切点的坐标为? ?-3,27?. 1 23? 23 1 32 (2)当切点为? ?-3,27?时,27=-3+a,a=27. 32 ∴a 的值为 . 27 8.已知曲线 C:y= 1 经过点 P(2,-1),求 t-x

(1)曲线在点 P 处的切线的斜率. 导学号 92600574 (2)曲线在点 P 处的切线的方程. (3)过点 O(0,0)的曲线 C 的切线方程. [解析] (1)将 P(2,-1)代入 y= ∴y= 1 . 1-x 1 中得 t=1, t-x

1 1 - +Δx? 1-x +Δx?-f? x? 1-? x Δy f? x ∴ = = Δx Δx Δx = 1 , ?1 -x-Δx? ? 1 -x?
Δx→0

∴ lim

Δy 1 = , Δx ? 1 -x?2 1 =1. ?1 -2?2

∴曲线在点 P 处切线的斜率为 k=y′|x=2=

(2)曲线在点 P 处的切线方程为 y+1=1× (x-2), 即 x-y-3=0. (3)∵点 O(0,0)不在曲线 C 上,设过点 O 的曲线 C 的切线与曲线 C 相切于点 M(x0,y0), y0 1 则切线斜率 k= = , x0 ? 1 -x0?2 由于 y0= 即 y=4x. 1 1 1 1 , ∴x0= , ∴切点 M( , 2), 切线斜率 k=4, 切线方程为 y-2=4(x- ), 2 2 2 1-x0


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