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向量法证明线面平行及垂直问题教案

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龙文学校个性化辅导教案提纲

教师:_______ 学生:_______ 年级:______ 授课时间:_____年___月___日_____——_____段 一、授课目的与考点分析:向量法证明线面平行及垂直
掌握空间向量的坐标表示和坐标运算,会找直线的方向向量和平面的法向量,并通过它们研究线面关系,会用向量 法求空间距离.

二、授课内容及过程:

考点 1.利用空间向量证明空间垂直问题

例 1:已知三棱锥 P-ABC 中,PA⊥面 ABC,AB⊥AC,PA=AC= 1 AB ,N 为 AB 上一点,AB=4AN,M,S 分别为 PB,BC 2

的中点.证明:CM⊥SN;

证明:设 PA=1,以 A 为原点,射线 AB,AC,AP 分别为 x,y,z 轴正向建立空

间直角坐标系如图,则 P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M(1,0, 1 ),N( 1 ,0,0),

2

2

S(1, 1 ,0) CM ? (1, ?1, 1), SN ? (? 1 , ? 1 , 0) ,

2

2

22

因为 CM ? SN ? ? 1 ? 1 ? 0 ? 0 , 所以 CM⊥SN . 22

【点评】对坐标系易建立的空间线线垂直判定(证明)问题,常用向量法,即通

过证明所证直线的方向向量的数量积为 0 证明两直线垂直.

例 2:在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 、 F 分别是棱 BC , CC1 上的点, CF = AB = 2CE , AB : AD : AA1 =

1: 2 : 4 .证明 AF ? 平面 A1ED 解析:如图所示,建立空间直角坐标系,点 A 为坐标原点,设 AB ?1,依题意得

D(0, 2, 0) , F(1, 2,1) ,

A1

(0,

0,

4)

,

E

???1,

3 2

,

0

? ??

已知

AF

? (1, 2,1)

,

EA1

?

? ??

?1,

?

3 2

,

4

? ??

,

ED

?

? ??

?1,

1 2

,

0

? ??

于是

AF

·

EA1

=0 ,

AF · ED =0.因此, AF ? EA1 , AF ? ED ,又 EA1 ? ED ? E
所以 AF ?平面 A1ED
【点评】对坐标系易建立的空间线面垂直问题,通常用向量法,先求出平面的法 向量和直线的方向向量,证明平面法向量与直线的方向向量平行或者直接用向量 法证明直线与平面内两条相交直线垂直,再用线面垂直判定定理即可.
例 3:在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是正方形, MA ? 平面 ABCD , PD // MA, E 、G 、 F 分别为 MB 、PB 、PC 的中点,且 AD ? PD ? 2MA. 求证:平面 EFG ? 平面 PDC .
解析:以 A 为原点,向量 DA , AB , AM 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向,如

图 建立 坐标 系,设 AM=1 ,则 AD=AB=PD=2,则 B(0,2,0),C(- 2,2,0),D(-2,0,0),P(- 2,0,2), M(0,0,1), 则
E(0,1, 1 ),G(-1,1,1),F(-2,1,1), 2
∴ EG =(-1,0, 1 ), GF =(-1,0,0),设平面 EFG 的法向量 m =( x , y , z ),则 2
EG ? m = ?x ? 1 z =0 且 GF ? m = ?x =0,取 y =1,则 x = z =0,∴ m =(0,1,0), 2
易证面 PDC 的法向量为 DA =(2,0,0), ∵ m ? DA = 2?0 ? 0?1? 0?0 =0,

∴ m ⊥ DA , ∴平面 EFG ? 平面 PDC

【点评】对于易建立空间坐标系的面面垂直问题,常向量法,即先建立坐标系,求出两个平面的法向量,通过证明 这两个平面的法向量垂直,即得面面垂直. 考点 2.利用空间向量处理空间平行关系
例 4:在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 ,E 是棱 DD1 的中点。在棱 C1D1 上是否存在一点 F,使 B1F ∥平面 A1BE ?证明你
的结论。 解析:以 A 为坐标原点,如图建立坐标系,设正方形的棱长为 2,则
B(2,0,0),E(0,2,1), A1 (0,0,2), B1 (2,0,2),∴ BE =(-2,2,1), BA1 =(-2,0,2),

设面 BEA1 的法向量为 m =( x , y , z ),则

m

?

BE

=

?2x

?

2y

?

z

=0



m

?

BA1

=

2x

?

2z

=0,取

x

=1,则

z

=-1,

y

=

3 2





m

=(1,

3 2

,-1),假设在棱

C1D1

上存在一点

F,使

B1F

∥平面

A1BE



设 F( x0 ,2,2)(0≤ x0 ≤2),则 BF =( x0 ? 2 ,2,2),



m

?

BF

=1?

( x0

?

2)

?

3 2

?

2

?

(?1) ?

2

=0,

解得 x0 =1, ∴当 F 为 C1D1 中点时, B1F ∥平面 A1BE .

【点评】对于易建立坐标系的线面平行问题的向量解法,有两种思路:(1)用共面向量定理,证明直线的方向向量 能用平面内两条相交直线的方向向量表示出来,即这三个向量共线,根据共面向量概念和直线在平面外,可得线面 平行;(2)求出平面法向量,然后证明法向量与直线的方向向量垂直即可.对于探索性问题,通常先假设成立,设出 相关点的坐标,利用相关知识,列出关于坐标的方程,若方程有解,则存在,否则不存在.注意,(1)设点的坐标时, 利用点在某线段上,设出点分线段所成的比,用比表示坐标可以减少未知量,简化计算;(2)注意点的坐标的范围.

例 5 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧棱垂直于底面,在底面 ABC 中 ?ABC = 900 ,D 是 BC 上一点,且 A1B ∥面 AC1D ,

D1 为 B1C1 的中点,求证:面 A1BD1 ∥面 AC1D .

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解析:以 B 点为原点,如图建立坐标系,设 AB= a ,BC= 2b ,BB1 = c ,则 A( a ,0,0),

C1 (0, 2b , c ), B1 (0,0, c ), A1 ( a ,0, c ), ∴ D1 (0, b , c ),设 D(0, y0 ,

0)(0≤ y0 ≤ 2b ),∴ AD =(- a , y0 ,0), AC1 =(- a , 2b , c ),

BA1 =( a ,0, c ), BD1 =(0, b , c ),设面 AC1D 的法向量为 m =( x1 , y1 , z1 ),

则 m ? AD = ?ax1 ? y0 y1 =0 且 m ? AC1 = ?ax1 ? 2by1 ? cz1 =0,取 y1 = a ,则 x1 = y0 ,

z1

=

ay0

? c

2ab

,则

m

=(

y0



a



ay0

? c

2ab

),

又∵ A1B ∥面 AC1D ,

∴ m ? BA1 = ay0

? c ? ay0

? c

2ab

=0,解得

y0

=

b



∴m

=( b , a , ? ab ), c

设面 A1BD1 的法向量为 n =( x2 , y2 , z2 ),则 n ? BA1 = ax2 ? cz2 =0 且 n ? BD1 = by2 ? cz2 =0,



z2

=1,则

x2

=

?

c a



y2

=

?

c b

,则

n

=(

?

c a



?

c b

,1),

∴n=? c m, ∴m ∥n, ab

∴面 A1BD1 ∥面 AC1D .

【点评】对面面平行问题的向量方解法有两种思路,(1)利用向量证明一个面内两条相交直线分别与另一个平面平 行,根据面面判定定理即得;(2)求出两个平面的法向量,证明这两个法向量平行,则这两个面就平行. 六、本次作业及点评:

课后练习

四、学生对本次课的评价:

○ 特别满意

○ 满意

○ 一般

○差

五、教师评定: 1、学生上次作业评价: ○ 好 2、学生本次上课情况评价: ○ 好

○ 较好 ○ 较好

○ 一般 ○ 一般

学生签字:______________

○差 ○差

教师签字:_______________


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