山东省威海市2015届高三第二次高考模拟数学(理)试题

高三理科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 4 页．考试时间 120 分钟．满分 150 分．答题前，考生务必用 0.5 毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在答题纸规定的位置． 共 50 分） 注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． 一、选择题:本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的． 1.已知复数 z 满足 (2 ? i)2 ? z ? 1 ，则 z 的虚部为 （A）

第Ⅰ卷（选择题

3 i 25

（B）

3 25

（C）

4 i 25

（D）

4 25

2.已知集合 A ? {x | x2 ? a}, B ? {?1,0,1} ，则 a ? 1 是 A ? B 的 （A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 3.设单位向量 e1 , e2 的夹角为 120 ， a ? 2e1 ? e2 ，则 | a |? （A） 3 （B） 3 （C） 7 （D） 7 4.已知等差数列 ?an ? 满足 a6 ? a10 ? 20 ，则下列选项错误的是 （A） S15 ? 150 5.双曲线 （B） a8 ? 10 （C） a16 ? 20 （D） a4 ? a12 ? 20

x2 y 2 ? ? 1 的顶点到其渐近线的距离为 2 4
3 3
（B）

（A）

2 3 3

（C）

6 3

（D）

2 6 3

? x2 ? y 2 ? 4 ? 6.已知 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ，则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
（A） 2 （B） 5 （C） 4 （D） 2 5

7.周期为 4 的奇函数 f ( x ) 在 [0, 2] 上的解析式为 f ( x) ? ?

? x2 ,

0 ? x ?1

?log 2 x ? 1,1 ? x ? 2

，则

f (2014)+f (2015) ?
（A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3

8.已知 m, n, l 是不同的直线， ? , ? 是不同的平面，以下命题正确的是 ①若 m ∥ n ， m ? ? , n ? ? ，则 ? ∥ ? ；②若 m ? ? , n ? ? ， ? ∥ ?，l ? m ，则 l ? n ；③若

m ? ? , n ? ? , ? ∥ ? ，则 m ∥ n ；④若? ? ? ， m ∥? ， n ∥ ? ，则 m ? n ；
高三理科数学第 1 页（共 10 页）

（A）②③

（B）③

（C）②④

（D）③④

9.在 ?ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c ，若 c 2 ? (a ? b)2 ? 6 ， ?ABC 的面积为 则C ? （A）

3 3 ， 2

2? ? 5? 1 2 10.设 f ?( x 6f ?( x) ? xf ( x) ? 6 ln x, f (e) ? ，则下列结论正确的是 3 3x ) 为函数 f ( x) 的导函数，已知 e
（A） f ( x ) 在 (0, ??) 单调递增 （C） f ( x ) 在 (0, ??) 上有极大值 （B） f ( x ) 在 (0, ??) 单调递减 （D） f ( x ) 在 (0, ??) 上有极小值 共 100 分）

?

（B）

（C）

（D）

第Ⅱ卷（非选择题

注意事项： 1． 请用 0.5 毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要 先划掉原来的答案，然后再写上新答案． 2． 不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效． 二、填空题:本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 开始 11.用分层抽样的方式对某品牌同一批次两种型号的产品进行 抽查，已知样本容量为 80，其中有 50 件甲型号产品，乙型 n ? 1, S ? 0 号产品总数为 1800，则该批次产品总数为________. 12.右面的程序框图输出的 S 的值为_____________. 13.已知 x ? 0, y ? 0 且 x ? y ? 2 ，则 最小值为______. 14.若 f ( x) ?

1 1 1 的 ? 2? 2 x y xy

n?4
是

否

?

1

0

f ( x)dx ? x ， 则 ? f ( x)dx ? _________.
0

1

S ?S?

1

输出 S 结束

n

15.函数 f ( x) ?| x ? 2 x ?
2

1 3 | ? x ? 1 的零点个数为___________. 2 2

n ? n ?1

三、解答题:本大题共６小题，共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分 12 分）已知向量 m ? (2 cos?x,?1), n ? (sin?x ? cos?x,2) (? ? 0) ， 函数 f ( x) ? m ? n ? 3 ，若函数 f ( x) 的图象的两个相邻对称中心的距离为 （Ⅰ）求函数 f ( x) 的单调增区间； （Ⅱ）若将函数 f ( x) 的图象先向左平移 到函数 g ( x) 的图象，当 x ? [

? . 2

? ?

? 1 个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 倍，得 2 4

, ] 时，求函数 g ( x) 的值域. 6 2

17.（本小题满分 12 分）一汽车 4S 店新进 A,B,C 三类轿车,每类轿车的数量如下表: 类别 A B C

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数量

4

3

2

同一类轿车完全相同，现准备提取一部分车去参加车展. （Ⅰ）从店中一次随机提取 2 辆车，求提取的两辆车为同一类型车的概率; （Ⅱ）若一次性提取 4 辆车，其中 A,B,C 三种型号的车辆数分别记为 a, b, c ，记 ? 为 a, b, c 的最大 值，求 ? 的分布列和数学期望.

18.（本小题满分 12 分）已知 { an } 是各项都为正数的数列，其前 n 项和为 Sn ，且 Sn 为 an 与 差中项. （Ⅰ）求证：数列 {Sn 2 } 为等差数列； （Ⅱ）求数列 {an } 的通项公式； （Ⅲ）设 bn ?

1 的等 an

(?1)n , 求 {bn } 的前 n 项和 Tn . an

19.（本小题满分 12 分）如图： BCD 是直径为 2 2 的半圆， O 为圆心， C 是 BD 上一 点，且 BC ? 2CD . DF ? CD ，且 DF ? 2 ， BF ? 2 3 ， E 为 FD 的中点， F

Q 为 BE 的中点， R 为 FC 上一点,且 FR ? 3RC .
(Ⅰ) 求证： QR ∥平面 BCD ； （Ⅱ）求平面 BCF 与平面 BDF 所成二面角的余弦值. B E Q O C R D

20.（本小题满分 13 分）已知函数 f ( x) ?

x ? ax, x ? 1 . ln x

（Ⅰ）若 f ( x ) 在 ?1, ?? ? 上单调递减，求实数 a 的取值范围； （Ⅱ）若 a ? 2 ，求函数 f ( x ) 的极小值；
n ? （Ⅲ）若存在实数 a 使 f ( x ) 在区间 (e n , e )(n ? N , 且 n ? 1) 上有两个不同的极值点，求 n 的最小值. 1

21.（本小题满分 14 分）如图，过原点 O 的直线 l1 , l2 分别与 x 轴， y 轴成 30 ? 的角，点 P(m, n) 在 l1 上

高三理科数学第 3 页（共 10 页）

运动，点 Q( p, q) 在 l2 上运动，且 | PQ |? 2 2 . （Ⅰ）求动点 M (m, p) 的轨迹 C 的方程； （Ⅱ）设 A, B 是轨迹 C 上不同两点，且 kOA ? kOB ? ? （ⅰ）求 OA ? OB 的取值范围； (ⅱ)判断 ?OAB 的面积是否为定值？若是,求出该 定值，不是请说明理由.

1 ， 3

高三理科数学第 4 页（共 10 页）

高三理科数学试题参考答案
一、选择题 二、填空题 11. 4800 ； 12.

D A D C B, D B B A B
25 ； 12
13. 3 ； 14.

1 ； 4

15. 2 ；

三、解答题 16. （本小题满分 12 分） 解： （Ⅰ） f ( x) ? m ? n ? 3 ? 2 cos?x(sin?x ? cos?x) ? 2 ? 3

? sin 2? x ? 2 cos 2 ? x ? 1 ? sin 2? x ? cos 2? x ? 2 sin(2? x ? ) 4
由题意知， T ?

?

，

----------------------2 分

2? ? ? ，? ? ? 1， 2?

----------------------3 分 ----------------------4 分

? f ( x) ? 2 sin( 2 x ?
由 2k? ?

?

?
2

? 2x ?

?
4

4

).

? 2k? ?

?
2

,k ? Z ，
----------------------5 分? f ( x) 的单调增 ----------------------6 分

解得： k? ? 区间为 [k? ?

?
8

? x ? k? ? , k? ?

?

（Ⅱ）由题意，若 f ( x) 的图像向左平移

? ? 个单位，得到 y ? 2 sin(2 x ? ) ， 4 4 1 ? 再纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 倍，得到 g ( x) ? 2 sin( 4 x ? ) ，------8 分 2 4 ? ? ? 11? 9? , ]， ----------------------10 分 ? x ? [ , ] ，? 4 x ? ? [ 6 2 4 12 4
? ? 1 ? sin(4 x ?

8

3? ], k ? Z . 8

3? ,k ? Z , 8

?
4

)?

2 ， 2

----------------------11 分

? 函数 g ( x) 的值域为 [? 2,1] .
17． （本小题满分 12 分） 解:（Ⅰ）设提取的两辆车为同一类型的概率为 P ,

---------------------12 分

P?

2 2 2 c4 ? c3 ? c2 6 ? 3 ?1 5 ? ? 2 c9 36 18

----------------------4 分

（Ⅱ）随机变量 ? 的取值为 2，3，4.

----------------------6 分

高三理科数学第 5 页（共 10 页）

4 c4 1 ∴ p(? ? 4) ? 4 ? c9 126 3 1 3 1 C4 C5 ? C3 C6 20 ? 6 13 ? ? 2 C9 126 63

∴ P(? ? 3) ?

∴ P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 4) ? P(? ? 3) ? 1 ? ∴其分布列为

1 26 99 11 ? ? ? 126 126 126 14

?
p

2

3

4

11 14

13 63

1 126
----------------------10 分

数学期望为 E? ? 2 ?

11 13 1 20 ? 3? ? 4 ? ? 14 63 126 9

----------------------12 分

18.（本小题满分 12 分） （Ⅰ）由题意知 2Sn ? an ?

1 ，即 2Sn an ? an 2 ? 1 ，① an

----------------------1 分 ----------------------2 分

当 n ? 1 时，由①式可得 S1 ? 1 ;

又 n ? 2 时,有 an ? Sn ? Sn?1 ，代入①式得 2Sn (Sn ? Sn?1 ) ? (Sn ? Sn?1 )2 ? 1
2 整理得 Sn 2 ? Sn? 1 ? 1,(n ? 2) ．

----------------------3 分 ----------------------4 分 ----------------------5 分 ----------------------6 分 ----------------------7 分 ----------------------8 分

∴ {Sn 2 } 是首项为 1，公差为 1 的等差数列. （Ⅱ） 由（Ⅰ）可得 Sn2 ? 1 ? n ?1 ? n ， ∵ { an } 是各项都为正数，∴ Sn ? n ， ∴ an ? Sn ? Sn?1 ? n ? n ?1 （ n ? 2 ） ， 又 a1 ? S1 ? 1 ,∴ an ? n ? n ?1 ．

(?1)n (?1)n （Ⅲ） bn ? ? ? (?1)n an n ? n ?1
当 n 为奇数时，

?

n ? n ?1 ,

?

----------------------9 分

Tn ? ?1? ( 2 ?1) ? ( 3 ? 2) ?
当 n 为偶数时，

? ( n ?1 ? n ? 2) ? ( n ? n ?1) ? ? n

Tn ? ?1? ( 2 ?1) ? ( 3 ? 2) ?

? ( n ?1 ? n ? 2) ? ( n ? n ?1) ? n

高三理科数学第 6 页（共 10 页）

∴ {bn } 的前 n 项和 Tn ? (?1)n n . 19． （本小题满分 12 分） 解:(Ⅰ)连接 OQ，在面 CFD 内过 R 做 RM⊥CD ∵O,Q 为中点，∴OQ∥DF,且 OQ ? ∵ DF ? CD ∴RM∥FD,

----------------------12 分

F

1 DE -----------------2 分 2

z
E R O M D

RM CR 1 1 ? ? ,∴ RM ? DF DF CF 4 4 B 1 ∵E 为 FD 的中点，∴ RM ? DE . ----------------------4 分 2
又 FR ? 3RC ,∴ ∴ OQ ∥ RM ,且 OQ ? RM ∴ OQRM 为平行四边形，∵ RQ ∥ OM 又 RQ ? 平面 BCD , OM ? 平面 BCD , ∴ QR ∥平面 BCD .

Q

y

x

C

----------------------6 分

2 2 2 （Ⅱ）∵ DF ? 2 , BF ? 2 3 , BD ? 2 2 ,∴ BF ? BD ? DF ,∴ BD ? DF ,

又 DF ? CD ,∴ DF ⊥平面 BCD . 以 O 为原点， OD 为 y 轴建立如图空间直角坐标系

----------------------7 分

∵ BC ? 2CD ，∴ ?DBC ＝30 ，∴在直角三角形 BCD 中有 CD ? 2
0

∴ B(0, ? 2,0), C (

6 2 , ,0), F (0, 2, 2) 2 2

----------------------8 分

∴ BC ? (

6 3 2 , , 0), BF ? (0, 2 2, 2) ，设平面 BCF 的法向量为 m ? ( x, y, z), 2 2
，令 y ? 1 ，则 z ? ? 2, x ? ? 3, ∴ m ? (? 3,1, ? 2),

? 6 3 x? 2y ? 0 ? ∴? 2 2 ?2 2 y ? 2 z ? 0 ?

----------------------10 分 面 BDF 的一个法向量为 n ? (1,0,0) 则 cos ? m, n ?? ?

3 2 ?? 2 6
----------------------12 分

∴平面 BDF 与平面 BCF 所成二面角的余弦值为

2 . 2

说明：此题也可用传统的方法求解，第一问也可用向量法证明. 20.（本小题满分13分） 高三理科数学第 7 页（共 10 页）

ln x ? 1 ? a ,由题意可得 f ?( x) ? 0 在 x ? ?1, ?? ? 上恒成立；----------------------1 分 ln 2 x 1 1 1 1 1 ?( ? )2 ? ， ∴a ? 2 ? ----------------------2 分 ln x ln x ln x 2 4
解： （Ⅰ） f ?( x ) ? ∵ x ? ?1, ?? ? ，∴ ln x ? ? 0, ??? ， ∴ ----------------------3 分

1 1 1 1 1 1 ? ? 0 时函数 t ? ( ? ) 2 ? 的最小值为 ? ， ln x 2 ln x 2 4 4 1 ∴a ? ? ----------------------4 分 4 x ? 2x (Ⅱ) 当 a ? 2 时， f ( x) ? ln x

f ?( x) ?

ln x ? 1 ln x ? 1 ? 2ln 2 x ? 2 ? ln 2 x ln 2 x
2

----------------------5 分

令 f ?( x) ? 0 得 2ln x ? ln x ? 1 ? 0 ， 解得 ln x ?
1 1 或 ln x ? ?1 （舍） ，即 x ? e 2 2 1 1

----------------------7 分

当 1 ? x ? e 2 时， f ?( x) ? 0 ，当 x ? e 2 时， f ?( x) ? 0
1 1 1 e2 ? 2e 2 ? 4e 2 ∴ f ( x ) 的极小值为 f (e ) ? 1 2 1 2

----------------------8 分

n ? （Ⅲ）原题等价于 f ?( x) ? 0 在 (e n , e ),(n ? N , 且 n ? 1) 上有两个不等的实数根；

1

由题意可知 f ?( x) ?

ln x ? 1 ln x ? 1 ? a ln 2 x ? a ? ln 2 x ln 2 x
1

---------------------9 分

n 即 a ln x ? ln x ? 1 ? 0 在 (e n , e ) 上有两个不等实根.
2

----------------------10 分

法一：令 ln x ? u , (

1 ? u ? n) ， g (u) ? au 2 ? u ?1 n

∵ g (0) ? ?1 ? 0 ，根据图象可知：

高三理科数学第 8 页（共 10 页）

? ? 1 ?a ? 0 ?? 4 ? a ? 0 ? ? ? ? ? 1 ? 4a ? 0 ?? n ? a ? ? 1 ? 1 ?1 ? ? n ，整理得 ? 2 2n ? ?? n 2 a 2 ? ?a ? n ? n ? 1 ? 1 1 ?g( n) ? 0 ? a? 2 ? ? ? n n ? ? ? g ( n) ? 0
1 2 1 1 1 , n ? n, 2 ? }min ? ? ，解得 n ? 2 ， 2n n n 4 ∴ n 的最小值为 3 .
即 {? 法二： 令 ln x ? u , ( 由题意可知

----------------------11 分

----------------------13 分

1 u ?1 1 1 1 1 1 ? u ? n) ， a ? ? 2 ? ( ? ) 2 ? , ( ? ? n) ----------------------11 分 n u u 2 4 n u

?1 1 ? ?n ? 2 ? n ?n ? 2 ? ? 1 2 ? ? 1 2 ? ? ? a ? n ? n 解得 ?(n ? ) ? 0 2 ? ? 4 1 1 ? 1 1 2 ? 1 ( ? ) ?0 ? ?? 4 ? a ? n 2 ? n ? n 2 ?
解得 n ? 2 ，∴ n 的最小值为 3 . 21. （本小题满分 14 分） 解： （Ⅰ）由题意知 l1 : y ? ----------------------13 分

3 x, l2 : y ? ? 3x, 3

----------------------1 分

∴ P (m,

3 m), Q( p, ? 3 p) ，由 | PQ |? 2 2 得 3
m2 p 2 3 ? ?1 m ? 3 p) 2 ? 8 ，整理得 6 2 3 m2 p 2 ? ? 1. 6 2
----------------------3 分

(m ? p) 2 ? (

所以动点 M 的轨迹 C 的方程

（Ⅱ）设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 所在直线为 l ， 当 l 斜率不存在时，则 A( x1 , y1 ), B( x1 , ? y1 ),? kOA ?

y1 y , kOB ? ? 1 x1 x1

高三理科数学第 9 页（共 10 页）

由 kOA ? kOB

x12 y12 y12 1 2 2 ? ? 1 ，? y12 ? 1 ? ? 2 ? ? ? x1 ? 3 y1 ，又 6 2 x1 3
---------------------5 分

?OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? 2 y12 ? 2
当 l 斜率存在时，设 l 方程 y ? kx ? m ，

联立 ?

? y ? kx ? m ?x ? 3y ? 6
2 2

，得 (1 ? 3k 2 ) x2 ? 6kmx ? 3m2 ? 6 ? 0

----------------------6 分

?? ? 36k 2m2 ?12(3k 2 ? 1)(m2 ? 2) ? 12(6k 2 ? m2 ? 2) ? 0.........(a)
且 x1 ? x2 ?

?6km 3m2 ? 6 , x x ? . 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

----------------------7 分

由 k ? k ? y1 y2 ? ? 1 ? x x ? ?3 y y ? ?3(kx ? m)(kx ? m) OA OB 1 2 1 2 1 2

x1 x2

3

? (1 ? 3k 2 ) x1 x2 ? 3km( x1 ? x2 ) ? 3m 2 ? 0
整理得 m ? 1 ? 3k ................(b)
2 2

----------------------9 分

? OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ?
2 2

2 2m 2 ? 4 2 m 2 ? 4 4 x1 x2 ? ? ? 2? 2 2 2 3 1 ? 3k m m
4 ? 4 ，??2 ? OA ? OB ? 2 m2
----------------------11 分

由 ( a ), (b) 得 m ? 1 ? 3k ? 1, ? 0 ? 综上：??2 ? OA ? OB ? 2 .

2 （2）由（1）知， l 斜率不存在时， S?OAB ?| x1 y1 |? 3 y1 ? 3 ，--------------------12 分

当 l 斜率存在时， S ?OAB ?
2 2

1 1 |m| 2 ? 6k 2 ? m 2 | AB | d ? 1 ? k 2 | x1 ? x2 | ? 3|m| 2 2 1 ? 3k 2 1? k 2

将 m ? 1 ? 3k 带入整理得 S?OAB ? 3 所以 ?OAB 的面积为定值 3 . ----------------------14 分

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