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高一数学 三角函数化简和求值超难方法汇总


第九讲 1 基本知识与基本方法 1.1 基本知识介绍 三角函数式的恒等变形 ①两角和与差的基本关系式 cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; tan( ? ? ?) ? tan? ? tan ? . 1 ? tan? tan ? ②和差化积与积化和差公式 ), 2 2 ? ?? ? ?? sin ? ? sin ? ? 2 cos( ) sin( ) 2 2 ? ?? ? ?? cos ? ? cos ? ? 2 cos( ) cos( ) 2 2 ? ?? ? ?? cos ? ? cos ? ? ?2 sin( ) sin( ) 2 2 1 sin ? cos ? ? ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )? 2 1 cos ? sin ? ? ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )? 2 1 cos ? cos ? ? ?cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? )? 2 1 sin ? sin ? ? ? ?cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? )? 2 sin ? ? sin ? ? 2 sin( ) cos( ? ?? ? ?? ③倍角公式 sin 2? ? 2 sin ? cos ? cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? tan 2? ? 2 tan ? . 1 ? tan 2 ? ④半角公式 1 (1 ? cos? ) ?? ? , sin? ? ? ? 2 ?2? (1 ? c o ? )s ?? ? , c o ? s? ? ? 2 ?2? sin ? (1 ? cos? ) ? . (1 ? cos? ) sin ? (1 ? cos? ) ?? ? tan? ? ? ? (1 ? cos? ) ?2? = ⑤辅助角公式 如果 a, b 是实数且 a 2 ? b 2 ? 0 ,则 a sin ? ? b cos? ? a 2 ? b 2 sin(? ? ? ) ,其中 ? sin ? ? b a ?b 2 2 满足 cos? ? a a ? b2 2 . 1.2 基本方法介绍 ①变角思想 在三角化简、求值中,往往出现较多相异的角,可根据 角与角之间的关系,通过配凑,整体把握公式,消去差异, 达到统一角的目的, 使问题求解.如已知 ?、? 均为锐角, 并且 cos ? ? 4 1 , tan( ? ? ? ) ? ? , 求 cos? 5 3 的值 . 观察到目标角与已知角不 同,应寻找它们的关系,将目标角转化为已知角,即 3 3 10 ? ? ? ? (? ? ? ) ,所以求出 sin ? ? , cos(? ? ? ) ? 5 10 sin(? ? ? ) ? ? 10 10 , 则 cos ? ? cos?? ? (? ? ? )? ? cos? cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? ) ? 9 10 50 . ②变名思想 当条件与所求的三角函数名不一样时 ,可以利用三角函 2 数关系实现弦切、弦割互化 ,还可通过诱导公式实现正、余 函数名的互化 , 使问题得到解决 . 如 sin 500 (1 ? 先将正切化成弦,即 sin 500 (1 ? ? sin 500 3 tan100 )

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