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【金版学案】2015-2016高中数学 2.2.3平面与平面平行的性质练习 新人教A版必修2


2.2.3
基 础 梳 理

平面与平面平行的性质

?思考应用 如果两个平面平行, 那么在其中一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系?有何 作用? 解析:由面面平行的定义可知:如果两个平面平行,其中一个平面内的任意直线与另一 个平面平行,通过该结论,可利用面面平行推出线面平行,为证线面平行提供了一个方法. 自 测 自 评

1.若 α ∥β ,a? α ,下列四个命题正确的是(B) ①a 与 β 内所有直线平行;②a 与 β 内无数条直线平行;③a 与 β 内任意直线都不垂 直;④a 与 β 无公共点.

A.①② B.②④ C.②③ D.①③④
2.已知 α ∥β ,下面正确的是(D)

A.若 a? α ,b? β 则 a∥b B.若 a? α ,b? β 则 a,b 异面 C.若 a? α ,b∥β 则 a∥b D.若 a? α ,b? β 则 a∥β ,b∥α
3.平面 α ∥平面 β ,若直线 AB? α ,直线 CD? β ,则直线 AB 和 CD(C)
1

A.平行 B.是异面直线 C.是不相交的两条直线 D.不是异面直线
4.右图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形 EFGH 为截面,则四边形 EFGH 的形 状为平行四边形.

解析:∵平面 ABFE∥平面 CDHG, 又平面 EFGH∩平面 ABFE=EF, 平面 EFGH∩平面 CDHG=HG, ∴EF∥HG. 同理 EH∥FG, ∴四边形 EFGH 的形状是平行四边形.

基 础 达 标 1.已知直线 a∥平面 α ,则 a 与平面 α 内的直线的位置关系为(C)

A.相交 B.平行 C.异面或平行 D.异面
2.已知 α ,β 是两个不同的平面,下列四个条件中能推出 α ∥β 的是(C) ①存在一条直线 a,a⊥α ,a⊥β ; ②存在一个平面 γ ,γ ⊥α ,γ ⊥β ; ③存在两条平行直线 a,b,a? α ,b? β ,a∥β ,b∥α ; ④存在两条异面直线 a,b,a? α ,b? β ,a∥β ,b∥α .

A.①③ B.②④ C.①④ D.②③
解析:对于①,垂直于同一直线的两个平面平行,故当 a⊥α ,a⊥β ,α ∥β ,故① 正确; 对于②,若 γ ⊥α ,γ ⊥β ,α 与 β 可能平行,也可能相交(此时 α ,β 的交线与 γ 垂直),故②不正确;
2

对于③,若 a? α ,b? β ,a∥β ,b∥α ,则 α 与 β 可能平行,也可能相交(此时 a, b 均与交线平行),故③不正确; 对于④,存在两条异面直线 a,b,a? α ,b? β ,a∥β ,b∥α .可将 α 内的直线平 移到 β 内的直线 c,则有相交直线 b,c 都与平面 α 平行,根据面面平行的判定定理,可 得④正确.故选 C. 3.P 是△ABC 所在平面外一点,平面 α ∥平面 ABC,α 交线段 PA,PB,PC 于 A′,B′, C′,若 PA′∶AA′=2∶3,则 S△A′B′C′∶S△ABC=(B)

A.2∶25 B.4∶25 C.2∶5 D.4∶5
解析:易知平面 ABC∥平面 A′B′C′, ∴AC∥A′C′,BC∥B′C′,AB∥A′B′. ∴△A′B′C′∽△ABC. 又∵PA′∶AA′=2∶3, ∴ ∴ PA′ A′C′ 2 = = . PA AC 5 S△A′B′C′ 4 = . S△ABC 25

4.已知平面 α ∥平面 β , P 是 α ,β 外一点,过点 P 的直线 m 与 α , β 分别交于点 A, C,过点 P 的直线 n 与 α ,β 分别交于点 B,D,且 PA=6,AC=9,PD=8,则 BD 的长为(B)

A.16 B.24 或 C.14 D.20

24 5

24 解析:当点 P 在 α ,β 的同侧时,BD= ,当点 P 在 α ,β 两平面之间时,BD=24. 5 5.判断命题的真假(对的在括号内打“√”,错的打“×”): (1)平行于同一直线的两直线平行.( (2)平行于同一直线的两平面平行.( ) )
3

(3)平行于同一平面的两直线平行.( (4)平行于同一平面的两平面平行.( 答案:(1)√ (2)× (3)× (4)√

) )

6.(1)过平面外一点作该平面的平行平面只有一个,对吗? (2)过平面外一点作该平面的平行直线只有一条,对吗? (3)过平面外一条直线作该平面的平行平面一定有一个,对吗? (4)两个平面不相交就一定平行,对吗? 答案:(1)对 (2)错 (3)错 (4)对

巩 固 提 升 7.如图所示,在正三棱柱 ABCA1B1C1 中,E,F,G 是侧面对角线上的点,且 BE=CF=AG. 求证:平面 EFG∥平面 ABC.

证明:作 EP⊥BB1 交于点 P,连接 PF, 在正三棱柱 ABCA1B1C1 的侧面 ABB1A1 中,易知 A1B1⊥BB1,又 EP⊥BB1, BE BP ∴EP∥A1B1∥AB.∴EP∥平面 ABC,且 = . A1B BB1 又∵BE=CF,A1B=CB1, ∴ CF BP = .∴PF∥BC,则 PF∥平面 ABC. CB1 BB1

∵EP∩PF=P,∴平面 PEF∥平面 ABC. ∵EF? 平面 PEF,∴EF∥平面 ABC. 同理:GF∥平面 ABC. ∵EF∩GF=F,∴平面 EFG∥平面 ABC. 8.如图,已知平面 α ∥平面 β ,线段 PQ,PF,QC 分别交平面 α 于 A,B,C 点,交平 面 β 于 D,F,E 点,PA=9,AD=12,DQ=16,△ABC 的面积是 72,试求△DEF 的面积.

4

解析:平面 α ∥平面 β , ∴AB∥DF,AC∥DE, ∴∠CAB=∠EDF. 在△PDF 中,AB∥DF, PA+AD 7 DF= ·AB= AB, PA 3 4 同理 DE= AC. 7 1 4 S△DEF= ·DF·DE·sin∠EDF= S△ABC=96. 2 3 9.如右下图所示,在长方体 ABCD?A1B1C1D1 中,E 是 BC 的中点,M,N 分别是 AE,CD1 的 中点.求证:MN∥平面 ADD1A1.

证明:如下图所示,取 CD 的中点 K,连接 MK、NK.

5

∵M、N、K 分别为 AE、CD1、CD 的中点, ∵MK∥AD,MK?平面 ADD1A1,AD? 平面 ADD1A1 ∴MK∥平面 ADD1A1,同理 NK∥平面 ADD1A. 而 MK 与 NK 相交, ∴平面 MNK∥平面 ADD1A1. ∵MN? 平面 MNK, ∴MN∥平面 ADD1A1.

1.面面平行的性质定理揭示了面面平行中蕴涵着线线平行,通过面面平行可得到线线 平行,同时给出了证明线面平行的一种方法. 2.线线平行、线面平行、面面平行之间的关系: 线线平行??线面平行??面面平行. 3.证明直线和平面平行的方法有:(1)依定义采用反证法;(2)线面平行的判定定理; (3)面面平行的性质.

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