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数列专项典型练习题


数列专项典型练习题
一.选择题(共 11 小题) 2. (2014?天津)设{an}的首项为 a1,公差为﹣1 的等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 S1,S2,S4 成等比数列,则 a1= ( ) A.2 B.﹣2 C. D. ﹣

考点: 专题: 分析: 解答:

等比数列的性质;等差数列的性质. 等差数列与等比数列.

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由等差数列的前 n 项和求出 S1,S2,S4,然后再由 S1,S2,S4 成等比数列列式求解 a1. 解:∵{an}是首项为 a1,公差为﹣1 的等差数列,Sn 为其前 n 项和, ∴S1=a1,S2=2a1﹣1,S4=4a1﹣6, 由 S1,S2,S4 成等比数列,得: 即 ,解得: , .

故选:D. 点评: 本题考查等差数列的前 n 项和公式,考查了等比数列的性质,是基础的计算题.

3. (2014?河南一模)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 A.1 B.﹣1 C .2

,则

=(

) D.

考点: 等差数列的前 n 项和. 分析: 由等差数列的求和公式和性质可得
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=

,代入已知可得.

解答: 解:由题意可得 =

=

=

=1

故选 A 点评: 本题考查等差数列的求和公式,涉及等差数列的性质,属基础题. 4. (2014?河东区一模)阅读图的程序框图,该程序运行后输出的 k 的值为( )

1

A.5

B.6

C .7

D .8

考点: 等比数列的前 n 项和;循环结构. 专题: 计算题. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序, 可知:该程序的作用是利用循环计算变量 s, k 的值,最后输出 k 的值,列举出循环的各个情况,不难得到输出结果. 解答: 解:程序在运行过程中各变量的值如下表示: 循环前:k=0,s=0,每次循环 s,k 的值及是否循环分别如下 第一圈:S=2° <100,k=1;是 1 第二圈:S=2° +2 <100,k=2;是 1 2 第三圈:S=2° +2 +2 <100,k=3;是 1 2 3 第四圈:S=2° +2 +2 +2 <100,k=4;是 1 2 3 4 第五圈:S=2° +2 +2 +2 +2 <100,k=5;是 1 2 3 4 5 第六圈:S=2° +2 +2 +2 +2 +2 <100,k=6:是 1 2 3 4 5 6 第七圈:S=2° +2 +2 +2 +2 +2 +2 >100,k=6:否 满足 S>100,退出循环,此时 k 值为 7 故选 C 点评: 本小题主要考查循环结构、等比数列等基础知识.根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这 一模块最重要的题型,
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5. (2014?河西区三模)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则 A.11 考点: 专题: 分析: 解答: B.5 C.﹣8

等于(

) D.﹣11

等比数列的性质. 等差数列与等比数列. 由题意可得数列的公比 q,代入求和公式化简可得. 解:设等比数列{an}的公比为 q, (q≠0) 4 由题意可得 8a2+a5=8a1q+a1q =0,解得 q=﹣2,
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=

=

=

=﹣11

故选 D 点评: 本题考查等比数列的性质,涉及等比数列的求和公式,属中档题. 2

6. (2014?河西区二模)数列{an}满足 a1=2,an= A. B. ﹣

,其前 n 项积为 Tn,则 T2014=( C .6 D.﹣6



考点: 数列递推式. 专题: 计算题;点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 根据数列{an}满足 a1=2, an= , 可得数列{an}是周期为 4 的周期数列, 且 a1a2a3a4=1, 即可得出结论.
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解答: 解:∵an= ,

∴an+1=



∵a1=2,∴a2=﹣3,a3=﹣ ,a4= ,a5=2,…, ∴数列{an}是周期为 4 的周期数列,且 a1a2a3a4=1, ∵2014=4× 503+2, ∴T2014=﹣6. 故选:D. 点评: 本题考查数列递推式,考查学生分析解决问题的能力,确定数列{an}是周期为 4 的周期数列,且 a1a2a3a4=1 是关键. 7. (2014?河西区一模)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 an+2=2an+1﹣an,a6=4﹣a4,则 S9=( A.9 B.12 C.14 D.18 )

考点: 数列递推式. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 直接由数列递推式得到数列为等差数列,再由等差数列的性质结合 a6=4﹣a4 得到 a5 的值,然后直接代入前 n 项和得答案. 解答: 解:∵an+2=2an+1﹣an, ∴2an+1=an+an+2 ∴数列{an}是等差数列. 又 a6=4﹣a4, ∴a4+a6=4, 由等差数列的性质知:2a5=a4+a6=4, 得 a5=2. ∴S9=9a5=9× 2=18. 故选:D. 点评: 本题考查数列递推式,考查了等差关系得确定,考查了等差数列的性质及前 n 项和,是中档题.
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8. (2013?南开区一模)已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S7=28,S11=66,则 S9 的值为( A.47 B.45 C.38 D.54 考点: 等差数列的前 n 项和.



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3

专题: 等差数列与等比数列. 分析: 设公差为 d,利用等差数列前 n 项和列关于 a1、d 的方程组,解出 a1,d,再用前 n 项和公式可得 S9 的值. 解答: 解:设公差为 d,

由 S7=28,S11=66 得,

,即

,解得



所以 S9=9× 1

=45.

故选 B. 点评: 本题考查等差数列的前 n 项和公式,考查方程思想,考查学生的运算能力,属基础题. 9. (2013?天津一模)在等比数列{an}中, 9 A.± B.9 3 C .± ,则 a3=( D .3 )

考点: 等比数列的前 n 项和;等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 设出公比,利用条件,可得 结论. 解答: 解:设等比数列{an}的公比为 q,则 ∵

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=27,

=3,两式相除,可得





=27,

=3

两式相除,可得 ∴a3=± 3 故选 C. 点评: 本题考查等比数列的定义,考查学生的计算能力,属于基础题. 10. (2012?天津)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 s 的值为( )

4

A.8 考点: 专题: 分析: 解答:

B.18

C.26

D.80

数列的求和;循环结构. 计算题. 根据框图可求得 S1=2,S2=8,S3=26,执行完后 n 已为 4,故可得答案. 1 0 解:由程序框图可知,当 n=1,S=0 时,S1=0+3 ﹣3 =2; 同理可求 n=2,S1=2 时,S2=8; n=3,S2=8 时,S3=26;执行完后 n 已为 4, 故输出的结果为 26. 故选 C.
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11. (2012?天津模拟)在等差数列{an}中,4(a3+a4+a5)+3(a6+a8+a14+a16)=36,那么该数列的前 14 项和为( A.20 B.21 C.42 D.84



考点: 等差数列的性质;等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 由数列为等差数列, 利用等差数列的性质得到 a3+a5=2a4, a8+a14=a6+a16=2a11, 化简已知的等式, 可得出 a4+a11 的值,再根据等差数列的性质得到 a1+a14=a4+a11,由 a4+a11 的值得到 a1+a14 的值,然后利用等差数列的前 n 项和公式表示出该数列的前 14 项之和,将 a1+a14 的值代入即可求出值. 解答: 解:∵数列{an}为等差数列, ∴a3+a5=2a4,a8+a14=a6+a16=2a11, 又 4(a3+a4+a5)+3(a6+a8+a14+a16)=36, ∴12a4+12a11=36,即 a4+a11=3, ∵a1+a14=a4+a11=3,
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则该数列的前 14 项和 S14= 故选 B 二.填空题(共 7 小题)

=21.

12. (2014?天津)设{an}是首项为 a1,公差为﹣1 的等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 S1,S2,S4 成等比数列,则 a1 的值为 ﹣ .

考点: 等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析:
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由条件求得,Sn= 解答:

,再根据 S1,S2,S4 成等比数列,可得

=S1?S4,由此求得 a1 的值.

解:由题意可得,an=a1+(n﹣1) (﹣1)=a1+1﹣n,Sn= 再根据若 S1,S2,S4 成等比数列,可得 解得 a1=﹣ , 故答案为:﹣ . =S1?S4,即

= =a1?(4a1﹣6) ,



5

13. (2014?红桥区二模)某公司推出了下表所示的 QQ 在线等级制度,设等级为 n 级需要的天数为 an(n∈N ) , 等级 等级图标 需要天数 等级 等级图标 需要天数 1 5 7 77 2 12 8 96 3 21 12 192 4 32 16 320 5 45 32 1152 6 60 48 2496 则等级为 50 级需要的天数 a50= 2700 .

*

考点: 数列的概念及简单表示法;归纳推理. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由表格可知:an=5+7+…+(2n+3) ,利用等差数列的前 n 项和公式即可得出. 解答: 解:由表格可知:an=5+7+…+(2n+3)= =n(n+4) ,
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∴a50=50× 54=2700. 故答案为:2700. 14. (2014?郑州模拟)数列{an}为等比数列,a2+a3=1,a3+a4=﹣2,则 a5+a6+a7= 考点: 专题: 分析: 解答: 等比数列的通项公式;等比数列的前 n 项和. 等差数列与等比数列. 24 .

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由题意,联立两方程 a2+a3=1,a3+a4=﹣2 解出等比数列的首项与公比,即可求出 a5+a6+a7 的值. 解:由 a2+a3=1,a3+a4=﹣2,两式作商得 q=﹣2. 2 代入 a2+a3=1,得 a1(q+q )=1. 解得 a1= . 所以 a5+a6+a7= (2 ﹣2 +2 )=24. 故答案为:24.
4 5 6

15. (2014?厦门一模)已知数列{an}中,an+1=2an,a3=8,则数列{log2an}的前 n 项和等于



考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知条件推导出{a }是首项和公比都是 2 的等比数列,从而得到 n
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,log2an=n,由此能求出数列

{log2an}的前 n 项和. 解答: 解:∵数列{an}中,an+1=2an, ∴ =2,∴{an}是公比为 2 的等比数列, ,解得 a1=2,

∵a3=8,∴ ∴

,∴log2an=n,

∴数列{log2an}的前 n 项和:

6

Sn=1+2+3+…+n= 故答案为: .



16. (2014?河西区一模)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,并满足 an+2=2an+1﹣an,a6=4﹣a4,则 S9= 18 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知条件推导出数列{an}是等差数列,由此利用等差数列性质能求出结果. 解答: 解:∵数列{an}的前 n 项和为 Sn,并满足 an+2=2an+1﹣an, ∴数列{an}是等差数列, ∵a6=4﹣a4,∴a6+a4=4, ∴ 故答案为:18. 17. (2014?天津模拟)记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a2+a4=6,S4=10.则 a10= 考点: 专题: 分析: 解答: 10 . = .



等差数列的性质. 等差数列与等比数列. 由已知条件,利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式,建立方程组,求出首项和公差,由此能求出结果.
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解:等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, ∵a2+a4=6,S4=10,设公差为 d, ∴ ,

解得 a1=1,d=1, ∴a10=1+9=10. 故答案为:10. 18. (2014?北京模拟)设 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,S3,S9,S6 成等差数列,且 a2+a5=2am,则 m= 8 . 考点: 等差数列的性质;等比数列的通项公式. 专题: 计算题. 分析: 由 S3,S9,S6 成等差数列,利用等差数列的性质列出关系式,利用等比数列的前 n 项和公式化简,得到关 于 q 的关系式,再利用等比数列的性质化简 a2+a5=2am 的左右两边,将得到的关于 q 的关系式整理后代入, 即可得出 m 的值. 解答: 解:∵Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,且 S3,S9,S6 成等差数列,
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∴2S9=S3+S6,即
9 3 6

=
3 6

+



整理得:2(1﹣q )=1﹣q +1﹣q ,即 1+q =2q , 4 3 7 m﹣1 又 a2+a5=a1q+a1q =a1q(1+q )=2a1q ,2am=2a1q ,且 a2+a5=2am, 7 m﹣1 ∴2a1q =2a1q ,即 m﹣1=7, 则 m=8. 故答案为:8

解答题 7

19.已知等差数列{an}的前 n 项和为 sn=pm ﹣2n+q(p,q∈R) ,n∈N (I)求 q 的值;

2

*

(Ⅱ)若 a3=8,数列{bn}}满足 an=4log2bn,求数列{bn}的前 n 项和. 分析: (I)根据前 n 项和与通项间的关系 ,得到 an=2pn﹣p﹣2,再根据{an}是等差数

列,a1 满足 an,列出方程 p﹣2+q=2p﹣p﹣2,即可求解 n﹣1 (Ⅱ)由(I)知 an=4n﹣4,再根据 an=4log2bn,得 bn=2 ,故{bn}是以 1 为首项,2 为公比的等比数列, 即可求解 解答: 解: (I)当 n=1 时,a1=s1=p﹣2+q 2 2 当 n≥2 时,an=sn﹣sn﹣1=pn ﹣2n+q﹣p(n﹣1) +2(n﹣1)﹣q=2pn﹣p﹣2 由{an}是等差数列,得 p﹣2+q=2p﹣p﹣2,解得 q=0. (Ⅱ)由 a3=8,a3=6p﹣p﹣2,于是 6p﹣p﹣2=8,解得 p=2 所以 an=4n﹣4 n﹣1 又 an=4log2bn,得 bn=2 ,故{bn}是以 1 为首项,2 为公比的等比数列. 所以数列{bn}的前 n 项和 Tn= .

点评: 本题考查了数列的前 n 项和与通项间的关系及等比数列的求和问题,在解题中需注意前 n 项和与通项间的 关系是个分段函数的关系,但最后要验证 n=1 是否满足 n≥2 时的情况,属于基础题. 20.已知等比数列{an}中,a1= ,公比 q= .

(Ⅰ)Sn 为{an}的前 n 项和,证明:Sn= (Ⅱ)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{bn}的通项公式. 分析: (I)根据数列{an}是等比数列,a1= ,公比 q= ,求出通项公式 an 和前 n 项和 Sn,然后经过运算即可证明. (II)根据数列{an}的通项公式和对数函数运算性质求出数列{bn}的通项公式. 解答: 证明: (I)∵数列{an}为等比数列,a1= ,q=

∴an= ×

=



Sn=

又∵

=

=Sn

∴Sn= (II)∵an= ∴bn=log3a1+log3a2+…+log3an=﹣log33+(﹣2log33)+…﹣nlog33 8

=﹣(1+2+…+n) =﹣ ∴数列{bn}的通项公式为:bn=﹣ 点评: 本题主要考查等比数列的通项公式、前 n 项和以及对数函数的运算性质.

9


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