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内蒙古包头市2012届高三数学第三次模拟考试 理(2012包头三模)

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内蒙古包头市 2012 届高三第三次模拟考试 理 科 数 学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22~24 题为选 考题,其它题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。考试结 束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的 姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号; 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题 号涂黑。

第I卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. 若复数 A.-2
a+ 3 i 1+ 2 i

(a∈R,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为 B. 4 C. -6 D. 6

2.某篮球运动员在一个赛季的 40 场比赛中的得分的 茎叶图如右图所示,则中位数与众数分别为 A.23,21 C.23,25 B.23,23 D.25,25

3.已知 m , n 为直线, ? , ? 为平面,给出下列命题: ①?
?m ? ? ?m ? n ? n / /?

②?

?m ? ? ?n ? ?

? m / /n

?m ? ? ③? ? ? / /? ?m ? ?

?m ? ? ? ④?n ? ? ? m / /n ?? / / ? ?

-1-

其中的正确命题序号是 A.③④ B.②③ C.①② D.①②③④

4. 等比数列{an}中,a3=6,前三项和 S 3 ? A.1
1 2

?

3 0

4 x d x ,则公比 q 的值为

B. ?

1 2

C.1 或 ?

D. ? 1 或 ?

1 2

5. 右面的程序框图输出的结果为 A.62 B. 126
x a
2 2

C. 254
y b
2 2

D. 510

6.已知双曲线

?

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 的左,
????? ????
????

右焦点是 F1,F2,设 P 是双曲线右支上一点, F1 F 2 在 F1 P 上的投影的大小恰好为 | F1 P | 且 它们的夹角为
2 ?1 2

?
6

,则双曲线的离心率 e 为
3 ?1 2

A.

B.
y ? s( i n

C. 3 ? 1
?
4

D. 2 ? 1 的表达式是 D. cos( x ?
?
4

7.若函数 y

? f ( x )的图象和

x ?

?
4

)的图象关于点

P(

, 0 ) 对称 , 则 f ( x )

A. cos( x ?

?
4

)

B. ? cos( x ?

?
4

)

C. ? cos( x ?

?
4

)

)

8. 以坐标轴为对称轴,原点为顶点,且过圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 6 y ? 9 ? 0 圆心的抛物线方程是 A. y ? 3 x 或 y ? ? 3 x
2 2

B. y ? 3 x

2

C. y ? ? 9 x 或 y ? 3 x
2

2

D. y ? ? 3 x 或 y ? 9 x
2 2

9 . 已 知 函 数 f ( x ) ? sin ? x ? cos ? x , 如 果 存 在 实 数 x 1 , 使 得 对 任 意 的 实 数 x , 都 有
f ( x1 ) ? f ( x ) ? f ( x1 ? 2 0 1 1) 成立,则 ? 的最小值为

A.

1 2011

B.

?
2011

C.

1 4022

D.

?
4022

10. ? A B C 中, ? A ? 6 0 ? , ? A 的平分线 AD 交边 BC 于 D,已知 AB=3,且
???? 1 ???? ??? ? A D ? A C ? ? A B ( ? ? R ) ,则 AD 的长为 3

A.1

B. 3

C. 2 3

D.3

-2-

11.设函数 f 1 ( x ) ? lo g 4 x ? ( ) x 、 f 2 ( x ) ? lo g 1 x ? ( ) x 的零点分别为 x1、 x 2 ,则
4
4

1

1

4

A. 0 ? x1 x 2 ? 1

B. 1 ? x1 x 2 ? 2

C. x1 x 2 ? 1

D. x1 x 2 ? 2

12. 已知有穷数列 A: a 1 , a 2 ,? ? ?, a n ( n ? 2 , n ? N ).定义如下操作过程 T:从 A 中任取两项
a i , a j ,将

ai ? a 1 ? aia

j

的值添在 A 的最后,然后删除 a i , a j ,这样得到一系列 n ? 1 项的新数列

j

A1 (约定:一个数也视作数列); A1 的所有可能结果重复操作过程 T 又得到一系列 n ? 2 项 对 的新数列 A2,如此经过 k 次操作后得到的新数列记作 Ak . 设 A:? 结果是 A.
3 4

5 3 1 1 , , , ,则 A3 的可能 7 4 2 3

B.

1 2

C.

1 3

D. 0

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做 答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 公差为 d ,各项均为正整数的等差数列中,若 a 1 ? 1 , a n ? 51 ,则 n ? d 的最小值等 于 .

14. 一盒中装有分别标记着 1,2,3,4 的 4 个小球, 每次从袋中取出一只球,设每只小球被取出的可能 性相同.若每次取出的球不放回盒中,现连续取三 ... 次球,求恰好第三次取出的球的标号为最大数字的 球的概率是 .

15.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,其顶点都在一个球面上,则该球的表 面积为 .

5 2 3 4 5 16. 若 (2 x ? 3) ? a 0 ? a 1 x ? a 2 x ? a 3 x ? a 4 x ? a 5 x , 则 a 1 ? 2 a 2 ? 3 a 3 ? 4 a 4 ? 5 a 5等 于

_________. 三、解答题:解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知:函数 f ( x ) ? p sin ? x ? cos ? x ? cos ? x ( p ? 0 , ? ? 0 ) 的最大值为
2

1 2

,最小正周期

-3-



?
2



(Ⅰ)求: p , ? 的值, f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)若 ? ABC 的三条边为 a , b , c ,满足 a ? bc , a 边所对的角为 A .求:角 A 的
2

取值范围及函数 f ( A ) 的值域.

18. (本小题满分 12 分) 如图,在梯形 A B C D 中, A B / / C D ,
A D ? D C ? C B ? 1, ? A B C ? 6 0 ,四边形 A C F E
?

为矩形,平面 A C F E ? 平面 A B C D , C F ? 1 . (Ⅰ)求证: B C ? 平面 A C F E ; (Ⅱ)点 M 在线段
?

EF

上运动,设平面 M AB 与平面 F C B 所成二面角的平面角为

? (? ? 9 0 ) ,试求 c o s ? 的取值范围.

19.(本小题满分 12 分) 某产品按行业生产标准分成 8 个等级, 等级系数 ξ 依次为 1, 2, … , 8 , 其中 ξ ? 5 为标准 A ,
ξ ? 3 为标准 B ,产品的等级系数越大表明产品的质量越好. 已知某厂执行标准 B 生产该产

品,且该厂的产品都符合相应的执行标准.从该厂生产的产品中随机抽取 3 0 件,相应的等级 系数组成一个样本,数据如下: 3 6 8 5 3 3 3 4 4 3 7 3 8 5 4 5 3 4 5 4 7 6 8 5 3 5 6 4 3 7

该行业规定产品的等级系数 ξ ? 7 的为一等品,等级系数 5 ? ξ ? 7 的为二等品,等级系数
3 ? ξ ? 5 的为三等品.

(1)试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率; (2)从样本的一等品中随机抽取 2 件,求所抽得 2 件产品等级系数都是 8 的概率. 20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? a x 2 ? 2 x ? ln x . (Ⅰ)若 f ( x ) 无极值点,但其导函数 f ? ( x ) 有零点,求 a 的值;

-4-

(Ⅱ)若 f ( x ) 有两个极值点,求 a 的取值范围,并证明 f ( x ) 的极小值小于 ? 21.(本小题满分 12 分)

3 2



已知点 P 是直角坐标平面内的动点, P 到直线 l1: x ? ? 2 的距离为 d 1 , 点 到点 F ( ? 1,) 的 0 距离为 d 2 ,且
d2 d1 ? 2 2



(Ⅰ)求动点 P 所在曲线 C 的方程; (Ⅱ)直线 l 过点 F 且与曲线 C 交于不同两点 A、B(点 A 或 B 不在 x 轴上),分别过 A、B 点 作直线 l1 : x ? ? 2 的垂线,对应的垂足分别为 M 、 N ,试判断点 F 与以线段 M N 为直径的圆的 位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况); (Ⅲ)记 S 1 ? S ? F A M , S 2 ? S ? F M N , S 3 ? S ? F B N (A、B、 M 、 N 是(2)中的点),问是否存在实 数 ? ,使 S 2 ? ? S 1 S 3 成立.若存在,求出 ? 的值;若不存在,请说明理由.
2

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1: 几何证明选讲 如图,直线 AB 经过⊙O 上一点 C,且 OA=OB,CA=CB, ⊙O 交直线 OB 于 E、D. (Ⅰ)求证:直线 AB 是⊙O 的切线; (Ⅱ)若 ta n ? C E D ?
1 2

E O D

A , ⊙O 的半径为 3,求 OA 的长.

C

B

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程. 直角坐标系 xOy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的方程为
? 3 t ? x ? ?2 ? ? 2 (t 为参数) ,直线 l 与曲线 C 的公共点为 T. ? ? 4 co s ? ,直线 l 的方程为 ? ?y ? 1 t ? ? 2

(Ⅰ)求点 T 的极坐标; (Ⅱ)过点 T 作直线 l ', l ' 被曲线 C 截得的线段长为 2,求直线 l ' 的极坐标方程.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设 f ( x ) =|x|+2|x-a|(a>0) .
-5-

(I)当 a=l 时,解不等式 f ( x ) ≤4; (II)若 f ( x ) ≥4 恒成立,求实数 a 的取值范围.

内蒙古包头市 2012 届高三第三次模拟考试 数学(理科)答案 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B B C D C B D

9 B

10 C

11 A

12 A

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 16 14.
1 3

15.

19 3

?

16. 10

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分 17、 (12 分) (1) 由 由
2? 2? ?
2

f (x) ?

p 2

sin 2 ? x ?

1 2

cos 2 ? x ?

1 2

?

p

2

?1

sin( 2 ? x ? ? ) ?

1 2



2

?
2

,得 ? ? 2 ………………2 分
? 1 2 ? 1 2

p

?1

及 p ? 0 ,得 p ?
?
6
2

3 ………………4 分

2

? f ( x ) ? sin( 4 x ?

)?

1 2
2

…………6 分
? b
2

(2) cos A ?

b

2

? c

? a

? c

2

? bc

?

2 bc ? bc 2 bc

?

1 2

.………………8 分

2 bc

2 bc

A 为三角形内角,所以 0 ? A ?
??

?
3

………………10 分
?
6 ) ? 1 ,? ? 1 ? f ( A ) ? 1 2

?
6

? 4A ?

?
6

?

7? 6

,?

1

? sin( 4 A ?

…………12 分

2 18.(I)证明:在梯形 ABCD 中,

∵ A B // C D , A D ? D C ? C B ? 1 , ∠ A B C = 6 0 ? ,∴ A B ? 2 …………………2 分 2 2 2 o ∴ AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC ? cos 60 ? 3 2 2 2 ∴ AB ? AC ? BC ∴ BC ⊥ A C ………………… 4 分 ∵ 平面 A C F E ⊥平面 A B C D ,平面 A C F E ∩平面
-6-

ABCD ? AC

, B C ? 平面 A B C D

∴ B C ⊥平面 A C F E ………6 分 (II)解法一:由(I)可建立分别以直线 C A , C B , C F 为
x 轴, y 轴 , z 轴 的如图所示空间直角坐标系,令
FM ? ? ( 0 ? ? ? 3 ) ,则 C ( 0 , 0 , 0 ), A ( 3 , 0 , 0 ) ,
3 ,1, 0 , BM ? ?? , ? 1,1 ?

B ?0 ,1, 0 ?, M ?? , 0 ,1 ?



AB ? ?

?

?

…………8 分

设 n 1 ? ? x , y , z ? 为平面 MAB 的一个法向量, 由?
? n ? AB ? 0 1 ? n 1 ? BM ? 0

得?

??

3x ? y ? 0

??x ? y ? z ? 0

取 x ? 1 ,则 n 1 ? ?1, 3 , 3 ? ? ? ,…………10 分 ∵
n 2 ? ?1, 0 , 0 ? 是平面 FCB 的一个法向量


cos ? ?

| n1 ? n 2 | | n 1 |? | n 2 |

?? ??

?? ?

??

? 1? 3?

1

?

3 ??

?

?
2

1

………11 分
3

?1

?? ?

?

2

? 4



0 ? ? ?

3

∴ 当 ? ? 0 时, cos ? 有最小值
1 2

7 7



当? ?

3 时, cos ? 有最大值





? 7 1? cos ? ? ? , ? …………………12 分 7 2? ?

解法二:①当 M 与 F 重合时,取 F B 中点为 G ,连结 A G 、 C G ∵ AF ? AC 2 ? CF 2 ? 2 , ∴ AB ? AF ∴ AG ⊥ FB ∵ CF ? CB ? 1 ∴ CG ⊥ FB ∴ ∠ A G C =? ∵
BC ⊥CF


2

FB ?
14
2

2

∴CG ? ∴ cos ? ?

2 2

, AG ?
2

CG

? AG

? AC

2

2C G ? A G

?

7 7

…………………8 分…

②当 M 与 E 重合时,过 B 作 B N // C F , 且 使 B N ? C F , 连结 E N 、 F N ,则平面 M A B ∩平面 F C B = B N , ∵ B C ⊥ C F ,又∵ A C ⊥ C F ∴ C F ⊥平面 A B C ∴ B N ⊥平面 A B C ∴ ∠ A B C =? ∴ ? =60? , ∴
cos ? =
1 2

…………………10 分[
3)

③当 M 与 E 、 F 都不重合时,令 F M ? ? ( 0 ? ? ? 延长 A M 交 C F 的延长线于 N ,连结 B N ∴ N 在平面 M A B 与平面 F C B 的交线上 ∵ B 在平面 M A B 与平面 F C B 的交线上

-7-

∴ 平面 M A B ∩平面 F C B = B N 过 C 作 CG⊥NB 交 NB 于 G ,连结 AG, 由(I)知, A C ⊥ B C , 又∵AC⊥CN, ∴ AC⊥平面 NCB ∴ AC⊥NB, 又∵ CG⊥NB,AC∩CG=C, ∴ NB⊥平面 ACG ∴AG⊥NB ∴ ∠AGC= ? 在 ? N A C 中,可求得 NC=
3 3??


3

从而,在 ? N C B 中,可求得 CG=

?? ?
AC
2

3

?

2

?3
3

∵ ∠ACG= 9 0 o



AG=

? CG

2

?

?? ? ?? ?
3

3

?

2

? 4

?

2

?3



cos ? ?

CG AG

?

1

?? ?

? 7

3

?

2

? 4



0? ? ?

3

7 7

? cos ? ?

1 2

…………………11 分

综合①②③得, c o s ? ? ?

,

? 7

1? ? …………………12 分 2?

19.【解析】 (1)由样本数据知,30 件产品中,一等品有 6 件,二等品有 9 件,三等品有 15 件. ∴样本中一等品的频率为
6 30 ? 0 .2 ,

…………3 分

故估计该厂生产的产品的一等品率为 0 .2 , 二等品的频率为 三等品的频率为
9 30
15 30

………4 分 …5 分

? 0 .3 ,故估计该厂产品的二等品率为 0 .3 ,

? 0 .5 ,故估计该厂产品的三等品率为 0 .5 .…6 分

(2)样本中一等品有 6 件,其中等级系数为 7 的有 3 件,等级系数为 8 的也有 3 件, ……………………7 分
C C 等级系数为 8 的 3 件产品分别为 P1 、 2 、 P 记等级系数为 7 的 3 件产品分别为 C 1 、 2 、 3 , P3 ,则从样本的一等品中随机抽取 2 件的所有可能为:

( C 1 , C 2), C 1 , C 3 , C 1 , P1 , ) ( )(

( C 1 , P2), C 1 , P3 , C 2 , C 3 , C 2 , P1 , ( C 2 , P2), C 2 , P3 , C 3 , P1 , ) ( ) ( )( ) ( )(
( C 3 , P2), C 3 , P3 , ( P1 , P2 ),( P1 , P3 ( P2 , P3 , 共 15 ( ) ) )

种,

…………10 分

-8-

20.解 (Ⅰ)首先, x ? 0
f ( x ) ? 2 ax ? 2 ?


1 x

?

2 ax

2

? 2x ? 1 x


---------------2


f ( x ) 有零点而 f ( x ) 无极值点,表明该零点左右 f ( x ) 同号,故 a ? 0 ,且


2 ax

2

? 2 x ? 1 ? 0 的 ? ? 0 . 由此可得 a ?
2

1 2

.

-----------4 分

(Ⅱ)由题意, 2 ax ? 2 x ? 1 ? 0 有两不同的正根,故 ? ? 0 , a ? 0 . 解得: 0 ? a ?
1 2

-------------5-

分 2 设 2 ax ? 2 x ? 1 ? 0 的两根为 x 1 , x 2 ,不妨设 x 1 ? x 2 ,因为在区间 ( 0 , x 1 ), ( x 2 , ?? ) 上,
f ( x ) ? 0 ,而在区间 ( x 1 , x 2 ) 上, f ( x ) ? 0 ,故 x 2 是 f ( x ) 的极小值点.------8 分
/ /

因 f ( x ) 在区间 ( x 1 , x 2 ) 上 f ( x ) 是减函数,如能证明
x1 ? x 2 2

f(

x1 ? x 2 2

)? ?

3 2

,

则更有

f ( x2 ) ? ?

3 2

.

--------------10 分 由韦达定理, 令
1 2a

?

1 2a

,f(

1 2a
3 2

) ? a(
t? 3 2

1 2a

) ? 2(
2

1 2a

) ? ln

1 2a

? ln

1 2a

?

3 2

?

1 2a

? t , 其中 t ? 1 . 设 g ( t ) ? ln t ?
0

,利用导数容易证明 g ( t ) 当 t

? 1 时单调递减,

而 g (1) ?

,因此 g ( t ) ?
2

0

,即 f ( x ) 的极小值 f ( x 2 ) ? 0 . 1分
? 2 2
x
2 2

-------12 分

21. (1) 设动点为 P ( x, y ) , 依据题意,有
( x ? 1) ? y |x?2|
2

,化简得

x

2

? y ? 1.
2

3分 ……4 分

2 ? y ? 1.

因此,动点 P 所在曲线 C 的方程是:

2

(2) 点 F 在以 MN 为直径的圆的外部. 理由:由题意可知,当过点 F 的直线 l 的斜率为 0 时,不 合题意,故可设直线 l : x ? m y ? 1 ,如图所 示. 5分 联立方程组 ? ?
?x
2

? y ?1
2

2

,可化为 ( 2 ? m ) y ? 2 m y ? 1 ? 0 ,
2 2

?x ? my ?1 ?

则点 A ( x1, y 1 )、 B ( x 2, y 2 ) 的坐标满足
2m ? y ? y2 ? 2 ? 1 ? 2?m ? 1 ?y y ? ? 2 ? 1 2 2?m ?



7分

-9-

又 A M ? l1 、 B N ? l1 ,可得点 M ( ? 2, y 1 ) 、 N ( ? 2, y 2 ) . 点与圆的位置关系,可以比较点到圆心的距离与半径的大小来判断,也可以计算点与直 径形成的张角是锐角、直角、钝角来加以判断. ???? ???? ? 因 F M ? ( ? 1, y 1 ) , F N ? ( ? 1, y 2 ) ,则
2 ???? ???? ? 1? m ? 0 F M ? F N ? ( ? 1, y 1 ) ? ( ? 1, y 2 ) ? 1 ? y 1 y 2 = 2

2?m

.9 分 10

? 于是, M F N 为锐角, 即点 F 在以 MN 为直径的圆的外部.

分 (3)依据(2)可算出 x1 ? x 2 ? m ( y 1 ? y 2 ) ? 2 ? ?
x1 x 2 ? ( m y 1 ? 1)( m y 2 ? 1) ? 2 ? 2m 2?m
1 2
2 2

4 2?m
2







S1S 3 ? ?

1 2 1

( x1 ? 2 ) | y 1 | ? ? 1
2

( x2 ? 2) | y2 |

4 2?m

[ x1 x 2 ? 2 ( x1 ? x 2 ) ? 4 ]

?
S2 ? (
2

1

1? m

2 2 2

2 (2 ? m )
1 2


2

| y 1 ? y 2 | ? 1)
2

?

1 4

[( y 1 ? y 2 ) ? 4 y 1 y 2 ]

? 2
2

1? m

2 2 2

(2 ? m )



11 分 12 分

所以, S 2 ? 4 S 1 S 3 ,即存在实数 ? ? 4 使得结论成立.

22.(Ⅰ)如图,连接 OC,∵ OA=OB,CA=CB,∴ OC⊥AB,∴ AB 是⊙O 的切线 (Ⅱ)∵ ED 是直径, ∴ ∠ECD=90°,Rt△BCD 中, ∵ tan∠CED=
1 2 BD BC
2

, ∴

CD EC

=

1 2



∵ AB 是⊙O 的切线,

∴ ∠BCD=∠E,又 ∵ ∠CBD=∠EBC,∴ △BCD∽△BEC, ∴ =
CD EC

=

1 2

, 设 BD=x,则 BC=2x,
2

又 BC =BD·BE, ∴ ( 2 x ) =x· x+6) ( , 解得:x1=0,x2=2, ∵ BD=x>0, ∴ BD=2, ∴ OA=OB=BD+OD=3+2=5 ?

23.

- 10 -

?2-3x,x<0, ? 24.(Ⅰ) f ( x ) =|x|+2|x-1|=?2-x, 0≤x≤1, ?3x-2,x>1. ? 2 当 x<0 时,由 2-3x≤4,得- ≤x<0;当 0≤x≤1 时,1≤2-x≤2; 3
当 x>1 时,由 3x-2≤4,得 1<x≤2.综上,不等式 f ( x ) ≤4 的解集为[- 2 ,2]. 3

? ?2a-3x,x<0, (Ⅱ) f ( x ) =|x|+2|x-a|=?2a-x,0≤x≤a,可见, f ?3x-2a,x>a. ?

a ( x ) 在(-∞, ]单调递减,在(a,

+∞)单调递增.当 x=a 时, f ( x ) 取最小值 a.所以,a 取值范围为[4,+∞).

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