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山东省日照市2012届高三第一次模拟考试 数学(文)(2012年日照一模)


绝密★启用前 型:A 山东省日照市 2012 届高三第一次模拟考试

试卷类







学 2012.03

本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。第 I 卷 1 至 2 页,第 II 卷 3 至 4 页。满分 150 分。考试用时 120 分钟。教试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第 I 卷(共 60 分)
注意事项: 1、答第 I 卷前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将姓名、座号、准考证号填写在答题卡 和试卷规定的位置。 2、第 I 卷共 2 页。答题时,考生须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案。在试卷上作答无效。 参考公式: 锥体的体积公式: V锥体 ?

1 Sh, 其中 S 为锥体的底面积,h 为锥体的高; 3

圆柱的侧面公式: s圆锥侧面 ? 2?Rl , 其中 R 为圆柱的底面半径, l 为圆柱的母线。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 (1)已知集合 M ? x x ? 4 ? 0?, N ? x x ? 2n ? 1, n ? Z ?,则集合 M ? N 等于
2

?

?

(A) {-1,1} (2)函数 f ( x) ?

(B) {-1,0,1}

(C) {0,1}

(D) {-1,0}

2 ? x ? 1g ( x ? 1) 的定义域是
(B) (-∞,2) (C) (1,2) (D) (1,+∞)

(A) (2,+∞)

(3)已知定义在复数集 C 上的函数 f (x) 满足 f ( x) ?

?

1? x x?R (1? i ) x x?R

f (1 ? i) 等于

(A)2 (B)0 (C) (1,2] (D) (2+ i ) (4)如图,在一个不规则多边形内随机撒入 200 粒芝麻(芝麻落到任何位置可能性相等) , 恰有 40 粒落入半径为 1 的圆内,则该多边形的面积约为 (A)4π (B)5π (C)6π (D)7π (5)曲线 f ( x) ? x1nx 在 x=e 处的切线方程为 (A)y=x (B)y=x-e (6)已知程序框图如右,则输出的 i ? (C)y=2x+e (D)y=2x-e

(A)7 (C)9

(B)8 (D)10

(7)数列 ?a n ? 的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则 a6= (A)3×4 +1
4

(B)3×4

4

(C)4

4

(D)4 +1

4

? x ? 1, ? (8)已知点 p(x,y)的坐标满足条件 ? y ? x, 那么点 P 到直线 3x-4y-9=0 的距离的最 ?x ? 2 y ? 3 ? 0 ?
小值为 (A)2 (B)1 (C)

14 5

(D)

6 5

(9)设 a、?、y 为平面,m、n、l 为直线,则 m ? ? 的一个充分条件是 (A) a ? ? , a ? ? ? 1, m ? l (C) a ? r , ? ? y, m ? a (B) n ? a, n ? ? , m ? a (D) a ? y ? m, a ? y, ? ? y

x2 y2 2 (10)已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的离心率为 2,一个焦点与抛物线 y =16x 的焦 a b
点相同,则双曲线的渐近线方程为 (A)y=±

3 x 2

(B)y=±

3 x 2

(C)y=±

3 x 3

(D)y=± 3 x

(11)函数 y ?

1og2 x x

的图象大致是

(12)定 义 在 R 上 奇 函 数 f (x) 满 足 对 任 意 x 都 有 f ( x ? 1) ? f (4 ? x) , 且

3 f ( x) ? x, x ? (0, ) ,则 f (2012 ) ? f (2010 ) 等于 2
(A)-1 (B)0 (C)2 (D)1

第 II 卷(共 90 分)
注意事项: 第 II 卷共 2 页。 考生必须使用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上各题目的指定答题区域 内作答、填空题请直接填写答案,解答题应写出文字、证明过程或演算步骤。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 (13)若直线 3x-ky+6=0 与直线 kx-y+1=0 平行,则实数 k= 。 (14)已知某实心几何体的三视图如图所示(单位:㎝) , 则该几何体的表面积为 。 (15)中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶 机动车的行为分成“酒后驾车”和“醉酒驾车”两个档次,其检 测标准是驾驶人员血液中的酒精含量 Q(简称血酒含量,单位:毫 克/100 毫升) 。当 20≤Q≤80 时,为酒后驾车;当 Q>80 时,为醉 酒驾车,某市公安局交通管理部门于 2012 年 2 月某天晚上 8 点至 11 点在市区设点进行一次检查行动,共依法查出了 60 名饮酒后违 法驾驶机动车者,右图为这 60 名驾驶员抽血检测后所得结果画出 的频率分布直方图(其中 Q≥140 的人数计入 120≤Q<140 人数之 内) 。则此次检查中醉酒驾车的人数是 。 (16)给出下列四个命题: ①命题 " ?x ? R, cos x ? 0" 的否定是 " ?x ? R, cos x ? 0" ; ②若 0<a<1,则函数 f ( x) ? x ? a ? 3 只有一个零点;
2 x

③函数 y ? sin(2 x ?

?

? ? 5? ? ) 的一个单调增区间是 ?? , ? ; 3 ? 12 12 ?

④对于任意实数 x, f (? x) ? f ( x) , 有 且当 x>0 时, f ' ( x) ? 0 , 则当 x<0 时, f ' ( x) ? 0 。 其中真命题的序号是 (把所有真命题的序号都填上) 。 三、解答题:本题共 6 小题,共 74 分。 (17)(本小题满分 12 分) 已 知

f ( x) ? m ? n,





m ? (sin ?x ? cos?x, 3 cos?x), n ? (

?x ? s ?x,2 s ?x) i c

oi

n

sn

(? ? 0) ,若 f(x)图象中相邻的两条对称轴间的距离不小于 ? 。
(I)求 ? 的取值范围; (II)在 ?ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边, a ?

3 7, S ? 。当 ?ABC 2

? 取最大值时,f(A)=1,求 b,c 的值。
(18)(本小题满分 12 分) 已知各项均不相等的等差数列 ?a n ? 的前四项和 S 4 ? 14, a3 是 a1,a7 的等比中项。

(I)求数列 ?a n ? 的通项公式; (II)设 Tn 为数列 ?

?

1 ? 1 * ? 的前 n 项和,若 Tn ? an?1 对一切 n ? N 恒成立,求实 an an ?1 ? ? ?

数 ? 的最大值。 (19)(本小题满分 12 分) 某网站体育版块足球栏目组发起了“射手的上一场进连续进球有关系”的调查活动, 在所有参与调查的人中,持“有关系” “无关系” “不知道”态度的人数如表所示: 有关系 40 岁以下 40 岁以上 (含 40 岁) 800 100 无关系 450 150 不知道 200 300

(I)在所有参与调查的人中,用分层抽样的方法抽取 n 个人,已知从持“有关系”态 度的人中抽取 45 人,求 n 的值; (II)在持“不知道”态度的人中,用分层抽样的方法抽取 5 人看成一个总体,从这 5 人中任选取 2 人,求至少一人在 40 岁以下的概率; (III)在接受调查的人中,有 8 人给这项活动打出分数如下:9.4、8.6、9.2、9.6、 8.7、9.3、9.0、8.2,把这 8 个人打出的分数看做一个总体,从中任取 1 个数,求该数与总 体平均数之差的绝对值超过 0.6 的概率。 (20)(本小题满分 12 分) 如图所示,在正三棱柱 ABC -A1B1C1 中,底面边长和侧棱长都是 2,D 是侧棱 CC1 上任 意一点,E 是 A1B1 的中点。 (I)求证:A1B1//平面 ABD; (II)求证:AB⊥CE; (III)求三棱锥 C-ABE 的体积。 (21)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax 2 ? 1nx(a ? R) 。 (I)当 a ?

1 时,求 f (x) 在区间[1,e]上的最大值和最小值; 2

(II)如果在公共定义域 D 上的函数 g(x), f1 ( x), f 2 ( x) 满足 f1 ( x) ? g ( x) ? f 2 ( x) ,那 么 就 称 g(x) 为

f1 ( x)、f 2 ( x)

的 “ 活 动 函 数 ”, 已 知 函 数

1 1 f1 ( x) ? (a ? ) x 2 ? 2ax ? (1 ? a 2 )1nx, f 2 ( x) ? x 2 ? 2ax , 若 在 区 间 2 2
,求实数 a 的取范围。 (1,??) 上,函数 f (x) 是 f1 ( x)、f 2 ( x) 的“活动函数” (22)(本小题满分 14 分) 设椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2,上顶 a 2 b2

点为 A,离心率 e=

1 ,在 x 轴负半轴上有一点 B,且 BF2 ? 2BF1 。 2

(I)若过 A、B、F2 三点的圆恰好与直线

l : x ? 3 y ? 3 ? 0 相切,求椭圆 C 的方程;
(II)在(I)的条件下,过右焦点 F2 作斜率为 k 的直线 l ' 与椭圆 C 交于 M、N 两点, 在 x 轴上是否存在点 p(m,0) ,使得以 PM,PN 为邻边的平行四边形是菱形,如果存在,求出 m 的取值范围;如果不存在,说明理由。

2012 届高三模拟考试 文科数学参考答案及评分标准
2012.03 说明:本标准中的解答题只给出一种解法,考生若用其它方法解答,只要步骤合理,结果正 确,均应参照本标准相应评分。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1-5 ACABD 6-10 CBAABD 11-12 CD 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分 四、 ? 3 (14) (96 ? 8? )cm2 (15)15 16.①③④

(17)解: (Ⅰ) f ( x) ? m.n ? cos 2?x ? 3 sin 2?x ? 2 sin(2?x ?

?
6

) ?????3 分

? f (x)图象中相邻的对称轴间的距离不小于?

T ? 1 ? ? ,? ? ? ,?? ? (0, ] ????6 分 2 2? 2 1 ? ? (Ⅱ)当 ? ? 时, f ( x) ? 2 sin(x ? ),? f ( A) ? 2 sin(A ? ) ? 1 , 2 6 6 ? 1 ? ? 7? 2? ?????3 分 ? sin(A ? ) ? .? 0 ? A ? ? ,? ? A ? ? ,? A ? 6 2 6 6 6 3 ?
由S

ABC

1 3 ? bc sin A ? , 得bc ? 2 .?????① 2 2

又 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? b 2 ? c 2 ? bc ? 7, ?????② 由①②,得 b=1,c=2 或 b=2,c=1.?????12 分 (18)解: (Ⅰ)设公差为 d,由已知得

4a1 ? 6d ? 14 (a1 ? 2d ) 2 ? a1(a1 ? 6d )

解得 d=1 或 d=0(舍去)

? a1 ? 2, 故an ? n ? 1 ?????????????????????????4 分

(Ⅱ)?

1 1 1 1 ,???????????6 分 ? ? ? anan ? 1 (n ? 1)( n ? 2) (n ? 1) (n ? 2) 1 1 1 1 .... 1 1 1 1 n ????8 分 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 3 4 n ? 1 n ? 2 2 n ? 2 2(n ? 2) n 1 ? (n ? 2) , 2(n ? 2) ?

?Tn ? 1

?Tn ?

?

an ? 1,?

即? ? 又 2(n ?

2(n ? 2)2 4 ? 2(n ? ? 4) ????10 分 n n

4 ? 4) ? 2 ? (4 ? 4) ? 16 n

? ?的最大值为 . ??????????12 分 16
(19)解: (Ⅰ)由题意,得

800 ? 100 800 ? 450 ? 200 ? 100 ? 150 ? 300 ? 45 n

?n ? 100 ??????????3 分
200 m ? ,解得 m=2. ??5 分 200 ? 300 5 就是 40 岁以下抽取了 2 人,另一部分抽取了 3 人,分别记作 A1, A2; B1, B2, B3, 则多中任取 2
(Ⅱ)设所选取的人中,有 m 人在 40 岁以下,则 人 的 所 有 基 本 事 件 为 共

( A1, B1), ( A1, B2), ( A1, B3), ( A2, B1), ( A2, B2), ( A2, B3), ( A1, A2), ( B1, B2), ( B1, B3), ( B2, B3)
10 个?????????????????????????????7 分 其中至少有 1 人在 40 岁以下的基本事件为

( A1, B1), ( A1, B2), ( A1, B3), ( A2, B1), ( A2, B2), ( A2, B3), ( A1, A2) 共 7 个

7 ????????????????10 分 10 1 (Ⅲ)总体的平均数为 x ? (9.4 ? 8.6 ? 9.2 ? 9.6 ? 8.7 ? 9.3 ? 9.0 ? 8.2) ? 9 8
所以所求事件的概率 p ? 那么与总体平均数之差的绝对超过 0.6 的数只有 8.2, 所以该数与总体平均数之差的绝对值

1 .????????????????12 分 8 (23)解: (Ⅰ)证明:由正三木棱住的性质知 A1 B1 ∥AB,
超过 0.6 的概率为 因为 AB ? 平面ABD,A1 B1 ? 平面ABD , 所以 A1 B1 ∥平面 ABD.??????????????4 分 (Ⅱ)设 AB 中点为 G,连结 GE,GC。

? ?ABC为正三角形,且G为中心, AB ? GC ?

又 EG∥ AA1 , AA1 ? AB,? AB ? GE 又 CG ? GE ? G, 所以AB ? 平面GEC 而 CE ? 平面GEC,所以AB ? CE ??????????????8 分 (Ⅲ)由题意可知: Vc ? ABE ? VE ? ABC ?

1 ? EG ? S?ABC 3

1 1 3 2 3 ? ? 2? ? 2? 2? ? ???????????12 分 3 2 2 3
1 1 1 x2 ? 1 时,f ( x) ? x 2 ? 1nx, f `( x) ? x ? ? ; (22)解: (Ⅰ) 2 2 x x 对于x ? [1, e], 有f `( x) ? 0,? f ( x)在区间(,e)上为增函数, 1 当a ?
? f ( x) max ? f (e) ? 1 ? e2 1 , f ( x) min ? f (1) ? ???????3 分 2 2

(Ⅱ)在区间 (1,??) 上,函数 f ( x)是f 1( x)、f 2( x)的“活动函数”, 则 f 1( x) ? f ( x) ? f 2( x)

1 p( x) ? f ( x) ? f 2 x ? (a ? ) x 2 ? 2ax ? 1nx ? 0对x ? (1,??)恒成立 2 1 且h( x) ? f 1( x) ? f ( x) ? ? x 2 ? 2ax ? a 21nx ? 0对x ? (1,??)恒成立 2 1 (2a ? 1) x 2 ? 2ax ? 1 ( x ? 1)[( 2a ? 1) x ? 1] 令? p`( x) ? (2a ? 1) x ? 2a ? ? ????5 分 ? x x x

1 1 , 令p`( x) ? 0, 得极值点x1 ? 1, x 2 ? 2 2a ? 1 1 当 x 2 ? x1 ? 1, 即 <a<1 时,在 ( x 2,??) 上有 p`(x)>0. 2
1)若 a ? 此时 p(x)在 ( x 2,??) 上是增函数,并且在该区间上有 p( x) ? ( p( x 2),??) 不合题意。 当 x2 ? x1 ? 1 ,即a ? 1时,同理可知在(, ?)上p( x) ? ( p(1),??)也不合题意 .7 分 1? 2)若 a ?

1 , 则有2a ? 1 ? 0,此时在区间(, ?)上恒有p`( x) ? 0 1? 2
1 1 ? 0,? a ? ? ???9 分 2 2

从而p( x)在区间(, ?)上是减函数; 1? 要使p( x) ? 0在此区间上恒成立,只须满足p(1) ? ?a ? ?? 1 1 ?a? 2 2

a 2 ? x 2 ? 2ax ? a 2 ? ? 0, x x 1 1 h( x)在(, ?)上是减函数, h( x) ? h(1) ? ? ? 2a ? 0,? a ? ???12 分 1? ? 2 4 1 1 综合可知a的取值范围是[? , ] 2 4 又因为h`( x) ? ? x ? 2a ?
另解:先考虑h(x)h`( x) ? -x ? 2a a2 ( x ? a)2 ?? <0, x x

1 1 从而h( x)在(, ?)上递减,只要h(1) ? 0, 得 - ? 2a ? 0, 解得a ? 1? 2 4 ??8 分 ( x ? 1)[( 2a ? 1) x ? 1] 1 而p`( x) ? 对x ? (1,??)且a ? 有p`( x) <0 x 4
1 1 只要p(x) 0, a ? ? 2a ? 0, 解得a ? ? ? 2 2 1 1 1 1 ? ? ? a ? 即a的取值范围是[? , ] ???????????12 分 2 4 2 4

由题意

c 1 1 ? , 得c ? a, 所以 F 1 F 2 ? a a 2 2 又 AF 1 ? AF 2 ? a,由于 BF 2 ? 2 BF 2,则F 1为BF 2中点 所以 AF 1 ? BF 1 ? F 1 F 2 ? a

1 所以?ABF 2的外接圆圆心为F(- a,0 , 半径r ? F 1 A ? a ??2 分 1 ) 2 1 ? a ?3 2 所以 ? a, 解得a ? 2 2 ? c ? 1, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3
所求椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1. ????????????4 分 4 3

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 F2(1,0),设 l ' 的方程为:

y ? k ( x ? 1), 将直线方程与椭圆方程联立,得
y ? k ( x ? 1),
??????①②

x2 y 2 ? ? 1. 4 3
①代入②,得 (3 ? 4k 2) x ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0. ???????????8 分

设交点为 M ( x1, y ), N ( x , y ),

1

2

因为 3 ? 4k 2? 0, 则 x1 ? x ?

2

8k 2 , y1 ? y ? k ( x1 ? x 2 ? 2) .???????????10 分 3 ? 4k 2

若存在点 P(m,0) ,使得以 PM , PN 为邻边的平行四边形是菱形, 由于菱形对角线垂直,则 ( PM ? PN ).MN ? 0 . 又 PM ? PN ? ( x1 ? m, y1) ? ( x 2 ? m, y 2) ? ( x1 ? x 2 ? 2m, y1 ? y 2) , ∵ MN 的方向向量是 (1, k ) , 故 k ( y ? y ) ? x ? x ? 2m ? 0 .

1

2

1

2

k 2(

8k 2 8k 2 ? 2) ? ? 2m ? 0 .???????????12 分 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

由已知条件知 k ? 0 且 k ? R ,

?m ?

k2 1 1 .? 0? m? 2? 3 3 ? 4k 4 2 ?4 k

故存在满足题意的点 P 且 m 的取值范围是 (0, ) .?????????14 分

1 4


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