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四川省成都实验外国语学校2013-2014学年高二年级入学考试数学试题


四川省成都市实验外国语学校 2013-2014 学年高二年级入学考试数学试题 (9 月 2 号)
一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 1、直线 y ? 3 x 的倾斜角大小为( A. B ) C.
2? 3

? 6
? 12

B.

? 3

D.

5? 6

2、在锐角 ?ABC 中,角 A, B 所对的边长分别为 a , b .若 2a sin B ? 3b, 则角A等于 ( D ) A. B.

? 6

C.

? 4

D.

? 3

3、等比数列 a,3a ? 3,6a ? 6 ......的第四项等于( D ) A.24 B.12 C.0 D.-24
1 2

4、若数列 ?an ? 为等差数列,且 a3 ? a5 ? a7 ? a9 ? a11 ? 20 ,则 a8 ? a9 ? ( (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

B )

5 、 已 知 f ( x) 是 定 义 域 为 R 的 偶 函 数 , 当 x ≥ 0 时 , f ( x) ? x 2 ? 4 x , 那 么 , 不 等 式 的解集是( f ( x ? 2 )? 5 A (7,3) B (?7,3) B ) C (7,?3) D
(7,?3)

6、直线 x ? 2 y ? 5 ? 5 ? 0 被圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 截得的弦长为( A.1 B.2 C.4 D. 4 6

C )

7、已知直线 ax ? by ? c ? 0 与圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 相交于 A , B 两点,且 AB ? 3 , 则
OA ? OB 的值是(

A

) B.
1 2

A. ?

1 2

C. ?

3 4

D.0

8、设等比数列 {an } 各项均为正数,且 a5 a6 ? a4 a7 ? 18 ,则
log 3 a1 ? log 3 a2 ? .... ? log 3 a10 ? (

B ) C. 8 D. 2 ? log 3 5

A. 12

B. 10

? y ? 2x ? 9、若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 , 则x ? 2 y的最大值是 ( C ) ? y ? ?1 ?

A. -

5 2

B. 0

C.

5 3

D.

5 2

10.对一切实数 x有ax 2 ? bx ? c ? 0(其中a ? 0, a ? b) ,当实数 a, b, c 变化时, 小值是( B ) A. 2 B.3 C.4 D.5

a?b?c 的最 b?a

二、填空题(每题 5 分,共 25 分) 11、在等差数列 ?an ? 中,若 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 30 ,则 a2 ? a3 ? ____15__. 12、已知直线 x ? a 2 y ? 6 ? 0 与直线 (a ? 2) x ? 3ay ? 2a ? 0 平行,则 a 的值为.0 或 ? 1 13、设常数 a ? 0 ,若 9 x ?
a2 1 ? a ? 1 对一切正实数 x 成立,则 a 的取值范围为 [ , ??) . x 5
3 1 |a| ? 的最小值为__ ____.、 2|a| b 4

14、设 a ? b ? 2, b ? 0 , 则

15、下列 5 个命题中正确的有____4____。 (1)在等比数列 ?an ?中 a2013 ? 1 ,则 a2012 ? a2014 的取值范围是 ?2,?? ? (2)在直线上任取两点 P , P2 ,把向量 p1 p2 叫做该直线的方向向量。则任意直线的方 1 向向量都可以表示为向量 (1, k ) 。( k 为该直线的斜率) (3)已知 G 是△ABC 的重心,且 aGA ? bGB ? 3cGC ? 0 ,其中 a, b, c 分别为角 A、B、C 的
5 对边,则 cos C = 8

(4)已知正项等比数列 {a n } 满足 a 7 ? a 6 ? 2a5 ,若存在两项 a m , a n 使得 a m a n ? 4a1 ,
3 1 4 ? 的最小值为 2 m n (5)在空间中若一个 n 面体中有 m 个面是直角三角形,则称这个 n 面体的“直 m 度”为 n .已知长方体 ABCD-A1B1C1D1,那么四面体 A-A1B1C1 的“直度” 是 0.5 三、解答题(共 75 分)



16、 (12 分)在公差为 d 的等差数列 {an } 中,已知 a1 ? 10 ,且 a1 ,2a2 ? 2,5a3 成等比数列. (1)求 d, an ; 解:(Ⅰ)由已知得到: (2)若 d ? 0 ,求此数列前 n 项的和 S n 的最大值

(2a2 ? 2) 2 ? 5a1a3 ? 4(a1 ? d ? 1) 2 ? 50(a1 ? 2d ) ? (11 ? d ) 2 ? 25(5 ? d )

?d ? 4 ?d ? ?1 ? 121 ? 22d ? d 2 ? 125 ? 25d ? d 2 ? 3d ? 4 ? 0 ? ? 或? ?an ? 4n ? 6 ?an ? 11 ? n
;(Ⅱ)由(1)知,当 d ? 0 时, an ? 11 ? n , an ? 0 ? n ? 11 故 S n max ? S11 ? 55 17、 (12 分)已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? x 2 ? (3 ? a) x ? 2(1 ? a) (其中 a ? R ). (Ⅰ)解关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 ; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? x ? 3 对任意 x ? 2 恒成立,求 a 的取值范围. 解: (Ⅰ) f ( x) ? ( x ? 2)[ x ? (1 ? a)] , 而 x1 ? x2 ? 2 ? 1 ? a ? a ? 1 , f ( x) ? 0 等价于 ( x ? 2)[ x ? (1 ? a)] ? 0 ,于是 当 a ? ?1 时, x1 ? x2 ,原不等式的解集为 (??, 2) ? (1 ? a, ??) ; 当 a ? ?1 时, x1 ? x2 ,原不等式的解集为 (??, 2) ? (2, ??) ; 当 a ? ?1 时, x1 ? x2 ,原不等式的解集为 (??,1 ? a) ? (2, ??)
x2 ? 4 x ? 5 恒成立 x?2 1 x2 ? 4 x ? 5 又当 x ? 2 时, ? = ?( x ? 2 ? ) ? ?2 x?2 x?2 (当且仅当 x ? 3 时取“=”号). ? a ? ?2

(Ⅱ)不等式 f ( x) ? x ? 3 ,即 a ? ?

18 、 12 分 ) 在 ?ABC 中 , 角 A , B , C 对 应 的 边 分 别 是 a , b , c . 已 知 (

cos 2 A ? 3cos? B ? C ? ? 1.
(I)求角 A 的大小;(II)若 ?ABC 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin B sin C 的值. 解:(I)由已知条件得: cos 2 A ? 3cos A ? 1 1 ? 2 cos2 A ? 3cos A ? 2 ? 0 ,解得 cos A ? ,角 A ? 60? 2 1 (II) S ? bc sin A ? 5 3 ? c ? 4 ,由余弦定理得: a 2 ? 21 , 2 由正弦定理可知 或

?2R ?

2

a2 bc 5 ? ? 28 ? sin B sin C ? ? 2 2 sin A 4R 7

21 5 4 4 sin A 5 sin A 5 ? ? ? sin B sin C ? ? ? sin A sin B sin C 7 21 21

19、 (12 分) 在直角坐标系 xOy 中, 以坐标原点 O 为圆心的圆与直线:x ? 3 y ? 4 相切。 (1)求圆 O 的方程; (2)若圆 O 上有两点 M、N 关于直线 x ? 2 y ? 0 对称,且 MN ? 2 3 ,求直线 MN 的方 程; (3)圆 O 与 x 轴相交于 A、B 两点,圆内的动点 P 使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列, 求 PA ? PB 的取值范围。 解: (1)依题设,圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 x ? 3 y ? 4 的距离, 即 r?
4 ? 2 .得圆 O 的方程为 x 2 ? y 2 ? 4 . 1? 3

(2)由题意,可设直线 MN 的方程为 2 x ? y ? m ? 0 。 则圆心 O 到直线 MN 的距离 d ?
m 5



由勾股定理得:

m2 ? ( 3 ) 2 ? 2 2 ,即 m ? ? 5 。 5

所以直线 MN 的方程为: 2 x ? y ? 5 ? 0 或 2 x ? y ? 5 ? 0 。
0) 0) (3)不妨设 A( x1,,B( x2,,x1 ? x2 .由 x 2 ? 4 得 A(?2,,B(2, . 0) 0)

PO PB 设 P( x,y) ,由 PA , , 成等比数列,得
( x ? 2) 2 ? y 2 ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? x 2 ? y 2 ,即 x 2 ? y 2 ? 2 .

??? ??? ? ? ? ? ∴ PA ? PB ? (?2 ? x, y ) ? (2 ? x, y ) = 2( y 2 ? 1)

? x 2 ? y 2 ? 4, ? 由于点 P 在圆 O 内,故 ? 2 由此得 y 2 ? 1 . 2 ? x ? y ? 2. ?
0) 所以 PA ? PB 的取值范围为 [ ?2, 。

20、 (13 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) ,设圆 C 的半径为 1,圆心 C 在直线
l : y ? 2 x ? 4 上。

(1)若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程;

(2)若圆 C 上存在点 M ,使 MA ? 2 MO ,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.
? y ? 2x ? 4 解:(1)由 ? 得圆心 C 为(3,2),∵圆 C 的半径为 ?y ? x ?1

∴圆 C 的方程为: ( x ? 3) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 显然切线的斜率一定存在,设所求圆 C 的切线方程为 y ? kx ? 3 ,即 kx ? y ? 3 ? 0 ∴

3k ? 2 ? 3 k 2 ?1

? 1 ∴ 3k ? 1 ? k 2 ? 1 ∴ 2k (4k ? 3) ? 0 ∴ k ? 0 或者 k ? ?

3 4

3 ∴所求圆 C 的切线方程为: y ? 3 或者 y ? ? x ? 3 4

即所求切线方程为 y ? 3 或者 3 x ? 4 y ? 12 ? 0 (2)解:∵圆 C 的圆心在在直线 l : y ? 2 x ? 4 上,所以,设圆心 C 为 (a,2a ? 4) 则圆 C 的方程为: ( x ? a ) 2 ? ? y ? (2a ? 4)? ? 1
2

又 ∵ MA ? 2 MO ∴ 设 得: x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 设为圆 D

M

为 (x,y) 则

x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 2 x 2 ? y 2 整 理

∴点 M 应该既在圆 C 上又在圆 D 上
2

即:圆 C 和圆 D 有交点

∴ 2 ? 1 ? a 2 ? ?(2a ? 4) ? (?1)? ? 2 ? 1 由 5a 2 ? 12a ? 8 ? 0 得 a ? R 由 5a 2 ? 12a ? 0 得 0 ? a ?
12 5

? 12 ? 终上所述, a 的取值范围为: ?0, ? ? 5?

21、 (14 分)已知数列 {an }满足 : a1 ? 2, an ?1 ? 3an ? 3n ?1 ? 2n (n ? N * ). (I)设 bn ?
an ? 2 n , 证明:数列 {bn } 为等差数列,并求数列 {an } 的通项公式; 3n

(II)求数列 {an }的前n项和Sn ; (III)设 Cn ?
an ?1 (n ? N * ), 是否存在k ? N * , 使得Cn ? Ck 对一切正整数 n 均成立,并 an

说明理由。 解: (Ⅰ)? bn ?1 ? bn ?
a n ?1 ? 2 n ?1 a n ? 2 n 3a n ? 3n ?1 ? 2 n ? 2 n ?1 a n ? 2 n ? ? ? ? 1, 3n ?1 3n 3n ?1 3n

? {bn } 为等差数列.又 b1 = 0 ,? bn ? n ? 1 .
? a n ? ?n ? 1? ? 3 n ? 2 n .

(Ⅱ)设 Tn ? 0 ? 31 ? 1 ? 3 2 ? ? ? (n ? 1) ? 3n ,则 3 Tn ? 0 ? 32 ? 1 ? 33 ? ? ? (n ? 1) ? 3n?1 .
? ? 2Tn ? 32 ? ? ? 3n ? (n ? 1) ? 3 n?1 ? 9(1 ? 3n ?1 ) ? (n ? 1) ? 3n ?1 . 1? 3

? Tn ?

9 ? 3n?1 (n ? 1) ? 3n?1 (2n ? 3) ? 3n?1 ? 9 . ? ? 4 2 4

? S n ? Tn ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2

?

n

?2n ? 3?3n?1 ? 2 n?3 ? 1 . ??
4

(Ⅲ)由已知得 C n ? C1 最大,下证:
? C n ? C1 ?

n ? 3 n ?1 ? 2 n ?1 13 62 259 ,从而求得 C1 ? , C 2 ? , C3 ? ,? 猜测 n n ?n ? 1?3 ? 2 2 13 62

a n?1 a 2 (n ? 3n?1 ? 2 n?1 ) ? 2 ? 13[( n ? 1) ? 3n ? 2 n ] (13 ? 7 n) ? 3 n ? 9.2 n ? ? ? ?0 an a1 an ? a1 a n ? a1

, ∴存在 k ? 1 ,使得 C n ? C k 对一切正整数 n 均成立.


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