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山东省日照一中2013届高三第三次质量检测数学理试题


绝密★启用前 山东省日照市第一中学 2012-2013 学年度高三第三次质量检测

数 学 试 题
注意事项: 1. 本试题共分三大题,全卷共 150 分。考试时间为 120 分钟。 2.第 I 卷必须使用 2B 铅笔填涂答题卡相应题目的答案标号,修改时,要用橡皮擦干净。 3. 第 II 卷必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔书写在答题纸的指定位置, 在草稿纸和本卷 上答题无效。作图时,可用 2B 铅笔,要求字体工整、笔迹清晰。

第 I 卷(共 60 分)
一、选择题 (本大题共 12 个小题;每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的 4 个选项中, 只 有一项符合题目要求.) 1.命题“若 ab =0,则 a =0 或 b =0”的逆否命题是 A.若 a =0 或 b =0,则 ab =0 C.若 a ≠ 0 且 b ≠ 0 ,则 ab ≠ 0 2. 已知 tan α = 2 ,则 B.若 ab ≠ 0 ,则 a ≠ 0 或 b ≠ 0 D.若 a ≠ 0 或 b ≠ 0 ,则 ab ≠ 0 ( )

cos(π + α ) 的值为 π cos( + α ) 2
B. ? 2 C.

A. ?

1 2

1 2

D. 2

3. 使“ lg m < 1 ”成立的一个充分不必要条件是 A. m ∈ {1, 2} B. m < 1 C. 0 < m < 10 D. m ∈ (0,+∞)

4. 已知 a, b, c 满足 c < b < a 且 ac < 0 ,则下列选项中不一定能成立的是 ...

A.

c b < a a

B.

b?a >0 c

C.

b2 a2 > c c

D.

a?c <0 ac

x 5. 已知函数 f ( x) = 2 ? 2 ,则函数 y = f ( x ) 的图象是

6. 将函数 y = sin 2 x 的图象向左平移 式是 A. y = cos 2 x

π 个单位,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析 4
2

B. y = 2sin x

C. y = 1 + sin( 2 x +

π ) 4

D. y = 2 cos x

2

7. 已 知 函 数 f ( x) = 2 sin(ω x + ? )(ω > 0,0 < ? < π ) 的 图 象 如 图 所 示,则 ω 等于 A.

1 3

B.
3

2 3
2

C. 1

D. 2

8. 在曲线 f ( x) = x + 3 x + 6 x ? 10 的切线中,斜率最小的切线方程 为 A. x ? 3 y + 6 = 0 B. x + 3 y ? 11 = 0
2

C. 3 x + y + 11 = 0

D. 3 x ? y ? 11 = 0 ( )

9. 若 f ( x) = ? x + a ln( x + 2) 在 (?2,+∞) 上是减函数,则 a 的取值范围是 A. [ ?2,+∞) B. (?2,+∞) C. (?∞,?2) D. (?∞,?2]

10. 定义运算:

a1 a3

a2 3 = a1a4 ? a2 a3 ,将函数 f ( x) = a4 1

? sin x 向左平移 m 个单位 cos x
( )

(m > 0) ,所得图象对应的函数为偶函数,则 m 的最小值是

A.

π 6

B.

π 3

C.

5π 6

D.

2π 3

R 11. f ( x)是定义在R上的偶函数, 当x < 0时, f ( x) + x ? f ′( x) < 0, 且f ( ?4) = 0 , 则不等式

xf ( x) > 0 的解集为 (
A. ( ?4,0) ∪ ( 4,+∞)

) C. (?∞,?4) ∪ (4,+∞ ) D. (?∞,?4) ∪ (0,4)

B. (?4,0) ∪ (0,4)

12. 设 f ( x ) 与 g ( x ) 是定义在同一区间 [a, b] 上的两个函数,若函数 y = f ( x ) ? g ( x ) 在

x ∈ [a, b] 上有两个不同的零点, 则称 f ( x ) 和 g ( x ) 在 [a, b] 上是“关联函数”, 区间 [a, b]
称为“关联区间”.若 f ( x) = x ? 3 x + 4 与 g ( x) = 2 x + m 在 [0,3] 上是“关联函数”, 则 m 的取值范围为 A. ( ?∞, ?2] B. [ ?1, 0] C. (?
2

9 , ?2] 4

D. ( ?

9 , +∞) 4

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,请将答案填在答题纸上)

13.



π 2

?π 2

(sin x + cos x)dx =



14.若函数 f ( x ) = sin ω x + 3cos ω x ( x ∈ R, ω > 0) 满足 f (α ) = ?2, f ( β ) = 0, 且 α ? β 的最

π ,则函数 f ( x) 的单调增区间为 . 2 ?2 x ? y + 2 ≥ 0 x y ? 15.设实数 x, y 满足约束条件 ?8 x ? y ? 4 ≤ 0 ,若目标函数 z = + (a > 0, b > 0) 的最大值 a b ?x ≥ 0 , y ≥ 0 ?
小值为 为 9,则 d= 4a + b 的最小值为 16. 已知下列各式: .

1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 > , 1 + + > 1, 1 + + + + ? + > , 1 + + + + ? + > 2, ? 2 2 3 2 3 4 7 2 2 3 4 15
则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (本小题满分 12 分) 17. 已知不等式

2+ x 1 ≥ 1 的解集为 A,关于 x 的不等式 ( )2 x ≤ 2? a ? x (a ∈ R ) 的解集为 B, 1? x 2

全集 U = R ,求使 ? A ∩ B = B 的实数 a 的取值范围. U

(本小题满分 12 分) 18. 已知函数 f ( x) = cos(2 x ?

π ) + sin 2 x ? cos 2 x . 3

(I)求函数 f ( x) 的单调减区间; (II)若 f (α ) =

3 , 2α 是第一象限角,求 sin 2α 的值. 5

(本小题满分 12 分) 19. 某工艺品加工厂准备生产具有收藏价值的奥运会标志 ——“中国印·舞动的北京”和奥运 会吉祥物——“福娃”.该厂所用的主要原料为 A、B 两种贵金属,已知生产一套奥运会标志

需用原料 A 和原料 B 的量分别为 4 盒和 3 盒,生产一套奥运会吉祥物需用原料 A 和原料 B 的量分别为 5 盒和 10 盒.若奥运会标志每套可获利 700 元,奥运会吉祥物每套可获利 1200 元,该厂月初一次性购进原料 A、B 的量分别为 200 盒和 300 盒.问该厂生产奥运会标志和 奥运会吉祥物各多少套才能使该厂月利润最大?最大利润为多少?

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = ln(e + a ) ( a 为常数)是实数集 R 上的奇函数,函数
x

g ( x ) = λ f ( x ) + sin x 是区间[-1,1]上的减函数 http://wx.jtyjy.com/
(1)求 a 的值. (2)若 g ( x ) ≤ t ? λ t + 1在x ∈ [?1,1] 上恒成立,求 t 的取值范围
2

21. (本小题满分 12 分) 已知 f1 ( x ) = x + 1, 且 f n ( x ) = f1[ f n ?1 ( x )],( n ≥ 2, n ∈ N + ) (1)求 f 2 ( x ), f 3 ( x ) 的表达式,猜想 f n ( x ) 的表达式,并用数学归纳法证明; (2) 若关于 x 的函数 g ( x ) = x 2 + f1 ( x ) + f 2 ( x ) + ? + f n ( x ),( n ∈ N * ) 在区间 ( ?∞, ?1] 上 的最小值为 12,求 n。

22. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) = xe ( k ≠ 0) , (1)求曲线 y = f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (2)讨论函数 f ( x) 的单调性; (3)设 g ( x ) = x 2 ? 2bx + 4. ,当 k = 1 时,若对任意 x1 ∈ R ,存在 x2 ∈ [1, 2] ,使
kx

f ( x1 ) ≥ g ( x2 ) ,求实数 b 取值范围.

2012-2013 学年度高三年级第三次质量检测

数 学 试 题 答 案
一、选择题 CCACB DBDDA DC 二、填空题

5π π 4 , 2 kπ + ]( k ∈ Z ) ;15、 ; 6 6 3 1 1 1 n 16. 1 + + + ? + n > ( n ∈ N* ) . 2 3 2 ?1 2
13. 2 ; 14. [2kπ ? 三、解答题 17. 解:由

2+ x 1 1 …………………………….3 分 ≥ 1 解得 ? ≤ x < 1 , A = [? ,1) . …………………………….3 1? x 2 2 1 所以 ? A = ( ?∞, ? ) ∪ [1, +∞) . ………………………………….5 分 ………………………………….5 U 2 1 2x 1 2x 1 a+x ?a? x 由( ) ≥ 2 得 ( ) ≥ ( ) ,即 2 x ≤ a + x ,解得 x ≤ a . 2 2 2
所以 B = (?∞, a ] . ……………………………………………………………9 分 ……………………………………………………………9

因为 ? A ∩ B = B ,所以 B ? ? A ,故有 a< ? U U 即 a 的取值范围是 (?∞, ? ) . 18. 解: I)因为 f ( x) = cos(2 x ? (I

1 . 2

1 2

…………………………………………..12 分 …………………………………………..12

π ) + sin 2 x ? cos 2 x 3

=

1 3 3 1 π cos 2 x + sin 2 x ? cos 2 x = sin 2 x ? cos 2 x = sin(2 x ? ) . .............3 分 2 2 2 2 6

π π 3π ≤2 x ? ≤2kπ + (k ∈ Z ) , 2 6 2 π 5π . 即 kπ + ≤x≤kπ + (k ∈ Z ) 时,函数 f ( x) 递减. 3 6 π 5π 故,所求函数 f ( x) 的减区间为 [ kπ + , kπ + ]( k ∈ Z ) . ...........................6 分 3 6 π 3 II (II II)因为 2α 是第一象限角,且 sin(2α ? ) = , 6 5 π π π 所以 2kπ ? < 2α ? < 2kπ + ( k ∈ Z ) . 6 6 3 π 3 π 4 由 f (α ) = sin(2α ? ) = 得 cos(2α ? ) = . ………………………9 分 6 5 6 5
所以,当 2kπ +

所以 sin 2α = sin[(2α ?

π π 3 3+4 )+ ]= 6 6 10 .

…………………………12 分

19. 解:设该厂每月生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为 x,y 套,月利润为 z 元, 解:设该厂每月生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为

? 4 x + 5 y ≤ 200 ?3 x + 10 y ≤ 300 ? 由题意得 ? ………2 分 x∈ N ? ? y∈ N ?

目标函数为 z=700x+1200y. ………4 分 作出二元一次不等式组所表示的平面区域, 即可行域,如图: ………8 分

7 z 目标函数可变形为 y=- x+ , 12 1200 4 7 3 - ∵- <- <- , 5 12 10 -7 z z 当 ∴当 y= x+ 通过图中的点 A 时, 最大,z 最大. 1200 1200 12 4x+5y=200, 200, 联立 3x+10y=300, 300, 解得点 A(20,24). 所以 zmax=700 20+1200 24=42800 元. (20,24). 700×20 1200×24 20+ 24=

答:该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为 20、24 套时月利润最大, 20、 最大利润为 42800 元. 20. 解: 1) f ( x) = ln(e x + a ) 是奇函数, (1 则 ln(e ? x + a ) = ? ln(e x + a ) 恒成立 …………1 分 ………12 分

∴ (e ? x + a)(e x + a ) = 1. 1 + ae ? x + ae x + a 2 = 1,∴ a(e x + e ? x + a ) = 0,∴ a = 0.
(另:用特值法 f (0) = 0 求得 a = 0 ,未反代回验证,扣 1 分) 2 [ 1 1] (2)又∵ g ( x) 在[-1,1] 1]上单调递减, …………3 分

? g ' ( x ) = λ ? cos x ≤ 0恒成立 ? λ ≤ ?1 ? ∴? , g ( x )max = g( ?1) = ? λ ? sin1 ? ?

∴ 只需 ? λ ? sin1 ≤ t 2 ? λ t + 1, ∴ (1 ? t )λ + t 2 + sin1 + 1 ≥ 0(其中λ ≤ ?1)恒成立.
令 h(λ ) = (1 ? t )λ + t + sin1 + 1(λ ≤ ?1), 则?
2

…………6 分

?1 ? t ≤ 0
2 ?h(?1) = t ? 1 + t + sin1 + 1 ≥ 0,

…………9 分

?t ≥ 1 ∴? 2 ?t + t + sin1 ≥ 0 而t 2 + t + sin1 ≥ 0恒成立,
∴ t ≥ 1 http://wx.jtyjy.com/
21. ………3 分 …………12 分

………6 分

………8 分

………10 分

………12 分

/ kx 22. 解: (1) f ( x) = (1 + kx)e ,

因为 f (0) = 0 ,且 f (0) = 1 , 所以曲线 y = f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为: y = x
/ kx 2 (2)令 f ( x) = (1 + kx)e > 0 ,所以 1 + kx > 0 ,

/

------------- 分 -------------4

1 , k 1 1 此时 f ( x) 在 (?∞,? ) 上单调递减,在 (? ,+∞) 上单调递增; k k 1 当 k < 0 时, x < ? , k 1 1 . 此时 f ( x) 在 (?∞,? ) 上单调递增,在 (? ,+∞) 上单调递减. k k
当 k > 0 时, x > ?

---------- 分 ----------8

3 (3)当 k = 1 时, f ( x) 在 (?∞,?1) 上单调递减,在 (?1,+∞) 上单调递增, 所以对任意 x1 ∈ R ,有 f ( x1 ) ≥ f ( ?1) = ?

1 , e 1 ≥ g ( x 2 ) , x2 ∈ [1, 2] , e

又已知存在 x2 ∈ [1, 2] ,使 f ( x1 ) ≥ g ( x2 ) ,所以 ?
2

1 4 + e ?1 即存在 x ∈ [1, 2] ,使 g ( x) = x ? 2bx + 4 ≤ ? ,即 2b ≥ x + , e x
即因为当 x ∈ [1, 2] 所以 2b ≥ 4 +



x+

4 + e ?1 1 1 ∈ [4 + ,5 + ] , x 2e e
---------- 分 ----------14

1 1 ,即实数 b 取值范围是 b ≥ 2 + . 2e 4e


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