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新高二三角函数及两角和与差的正弦、余弦和正切公式

三角函数及两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C(α-β): cos(α-β)=cos_αcos_β+sin_αsin_β; (2)C(α+β): cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β; (3)S(α+β):sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β;(4)S(α-β):sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β; tan α+tan β tan α-tan β (5)T(α+β):tan(α+β)= ;(6)T(α-β):tan(α-β)= . 1-tan αtan β 1+tan αtan β 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S2α:sin 2α=2sin_αcos_α;(2)C2α:cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α; 2tan α (3)T2α:tan 2α= . 1-tan2α 3.常用的公式变形 1+cos 2α 1-cos 2α (1)tan α± tan β=tan(α± β)(1?tan αtan β);(2)cos2α= ,sin2α= ; 2 2 π? (3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2,sin α± cos α= 2sin? 4?. ?α± sin 2α 1.(2011· 福建高考)若 tan α=3,则 2 的值等于( cos α A.2 B.3 C.4 ) 3 2 ) 1 C. 9 D. 5 3 D.1 ) D.6

2.sin 68° sin 67° -sin 23° cos 68° 的值为( A.- 2 2 B. 2 2 C.

2 3.已知 sin α= ,则 cos(π-2α)等于( 3 A.- 5 3 1 B.- 9

π? 4 4.(教材习题改编)若 cos α=- ,α 是第三象限角,则 sin? ?α+4?=________ 5 π? 2 5.若 tan? ?α+4?=5,则 tan α=________. 一.三角函数公式的应用 1 π? [例 1] (广东)已知函数 f(x)=2sin? ?3x-6?,x∈R. 5π? (1)求 f? ? 4 ?的值; π? ? π? 10 6 (2)设 α,β∈? ?0,2?,f?3α+2?=13,f(3β+2π)=5,求 cos(α+β)的值.

π ? 3 变式 1.(1)已知 sin α= ,α∈? ?2,π?,则 5

=________. π α+ ? 2sin? ? 4? ) D.-7

cos 2α

(2)已知 α 为锐角,cos α= A.-3 1 B.- 7

π 5 ? ,则 tan? ?4+2α?=( 5 4 C.- 3

二.三角函数公式的逆用与变形应用 x [例 2] (2014 一检)已知函数 f(x)=2cos2 - 3sin x. 2 (1)求函数 f(x)的最小正周期和值域; π? 1 cos 2α (2)若 α 为第二象限角,且 f? ?α-3?=3,求1+cos 2α-sin 2α的值.

π 4 3 ?α+π?的值为( α+ ?+cos α= 变式 2.(1)(2012· 赣州模拟)已知 sin? ,则 sin 6 ? ? ? 3? 5 4 A. 5 3 B. 5 C. 3 2 D. 3 5

)

3π (2)若 α+β= ,则(1-tan α)(1-tan β)的值是________. 4 三.角 的 变 换 sin α+cos α [例 3] (1)(2014· 温州模拟)若 =3,tan(α-β)=2,则 tan(β-2α)=________. sin α-cos α π? 4 π? ? (2)(2012· 江苏高考)设 α 为锐角,若 cos? ?α+6?=5,则 sin?2α+12?的值为________. 常见的配角技巧: α 1 1 α=2· ;α=(α+β)-β;α=β-(β-α);α= [(α+β)+(α-β)];β= [(α+β)-(α-β)]; 2 2 2 π π π ? π π -α ;α= -? -α?. +α= -? ? 4 2 ?4 4 ?4 ? π? 1 2 ? π? 变式 3.设 tan(α+β)= ,tan? ?β-4?=4,则 tan?α+4?=( 5 13 A. 18 自我检测: 1. (2012· 重庆高考)设 tan α, tan β 是方程 x2-3x+2=0 的两根, 则 tan (α+β)的值为( ) 13 B. 22 3 C. 22 1 D. 6 )

A.-3

B.-1

C.1

D.3 ) D .± 1 )

π? 3 ? π? 2.(2014· 南昌二模)已知 cos? ?x-6?=- 3 ,则 cos x+cos?x-3?的值是( 2 3 A.- 3 2 3 B.± 3 C.-1

π 1 ? ?π ? 3. (2013· 乌鲁木齐诊断性测验)已知 α 满足 sin α= ,那么 sin? ?4+α?sin?4-α?的值为( 2 1 A. 4 1 B.- 4 1 C. 2 1 D.- 2

4.已知函数 f(x)=x3+bx 的图象在点 A(1,f(1))处的切线的斜率为 4,则函数 g(x)= 3sin 2x +bcos 2x 的最大值和最小正周期为( A.1,π B.2,π ) C. 2,2π D. 3,2π 5 3 ,sin(α+β)= ,则 cos β=( 5 5 D. ) D. 5 3 5 5 或 5 25 )

5. (2012· 东北三校联考)设 α、β 都是锐角,且 cos α= 2 5 A. 25 2 5 B. 5

2 5 2 5 C. 或 25 5 3 ,则 cos 2α=( 3 C. 5 9

6.已知 α 为第二象限角,sin α+cos α= A.- 5 3 B.- 5 9

π 4π 1 7.(2012· 苏锡常镇调研)满足 sin sin x+cos cos x= 的锐角 x=________. 5 5 2 2tan?45° -α? sin αcos α 8.化简 · 2 =________. 2 1-tan ?45° -α? cos α-sin2α 9.(2013· 烟台模拟)已知角 α,β 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的正半轴重合,α,β∈(0, 1 4 π),角 β 的终边与单位圆交点的横坐标是- ,角 α+β 的终边与单位圆交点的纵坐标是 , 3 5 则 cos α=________. π? π? 1 ? 10.已知 α∈? ?0,2?,tan α=2,求 tan 2α 和 sin?2α+3?的值.

π 4 π β- ?= . 11.已知:0<α< <β<π,cos? ? 4? 5 2 (1)求 sin 2β 的值; π? (2)求 cos? ?α+4?的值.

x? ? x? 12.(2012· 衡阳模拟) 函数 f(x)=cos? ?-2?+sin?π-2?,x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期; π π 2 10 0, ?,求 tan?α+ ?的值. (2)若 f(α)= ,α∈? 2 4? ? ? ? 5

提升题: π ? 1.(2014· 北京西城区期末)已知函数 f(x)= 3sin2x+sin xcos x,x∈? ?2,π?. (1)求 f(x)的零点; (2)求 f(x)的最大值和最小值.

β? π 1 ?α ? 2 2.已知 0<β< <α<π,且 cos? ?α-2?=-9,sin?2-β?=3,求 cos(α+β)的值; 2


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