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广东省2013届高三数学 研讨会资料廖健红谈谈总复习的策略和方法2


谈谈 2013 年高三总复习的策略和方法
高考备考时间紧、内容多,如何提高复习效果,提高学生高考数学成绩,是每一个高三 数学老师苦苦探索、不断实践和总结的课题,在广州市涌现出了一批备考高手,如 “练在 讲之前,讲在关键处” ,提高了学生的综合实践能力;又如“快步走,多回头”有效解决了 学生遗忘的问题等。今天,我借此机会谈高考复习的体会,提供给各位同行参考。 一、高考题型和特点: 全省理科数学平均分 2009 年 2010 年 2011 年 2012 年 69.33 94.25 79.42 92 全省文科数学平均分 86.35 81.64 68.07 75

2012 年广东高考数学试题,从理念的落实上看,还是不错的。平均分文科约 75,理科 月 92,难度系数达到了 0.5~0.6,各方面评价比较好,可谓“皆大欢喜” 近年的高考数学卷(广东卷)有如下特点: 稳定结构框架,难度波浪起伏。 强调知识运用,渗透高数理念。 强弱分别明显,文理要求有别。 近年的高考数学出题的理念有如下特点: 强化素养淡化专精, 强化能力淡化知识, 强化通性淡化技巧, 强化思维淡化计算, 强化应用淡化理论。 我的解读是 2013 年高考,文科数学会比今年略往上靠,而理科数学肯定会比今年往下 靠。并尽量加大 120±10 区间的区分度。而在试题考查的知识结构上,会考虑适当平衡,但 对近年考的较多的部分,不排除弱化的可能。 二、教材与教学大纲的特点: 1.讲背景,讲思想,讲应用 知识的引入强调背景,使教材生动、自然而亲切,让学生感到知识的发展水到渠成而 不是强加于人。 螺旋上升地安排核心数学概念和重要数学思想;把握数学本质,保证科学性;强调数 学形式下的思考和推理训练。 通过解决具有真实背景的问题,引导学生体会数学的作用与力量,发展应用意识。 2.强调问题性、启发性,引导教、学方式的变革
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遵循认知规律,以问题引导学习,体现数学知识、学生认知的过程性,促使学生主动 探究,培养学生的创新意识和应用意识,引导教、学方式的改进。 3.强调基础性,注重通性通法,淡化特殊技巧: 坚持“三基”不动摇,为学生终身发展打好数学基础。很多高考题只不过是灵活的基 础题或基础的变式题。 对新增内容的定位:基础性、可接受性,体现和巩固教改的成果。 对原有内容的处理: 在教学要求和处理方式上进行变革, 重点是继承传统教材优点的 基础上,削支强干。 4.加强联系性,突出数学思考方法的引导 5、强化主干知识,突出新增内容 6、凸显数学思想方法,强化能力考察 7、关注知识点的衔接,考察创新意识 例 1 、 设 函 数 f ( x)?
x ?1 x? 1 ? 2 的 四 个 零 点 分 别 为 x1 , x2 , x3 , x4 , , 则 3

f ( x1 ? x 2? x ? x ) 4 ? 3
【解析】

.

三、高考复习备考总体理念:准确把握教材和考试大纲的要求,循序渐进地教学 1.不搞“一步到位”。 2.把更多的注意力放在核心概念、基本数学思想方法上。很多高考题只不过是灵活的 基础题,或是基础的变式题。 4.追求通性通法,不搞“特技”。 5.保持学生高水平的数学思维。 6.以问题引导学习,尽量采用“归纳式”,让学生经历概念的概括过程,思想方法的 形成过程,这是基本而重要的。 7.既要讲逻辑又要讲思想,引导学生通过类比、推广、特殊化等思维活动,促使他们 提出研究的问题,形成研究的方法。 8.使学生在建立知识的内在联系过程中领悟本质 9、强化知识的运用。 四,高考复习备考的策略: (一) 、正确的思想是有效复习的基础 不同的备考思想,决定不同的备考定位和措施,产生有效或无效的备考结果。因此,要 端正以下的认识: 1、复习过程不是简单知识再现的过程 教师不能把备考复习简单地看成“重复原有知识” ,应该把它看成指导学生从新的角度 去重新认识学过的知识和技能, 使学生通过科学、 有计划的复习和训练, 在认识上产生飞跃。 复习的指导思想应是授之以“渔” ,而不是授之于“鱼” 。

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2、主干知识要建立清晰的知识体系 例如,复习函数部分,应该从新的角度重新认识高中函数的知识系统,使学生在认识上 更上一层楼,函数的知识框架如下:
?单调性 ? 定义判断、导数符号判断 ? ?奇偶性 ? 定义判断、图象对称性判断 ? ?基本函数值域 ? 函数 ? 性质 ? ?值域 ? ? ?一般函数值域 ? ? ?基本函数的图象 ?图象 ? ? ? 函数思想 ?一般函数的图象 ? 函数单调性、值域、极值 ?



3、 非主干知识要梳理易错、易混淆问题 比如:复习集合内容 建议:整理学生容易混淆的概念、容易出错的问题编写题组练习,采取“练在讲之前, 讲在关键处” ,练习课涉及以下几个问题: (1)正确理解集合中元素的含义 如 A={x x ? 2 ? 0}, B={x 2 x ? 1 ? 3} ,则 A ? B ?

A ? {x | y ? lg(1 ? x)} , B ? { y | y ? , x ? R} ,则 A ? B ?
x

A={ (x,y) x ? y ? 2 ? 0}, B={( x, y) x 2 ? 2 y ? 0} ,则 A ? B ?

(2)特别关注集合元素的互异性 如:已知集合 P ? {1,2, x 2 } , Q ? {?1, x} ,若 P ? Q ? ? ,则实数 x 组成的集合是 (3)空集往往是分类点
A ? B ? A ? ?或A ? ? ; A ? B ? ? 注意空集问题 A?B ? A ? A ? B ; A?B ? A ? B ? A

例 2: 设 A ? {x | x2 ? 4x ? 0} , B ? {x | x2 ? 2(a ? 1) x ? a2 ? 1 ? 0} ,若 A ? B ? B ,求 a 的值 例 3: A ? {x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0} , B ? {x | mx ? 2 ? 0} ,且 A ? B ? A ,求实数 m 组成的集合 C . 例 4:已知 A ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0} , B ? {x | x2 ? (a ? 1)x ? a ? 0} ,若 A ? B ,求 a 的取值范围 ? 变式:若 B ? A ,求 a 的取值范围;

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(4)区分子集、真子集、非空子集、非空真子集的概念 例 5、 已知集合 A= ? ,2,3,4?,那么 A 的真子集的个数是 1 A. 3 B. 16 C. 15 D. 4

(5)掌握证明集合相等的一般方法 (6)理解集合的元素的多样性: 例 6: 是定义在 [2, 4] 上且满足如下条件的函数 ? ( x) 组成的集合: ①对任意的 x ?[1, 2] , A

x ) 2 都 有 ? ( 2 ? ( 1 ,; )② 存 在 常 数 L(0 ? L ? 1) , 使 得 对 任 意 的 x1 , x2 ?[1, 2] , 都 有
. | ? ( x1 ?)? ( 22 ? )L| x | x 2 x ? 2 1

|

(I)设 ? (2 x) ? 3 1 ? x , x ?[2,4] ,证明: ? ( x) ? A (II)设 ? ( x) ? A ,如果存在 x0 ? (1, 2) ,使得 x0 ? ? (2 x0 ) ,那么这样的 x0 是唯一的; (III) 设 ? ( x) ? A ,任取 x1 ? (1,2) ,令 xn?1 ? ? (2 xn) , n ? 1,2,? ,证明:给定正整数
k ?1 k ,对任意的正整数 p ,成立不等式 | xk ? p ? xk |? L | x2 ? x1 |

1? L

【解析】对任意 x ? [1,2] ,
3

? (2 x) ? 3 1 ? 2 x , x ? [1,2] ,

3 ? ? (2 x) ? 3 5 , 1 ? 3 3 ? 3 5 ? 2 ,所以 ? (2 x) ? (1,2)

对任意的 x1 , x2 ? [1,2] ,

| ? (2 x1 ) ? ? (2 x 2 ) |?| x1 ? x 2 |

2
3

?1 ? 2 x1 ?

2

?

3

?1 ? 2 x1 ??1 ? x2 ? ? ?1 ? x 2 ?
3

2



3 ? 3 ?1 ? 2 x1 ?2 ? 3 ?1 ? 2 x1 ??1 ? x2 ? ? 3 ?1 ? x2 ? ,
所以 0<
3

2

?1 ? 2 x1 ?2
2

? 3 ?1 ? 2 x1 ??1 ? x2 ? ? 3 ?1 ? x2 ? 2

2

?

2 , 3


3

?1 ? 2 x1 ?

?

3

?1 ? 2 x1 ??1 ? x2 ? ? ?1 ? x2 ?
3

2

= L , 0 ? L ? 1,

| ? (2 x1 ) ? ? (2 x2 ) |? L | x1 ? x2 |
所以 ? ( x) ? A

? ? ? ? 反证法:设存在两个 x0 , x0 ? (1,2), x0 ? x0 使得 x0 ? ? (2 x0 ) , x0 ? ? (2 x0 ) 则

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由 | ? ( 2 x 0 ) ? ? ( 2 x 0 / ) |? L | x 0 ? x 0 / | ,得 | x0 ? x0 |? L | x0 ? x0 | ,所以 L ? 1 ,
/ /

矛盾,故结论成立。

x3 ? x 2 ? ? (2 x 2 ) ? ? (2 x1 ) ? L x 2 ? x1 ,所以 x n ?1 ? x n ? Ln ?1 x 2 ? x1

| xk ? p ? xk |? ?xk ? p ? xk ? p ?1 ? ? ?xk ? p ?1 ? xk ? p ?2 ? ? ??xk ?1 ? xk ? ?

Lk ?1 | x2 ? x1 | 1? L

? x k ? p ? x k ? p ?1 ? x k ? p ?1 ? x k ? p ? 2 ? ? x k ?1 ? x k ? Lk ? p ? 2 x 2 ? x1 ? Lk ? p ?3 x 2 ? x1
+?

Lk ?1 x 2 ? x1 ?

LK ?1 x 2 ? x1 1? L

3、能力提高不是靠简单重复和题海战术 依照心理学记忆原理和人们认识事物的规律,学生掌握知识和技能是经过由简单到复 杂、 基础到能力、 理论到实践、 知识到应用多次地反复和深化的过程, 而并非一次性完成的。 因此, 复习计划要考虑呈现的知识内容和传授的基本技能的层次性; 要设计提高学生知识结 构化的程度阶梯性措施,使复习计划成为学生完成由知识累积到能力形成的有效保障 4、 “遗忘”问题不是简单记忆力问题 老师们都觉得刚踏入高三的很多学生,早已不记得所学的基本知识和基本解题方法,或 仅仅保留了一些模糊、大概的印象,而这种“遗忘”现象在高三复习 过程中还会再现,是 老师们颇为“烦恼”的问题。 “遗忘”不是简单的记忆问题,更多与学生学习的过程、掌握 知识的结构、 储存信息的方法等因素相关。 我们在第一轮复习时如果能把学生容易遗忘的主 要问题进行梳理,对备考的策略有指导意义。如果学生容易忘了三角公式,那就加强公式的 周期性再现次数;如果对某些数学问题的转换或某些类型试题解法总是“忘” ,则应该加强 课堂教学的周期性讲解和分析。因此,弄清楚学生“忘”的内容和弱点,才能对症下药。所 以,复习计划要体现螺旋式上升的认知和学习规律。 解决“遗忘”问题的措施: (1)优化、简化知识结构,有利于延长“记忆”周期。 例如:复习数列问题可以归结为: 一个方法:数学归纳法用于与自然数有关的命题 两个数列:等差数列、等比数列 三个特殊项:等差中项、等比中项、数列的通项 四个公式:等差数列的通项公式和求和公式、等比数列的通项公式和求和公式 又例如:用均值不等式求最值可以用“2 个方向、1 种方法、1 的技巧”的“211”来概
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括。 (2)周期 性重复降低“遗忘”程度。 教师要收集学生的错题和不会做的的题,整理成册,定期重做。 (3)学生建立各自的“错题本”和解决问题的策略本,定期和不定期翻阅,增强记忆。 5、学生的计算能力在总复习中通过训练可以到有效的提高: 提高计算能力的几个措施: (1)加强限时训练 (2)训练运算技巧 (3)数学方法训 练: (4)思维优化训练:口述算法等 (二) 、正确的定位是有效复习的关键: 目前各地区高三数学复习备考有两种常见模式 三轮复习法: 第一轮“基础复习”,第二轮“专题复习”,第三轮“模拟训练”。 高考题型循环训练法:依高考题型,用近年高考与模拟题或自编试题,反复进行训练、 讲评、拓展、总结 合二为一“金字塔阶梯递进”复习法 1、学生能力和基础定位,保障复习的准确性 考题设计有不同的目标层次: 层次 1:考查基本知识和基本技能; 层次 2:考查学生在熟悉情景中应用“三基”的水平,即考查迁移的能力; 层次 3 :考查学生在新 情景中应用“三基”的水平,即深层次的迁移能力; 层次 4:考查学生在熟悉和不熟悉情景中抗拒“三基”训练“定势”的水平,即思维的 灵活性; 层次 5:考查学生的见识水平,即分析、综合、评价等水平。 要认真分析学生的认知水平和能力水平,有些只需达到层次 1 和 2,有些学校可以达到 层次 1,2,3,还有些学校可以 进行的层次 4。不同的定位选择例题有很大差异,对学生的要 求也不一样。

2、第一轮复习的定位,提高复习的有效性,时间跨度是第一学期。 知识结构系统化、网络化
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同类问题规律化; 通性通法程序化; 3、第二轮复习的定位,提高复习的实用性: 查缺补漏、削枝强干、关注热点、综合提高。 第一阶段(第二学期开学~3 月 20 日左右): 进行专题复习 (自编材料) 使“思想方法” , 过关,迎接广州市一模考试。 第二阶段(3 月 21 日~4 月 20 日左右):进行综合强化训练,通过对(自编材料)的练、 改、评,同时回归课本,提高学生的应试水平和数学综合能力,使“思维直觉”过关,迎接 广州市二模考试。 第三阶段(4 月 21 日~5 月 20 日左右):进行高考模拟训练,使“应试策略”过关,迎接 学校三摸考试。 第四阶段(5 月 21 日~6 月 6 日):开展查漏补缺和方法梳理,进行应试策略指导和心理 辅导,使“信能指标”过关,迎接高考胜利到来。 (四) 、行动落实提高高考复习有效性的保障: 1、要让学生知情: 明知高考命题要求、范围和重点等如 2006 年广东高考试卷以函数(26 分,占 17%)、立 体几何(24 分,占 16%)和数列(22 分,占 15%)为主。三个知识点合共 72 分,占整卷 150 分 的 48%。 函数是高中数学的核心,新教材中具体表现为知识的联系性方面: 如 2007 年广东高考试卷函数(24 分,占 16%)、新增内容(24 分,占 16%) 、三角函数 (17 分,占 11%) ,解析几何和立体几何(19 分,占 13%) 。 (1) 、函数与方程 用函数的观点看待方程,可以用动态的观点看方程,把方程看成函数变化过程中的一 个特殊状态,方程的根是函数的零点,解方程 f(x)=0 就是求函数 y=f(x)的零点,从而可以 引进二分法、导数等工具求方程的近似解。 (2) 、函数与数列 数列是特殊的函数。因为它的定义域一般是自然数集或其子集,而自然数是离散的, 因此,数列通常称为离散函数,数列作为离散函数,在数学中有重要地位。 注重联系:等差数列与一次函数;等比数列与指数函数。 (3) 、函数与不等式、线性规划 用函数的观点看不等式——运动变化、数形结合、几何直观。 从函数的观点看,线性规划问题就是确定目标函数在可行域(由约束条件确定的定义 域)内的最值问题。解线性规划问题的步骤是: 第一步,确定目标函数; 第二步,确定目标函数的可行域; 第三步,确定目标函数在可行域内的最值。 (4) 、函数与解析几何 平面曲线是函数概念的重要背景,严格定义后它们有差异,但仍有紧密联系。例如:从 函数的角度看,一元二次函数的图象是抛物线,体现的是变量之间的对应关系;从方程和曲 线的角度看, 抛物线是由“到定点和定直线等距”这一几何特征确定的曲线。 教材关注这种 联系,注重从不同角度体现数形结合思想。 (5) 、函数与导数
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函数是导数的研究对象。没有导数时,函数性质的研究需要许多技巧;导数是研究函数 的通用、有效、简便的工具。用导数研究函数性质、进一步理解函数概念和性质的联系,是 对函数概念理解的又一次上升。 (6) 、新课标提高要求的部分: ①分段函数要求能简单应用 ②知道最小二乘法的思想要求 ③通过使利润最大,用料最省,效率最高等优化问题,体会导数在实际问题中的应用。 (7) 、新教材降低要求的内容: ① 函数:定义域、值域问题; ②三角函数:余切、正割、余割; ③立体几何:通过直观感知、操作确认,归纳出直线与平面、平面与平面平行、垂直 的判定定理; ④直线和圆:根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系; ⑤概率:概率教学的核心是了解随机现象(随机事件发生的不确定性及其频率的稳定 性) ;理解古典概型的特征:实验结果的有限性和等可能性(列举法计算) ; ⑥简易逻辑:对逻辑联结词“或”“且”“非”的含义,只要求通过数学实例加以了 解,帮助学生正确地表述相关的数学内容; ⑦统计:不应把统计处理成数字运算和画图表。对统计中的概念(如“总体”“样本” 等)应结合具体问题进行描述性说明,不应追求严格的形式化定义 ; ⑧解析几何:抛物线、双曲线的教学要求:了解、知道。 (8) 、新教材新增的知识点: ①幂函数 ②几何概型,条件概率 ③茎叶图、数据处理 ④全称量词与存在量词 ⑤定积分和微积分原理 ⑥算法、框图 ⑦三视图 (9) 、新课标删除的知识点: ①三垂线定理与逆定理 ②已知三角函数值求角 ③线段的定比分点、平移公式 ④分式不等式 2、认真上好每一节课: (1)课堂教学注意: ①注意六个不等: 讲得多≠掌握多; 难度大≠能力强; 技巧多≠分数高; 时间多≠效益高;

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训练多≠掌握牢; 考分低≠能力差。 ②课堂上注意:三放三不放 一放:放手学生练习 二放:学生板演讨论 三放:课堂师生交流 一不放:基础训练落实 二不放:认知冲突出现 三不放:即时生成问题 (1)第一轮课堂复习提倡“讲一课、学一法、会一类、通一片” 第二轮的课堂复习让学生“做”数学,提倡先做后讲的复习形式 “先做后讲,引发讨论,强调审题--入门思路--书写表达--易错漏点—联想反思”, 这时既用电脑又写黑板,原则上“黑板写过程,电脑出点评”; 例 7、已知函数 f ( x) ? ln(ax ? 1) ?

1? x , x ? 0 ,其中 a ? 0 1? x

? ? ? 若 f ( x) 在 x=1 处取得极值,求 a 的值; ? ?? ? 求 f ( x) 的单调区间;
(Ⅲ)若 f ( x) 的最小值为 1,求 a 的取值范围 【解析】 (Ⅰ) f '( x) ?

a 2 ax 2 ? a ? 2 ? ? , ax ? 1 (1 ? x) 2 (ax ? 1)(1 ? x) 2

∵ f ( x) 在 x=1 处取得极值,∴ f '(1) ? 0,即a? 2 ? a ? 2 ? 0, 解得 a ? 1. 1 (Ⅱ) f '( x) ? ∵ x ? 0, a ? 0,

ax 2 ? a ? 2 , (ax ? 1)(1 ? x) 2
∴ ax ? 1 ? 0.

①当 a ? 2 时,在区间 (0, ??)上,f '( x) ? 0, ∴ f ( x) 的单调增区间为 (0, ??). ②当 0 ? a ? 2 时, 由 f '( x) ? 0解得x ?

2?a 2?a ,由f '( x) ? 0解得x ? , a a

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∴ f ( x)的单调减区间为(0,

2-a 2-a ), 单调增区间为( , ?). ? a a

(Ⅲ)当 a ? 2 时,由(Ⅱ)①知, f ( x)的最小值为f (0) ? 1; 当 0 ? a ? 2 时, (Ⅱ) 由 ②知,f ( x) 在 x ?

2?a 2?a 处取得最小值 f ( ) ? f (0) ? 1, a a

综上可知,若 f ( x) 得最小值为 1,则 a 的取值范围是 [2, ??). 可以把问题 ? ?? ? 变为 ①若 f ( x) 的在区间 单调函数,求 a 的取值范围 (0, ?) ? ②若 f ( x) 的在区间 不单调,求 a 的取值范围 (0, ?) ? ③若 f ( x) 的在区间 存在单调减区间,求 a 的取值范围 (0, ?) ?

提高上课的效率,就是提高上课的有效性,高考中,一定要确保拿下选择、填空题,前 三条大题就是 108 分,要比较大把握拿下第四题,争取拿下第五题、第六题的第一问,所以 每一节解决与高考有关的一、两个问题,每一节都能提高 1 分,练在讲之前,讲在练之后, 老师在备课时要扮演三种角色:出题者,讲授者,接授者:这部分内容高考可能怎样出?如 果你是学生怎样才能学得到?你是老师怎样引导学生去领会、归纳,总结;每一节课都要讲 一道综合一点, (难度与高考第四题相当) ,并不要每位同学都听懂,我们讲授的大部分的内 容是要面对大多数,有个别题目是要跳起来才能摘到果子的,也要允许一部分同学摘不到, 因为对一个班而言,有人数学要考一百三四十分,有人没有理科特长,他要考七、八十多分 就行; 另外也不要怕在复习中学生出现的各种问题, 而且还要创设情景让学生暴露更多的问 题, 关键通过各种教学手段引导学生弄清失分的原因, 在复习的过程中把失分的可能性减到 最低,因为不怕平常出现问题,就怕考试出现问题。深化复习讲解的细度,对高考考点的热 点内容,力求讲解更加细致、深刻、到位;注意学法的指导,在教学渗透解题方法、技巧: what, when、 how、change、way。 高中数学共有十四章、九十个考点、220 个知识点左右,要教好学生,老师必须对每个 考点、知识点都要有深入,准确、到位的把握;老师在平常的教学中不仅要引导学生总结解 题方法,更重要是学生弄清楚什么时候用这种方法,数学是一门技术性很强的学科,只要训 练得当,拿到一定分数还是有可能的。 (2)立足基础,重组复习内容:让老师“做”数学,选择有价值复习资料 老师要下题海先要“做”数学,在题海中分析、总结、筛选“有价值”的素材。例如函 数的单调性问题,分析历年高考试题发现,考查函数单调性一般从以下两个问题设问: 问题一:研究函数的单调性 第一类:研究具体函数的单调性;

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层次一:考查基本知识和基本技能,即不含参数的函数单调性问题; 层次二:考查深层次的迁移能力,即含参数的单调性,以单调性为载体,研究二次不 等式 第二类:研究抽象函数的单调性问题。 问题二:已知单调性,研究参数(抽象函数常常与解不等式结合)

例 8: 设函数 f ( x) ? ax ? (a ? 1)ln( x ? 1) ,其中 a ? ?1 ,求 f(x)的单调区间 分析:∵ x ? ?1 ,∴ f / ( x) ? a ?
1 x a ? 1 ax ? 1 ,以下对 a 分类讨论能力要求不高 ? x ?1 x ?1

例 9:求函数 f ( x) ? x ? ? a ln x 的单调区间 分析:∵ f / ( x) ? 1 ? 一些 变式一:求函数 f ( x) ? ax ? ? ln x 的单调区间 分析:∵ f / ( x) ? a ? 次。 问题二的数学问题解题策略 例 10:已知函数 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? 3x ,若 f ( x) 在 x ? [1, ??) 上是增函数,求实数 a 的取值 范围 分析:∵ f / ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 3 ,则 f / ( x) ? 0 在[0, ?) 上恒成立,即 3x2 ? 2ax ? 3 ? 0 ? 方法一: a ?
3x 3 3x 3 在[0, ?) 恒成立,研究函数 y ? ? 的最小值 ? ? 2 2x 2 2x
1 1 ax 2 ? x ? 1 , ∴ ? ? 1 ? 4a ,分五类讨论,能力要求又上了一个层 ? ? x2 x x2 1 a x 2 ? ax ? 1 , ? ? x2 x x2

∴ ? ? 1 ? 4a ,将对判别式分类比例 5 要求高

1 x

方法二:研究函数 g ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 3 在[0, ?) 上最小值,令 g ( x)min ? 0 ? 方法三:令 3x2 ? 2ax ? 3 ? 0 ,解得 x ? x2 或 x ? x1 (其中 x1,x2 是方程 3x2 ? 2ax ? 3 ? 0 的两个根, x1 ? x2 ) 所以,函数单增区间是 ?,x1),(x2, ?) ,由题意知 x2 ? 1 ,?略 (? (3)每一个例题的功能定位,保障复习的针对性 复习课 的例题应该选择最具有代表性,能突出复习的重点。要注意例题要发挥以点带 面的功能。例题能进行变式,一题多变、达到一题多用的目的,认识数学问题的本质;例题
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能一题多解,真正发挥例题的作用,当然注意一解多题。 。 观察下面选择下面例题的功能定位: 例 11:设函数 f ? x ? ? x ? aIn ?1 ? x ? 有两个极值点 x1、x2 ,且 x1 ? x2
2

(I)求 a 的取值范围,并讨论 f ? x ? 的单调性; (II)证明: f ? x ? ? 1 ? 2 In2 2
4

【解析】解: ( I) f ? ? x ? ? 2 x ? a
2

1? x

?

2x2 ? 2x ? a ( x ? ?1) 1? x

令 g ( x) ? 2 x ? 2 x ? a ,其对称轴为 x ? ?

1 。由题意知 x1、x2 是方程 g ( x) ? 0 的两个 2

? ? 4 ? 8a ? 0 1 均大于 ?1 的不相等的实根,其充要条件为 ? ,得 0 ? a ? ? 2 ? g (?1) ? a ? 0

⑴当 x ? (?1, x1 ) 时, f ? ? x ? ? 0,? f ( x) 在 (?1, x1 ) 内为增函数; ⑵当 x ? ( x1 , x2 ) 时, f ? ? x ? ? 0,? f ( x) 在 ( x1 , x2 ) 内为减函数; ⑶当 x ? ( x2, ? ?) 时, f ? ? x ? ? 0,? f ( x) 在 ( x2, ? ?) 内为增函数; (II)由(I) g (0) ? a ? 0,??

1 2 ? x2 ? 0 , a ? ?(2 x 2 +2x2 ) 2


? f ? x2 ? ? x2 2 ? aln ?1 ? x2 ? ? x2 2 ? (2 x 2 2 +2x2 )ln ?1 ? x2 ?
设 h ? x ? ? x 2 ? (2 x 2 ? 2 x)ln ?1 ? x ? ( x ? ? ) ,

1 2

则 h? ? x ? ? 2 x ? 2(2 x ? 1)ln ?1 ? x ? ? 2 x ? ?2(2 x ? 1)ln ?1 ? x ? ⑴当 x ? (?

1 1 , 0) 时, h? ? x ? ? 0,? h( x) 在 [? , 0) 单调递增; 2 2

⑵当 x ? (0, ??) 时, h? ? x ? ? 0 , h( x ) 在 (0, ??) 单调递减。w

1 ? 2 In2 1 1 1 ? 2ln 2 ,故 . f ? x2 ? ? h( x2 ) ? ?当x ? (? , 0)时, h ? x ? ? h(? ) ? 4 2 2 4
不同的定位有不同的选取内容: ①如果以复习单调性为主题,规范解题表达,建议只要第 1 小题 ②如果以复习对不等式的理解、或不等式恒成立、或不等式有解、或研究函数最值, 都可以用完整的题,进行练习。 ③如果是以对函数不等式的理解为主题,建议将第 2 小题变式:

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2 变式一:证明 f ( x2 ) ? x2

变式二: 证明 f ( x2 ) ? f ( x1 ) 变式三: 证明 存在 x2 ,使 f ( x2 ) ? 0 例 12:O 是平面上 的一个定点,A、B、C 是平面上不共线的三点,动点 P 满足 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? , OP ? OA ? ? ( AB ? AC ) ? ? ( 0,?? ) ,则 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的 A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心 ( )

【解析】 因为 OP ? OA ? ? ( AB ? AC ) 所以 OP ? OA ? ?( AB ? AC ), 即 AP ? ? ( AB ? AC ) 所以 P 在 ?ABC 的中线上,即 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的重心, 故选 D

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

变式 1:O 是平面上 ??? ? ??? ??? ? ? AB OP ? OA ? ? ( ??? ? ? AB A.外心 B.内心

的一个定点,A、B、C 是平面上不共线的三点,动点 P 满足 ??? ? AC , ? ? ( 0,?? ) ,则 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的 ??? ) ? AC C.垂心 D.重心 ( )

??? ??? ? ? AB AC 【解析】因为 OP ? OA ? ?( ??? ? ??? ) ? ? AB AC ??? ??? ? ? AB AC 所以 OP ? OA ? ?( ??? ? ??? ) ? ? AB AC ??? ? ??? ? ??? ? AB AC 即 AP ? ?( ??? ? ??? ) ? ? AB AC ??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

所以 P 在 ?ABC 的角平分线上,即 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的内心, 故选 B 变式 2:O 是平面上 的一个定点,A、B、C 是平面上不共线的三点,动点 P 满足 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB AC , ? ? ( 0,?? ) , 则 P 的 轨 迹 一 定 通 过 OP ? OA ? ? ( ??? ? ??? ) ? ? AB cos B AC cos C

?ABC 的(
A.外心

) B.内心

C.垂心

D.重心

【解析】过 A 作 AD ? BC 于 D,

则 AB cos B= BD , AC cos C ? CD

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ? ??? ??? ? ? AB 所以 OP ? OA ? ?( ??? ? ? BD

??? ? AC ??? ) ? CD

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??? ??? ? ? ??? ???? ? ? ? ? AD ? DB AD ? DC 所以 ??? ??? ??? AP ? OP ? OA ? ?( ? ) ??? ? ??? ? BD CD

??? ? AD DB AD 所以 AP ? ? [( ??? ? ??? ) ? ( ??? ? DC )] ? ? ? ??? ? BD BD CD CD

??? ?

??? ?

??? ?

????

??? ? ? AD AD 1 1 ??? 所以 AP ? ?( ??? ? ??? ) ? ?( ??? ? ??? )AD ? ? ? ? BD CD BD CD
所以 P 在 ?ABC 的高上,即 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的垂心, 故选 C

??? ?

??? ?

变式 3:O 是平面上 的一个定点,A、B、C 是平面上不共线的三点,动点 P 满足 ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? OB ? OC ? AB AC , ? ? ( ?? ,?? ) ,则 P 的轨迹一定 OP ? ? ? ( ??? ? ??? ) ? ? 2 AB cos B AC cos C 通过 ?ABC 的( ) A.外心 B.内心

C.垂心

D.重心

【解析】设 E 为 BC 的中点,
??? ? ??? ? ? ? AB AC 则 ??? ??? OP ? OE ? ?( ??? ? ??? ) ? ? AB cos B AC cos C
??? ? ??? ? ? ? ? AB AC 所以 ??? ??? ??? EP ? OP ? OE ? ?( ??? ? ??? ) ? ? AB cos B AC cos C

? ? 1 1 ??? 根据变式 2: ??? EP ? ?( ??? ? ??? )AD ? ? BD CD
所以 P 点在线段 BC 的中垂线上,故选 A 【温馨提示】 “一题多变”是提高高三复习效果最有用的手段。 (4)备课组组内老师团结合作,充分发挥集体智慧, ,要深入钻研考试大纲,资源最大 限度地共享, 正确理解数学概念、 公式和定理的理解是记忆的前提, 同时又是应用的关键 (在 一模之前,我们做了两次的知识归纳,看来效果不错) ,现在网上资料很多,不能拿来就用, 一定要精选和重组, 因为外省的资料不一定适合新教材, 就是新教材的资料也不一定适合我 们现在这种程度的学生,注意核心知识,主干知识、热点知识的复习和掌握,重中之重是培 养运算能力。 3、注意规范性、准确性、完整性的训练:注意教材的准确表达,以防“隐性失分” 。 4、注意分层教育:对目标进行分解,对不同的学生提出不同的要求,使不同的学生享 受成功的快乐,从而进一步提高复习的效率研究学生的数学学习心理、摸清学生的学情,这 样才有针对性地提供给学生解决问题的思路和方法,对尖子,落后学生进行细致分类。对尖 子生先练后讲,落后的学生先讲后练。 尖子生的培养,采取“生生合作”训练法,主要通过度身定做的教材,作业,进行专题
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训练提高综合能力,并积累实战经验,通过提供阅读材料(近期杂志)扩大知识面,感受新观 点,由尖子生组成几个学习小组,交流学习的心得,通过强强结合,以求得“1+1》2”的 效果。开展生生合作,提高同学们学习积极性;从同学中来到同学中去,进行有效训练。 对学习有困难的学生先抓基础、重点和规范,稳步推进,寻找成功点,树立信心。加强 对后进生的学习方法的指导和心理的辅导工作, 而心理辅导的一个重要方面是让学生明白老 师并没有看不起他,老师是真心关心他,有时,一个关心的眼神、一句问候话语。比帮他补 习一节课、 教会他一两个知识点作用更大, 让学生明白一时的失败算不了什么, 正如伟大 的 哲学家尼采所说的“一颗树要获得更多阳光,长得更高,就要把根更深入黑暗里面” 。 6、捉细节,提成绩 7、最重要是抓落实:进一部做好“4+1”的训练,针对基础知识的每天都有的“走进 211”系列训练 ,有训练综合运用的每周都有”走向成功“系列,有训练高考应试能力、技 巧、心理的“飞跃”系列,也有老师教学心得体会的“决胜六月”系列,和培养尖子生的培 优系列等。 (1) 、认真布置好每天的作业:要充分发挥作业的练习,检查,补充,预习的功能,要 像重视课堂教学一样重视每天的作业的布置。 (2) 、要求学生养成做笔记和订正的习惯,而习惯的形成需要老师的检查和督促。 (3) 、注意对资料的积累和对各种题型、各种方法、还有可能引起失分的原因的总结和 归纳。 8、要充分发挥老师的人格魅力在高考备考中的作用: 要让学生学好数学, 就必须先给学生信心, 而怎么才能给学生信心呢?首先老师要专注 和投入,要有认真负责的态度,另外业务要精,教学水平强,驾驭课堂的能力要高,让学生 明白跟你学是可以提高成绩的,学生从心里面服你,那么,你的复习工作往往可以取事半功 倍的效果。 9、注意“四得” ;得人心、得课堂、得基础、得数学, 五、13 年高考复习备考的几点建议: 1、重视教育科研,加强高三数学复习教学模式有效性的探索:经过几年的探索,我们总 结了“2+X”集体备课模式,高三复习的“123”教学模式, “4+1”训练模式, 。 2、强化主干知识,突出新增内容: 3、坚持数学应用意识,控制考察难度: 加强应用棕意识的培养与考察是时代的需要, 是教育改革的需要, 也是数学科的特点所 确定的,应用题的特点是:密切联系教材,考察数学的重点知识,贴近生活,密切联系国家 政治、经济和人民的生活实际,具有强烈现实意义;新课程的试卷突出了新课程增加新知识 的应用题,反映出中学课程新增加的数学内容在解决实际问题中的应用。 4、注意知识的发生过程,重视学生自主探究、自主学习能力的培养: 5、注重通性通法,淡化特殊技巧,重视知识的迁移: 6、低起点、高定位、严要求、循环渐进:例如对分类讨论的训练。 7、几种有用的提法: (1)“快步走,多回头” 、 。 (2)“会做的可以不做”,课后的作业布置五条题,让学生至少做三题,会做的可以 、 不做,这样做可以把主动权让给学生,提高了复习的效率,而且锻练了学生高考对题目能 否会做的判断能力。 (3)“单元过关,分层推进,分类突破”。 (4)“紧盯尖子生,狠抓临界生,关心后进生” 。 (5) “抓基础,抓重点,抓落实, ”
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(6) “重组教材,夯实基础,有效训练,及时反馈。 ” 总之,高考备考工作没有捷径可走,要让学生“知情” ,并让学生“领情” ,就是走了直 径。

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