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高一数学 三角函数化简和求值超难方法汇总

第九讲 1 基本知识与基本方法 1.1 基本知识介绍 三角函数式的恒等变形 ①两角和与差的基本关系式 cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; tan( ? ? ?) ? tan? ? tan ? . 1 ? tan? tan ? ②和差化积与积化和差公式 ), 2 2 ? ?? ? ?? sin ? ? sin ? ? 2 cos( ) sin( ) 2 2 ? ?? ? ?? cos ? ? cos ? ? 2 cos( ) cos( ) 2 2 ? ?? ? ?? cos ? ? cos ? ? ?2 sin( ) sin( ) 2 2 1 sin ? cos ? ? ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )? 2 1 cos ? sin ? ? ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )? 2 1 cos ? cos ? ? ?cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? )? 2 1 sin ? sin ? ? ? ?cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? )? 2 sin ? ? sin ? ? 2 sin( ) cos( ? ?? ? ?? ③倍角公式 sin 2? ? 2 sin ? cos ? cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? tan 2? ? 2 tan ? . 1 ? tan 2 ? ④半角公式 1 (1 ? cos? ) ?? ? , sin? ? ? ? 2 ?2? (1 ? c o ? )s ?? ? , c o ? s? ? ? 2 ?2? sin ? (1 ? cos? ) ? . (1 ? cos? ) sin ? (1 ? cos? ) ?? ? tan? ? ? ? (1 ? cos? ) ?2? = ⑤辅助角公式 如果 a, b 是实数且 a 2 ? b 2 ? 0 ,则 a sin ? ? b cos? ? a 2 ? b 2 sin(? ? ? ) ,其中 ? sin ? ? b a ?b 2 2 满足 cos? ? a a ? b2 2 . 1.2 基本方法介绍 ①变角思想 在三角化简、求值中,往往出现较多相异的角,可根据 角与角之间的关系,通过配凑,整体把握公式,消去差异, 达到统一角的目的, 使问题求解.如已知 ?、? 均为锐角, 并且 cos ? ? 4 1 , tan( ? ? ? ) ? ? , 求 cos? 5 3 的值 . 观察到目标角与已知角不 同,应寻找它们的关系,将目标角转化为已知角,即 3 3 10 ? ? ? ? (? ? ? ) ,所以求出 sin ? ? , cos(? ? ? ) ? 5 10 sin(? ? ? ) ? ? 10 10 , 则 cos ? ? cos?? ? (? ? ? )? ? cos? cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? ) ? 9 10 50 . ②变名思想 当条件与所求的三角函数名不一样时 ,可以利用三角函 2 数关系实现弦切、弦割互化 ,还可通过诱导公式实现正、余 函数名的互化 , 使问题得到解决 . 如 sin 500 (1 ? 先将正切化成弦,即 sin 500 (1 ? ? sin 500 3 tan100 ) 的值 , 可 3 sin 100 )? cos100 3 tan100 ) ? sin 500 (1 ? 0 cos100 ? 3 sin 100 sin 1000 0 2 cos50 ? sin 50 ? ? 1. cos100 cos100 sin 800 ③配对偶式法 对偶式是指与原数学式子结构对称,或结构相似的数学 式.根据原数学式子结构,构造一个对偶式,共同参与运算或 变换,使问题得以巧妙的解决,这种解题方法叫做对偶式法. 在化简求值或证明一些三角问题时,如果能灵活的运用对偶 的数学思想,合理的构造出对偶式,并对原式和对偶式进行 和、差或积的计算,则可以使问题得到巧妙的解决. 比如说 计算 cos360 cos720 的值,可以设 x ? cos360 cos720 , y ? sin 360 sin 720 , 则将它们 两边相乘, xy ? 1 1 1 1 sin 72 0 sin 144 0 ? sin 72 0 sin 36 0 ? y , x ? cos 36 0 cos 72 0 ? . 4 4 4 4 ④消元思想 对于三角变换的多元问题 , 需要根据题意尽量将多元 向单元 ( 或二元 ) 转化 , 防止多元变量对我们解题的干扰 . 如 锐角 ? , ? , ? 满足 sin? ? sin? ? sin? , co s ? ? co s? ? co s? ,求 ? ? ? 的值 . 考虑将 ? 角消去,由条件, sin ? ? sin ? ? sin ? , cos? ? cos? ? cos? , 再将两式两边平方再相加,得 2 ? 2 cos(? ? ? ) ? 1, cos( ? ? ? ) ? 1 . 2 3 由条件 ? ? ? ? (? ? ,0) ,得 ? ? ? 2 ?? ? 3 . ⑤ 1 的代换 三 角 函 数 中 常 遇 到 sin ? ? csc? ? cos? ? sec? ? 1, tan? ? cot? ? 1 1 的 变 形 , 主 要 有 1 ? sin 900 ? tan450 ,1 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? sec2 ? ? tan2 ? ? csc2 ? ? cot2 ? .如已 知 1 1 tan ? ? ? , 求 3 1 ? sin ? cos ?

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