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2011高考数学知识总结专题7:排列组合二项定理(人教大纲版)


7. 排列组合二项定理 知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可 以有 重复 元素 的排列. . .. .. .. 从 m 个不同元素中, 每次取出 n 个元素, 元素可以重复出现, 按照一定的顺序排成一排, 那么第一、 第二…… 第 n 位上选取元素的方法都是 m 个,所以从 m 个不同元素中,每次取出 n 个元素可重复排列数 m·m·… m = m .. 例如:n 件物品放入 m 个抽屉中,不限放法,共有多少种不同放法? n (解: m 种) n 二、排列. 1. ⑴对排列定义的理解. 定义:从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素,按照一定顺序 排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m ...... 个元素的一个排列. ⑵相同排列. 如果;两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序也必须完全相同. ⑶排列数. 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素排成一列,称为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. 从 n m 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列数,用符号 An 表示. ⑷排列数公式: A m ? n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) ? n! ( m ? n, n, m ? N ) (n ? m)! 注意: n ? n! ? (n ? 1)!?n! 规定 0! = 1 m m?1 An ? nAn ?1 m m m m?1 m m?1 An ? 1 ? A n ? Am ?C n ? A n ?mA n 0 规定 C n ?C n n?1 2. 含有可重元素 的排列问题. ...... 对含有相同元素求排列个数的方法是: 设重集 S 有 k 个不同元素 a1, a2,…...an 其中限重复数为 n1、 n2……nk, 且 n = n1+n2+……nk , 则 S 的排列个数等于 n ? n! . n1!n2 !...nk ! 例如:已知数字 3、2、2,求其排列个数 n ? (1 ? 2)! ? 3 又例如:数字 5、5、5、求其排列个数?其排列个 1!2! 数 n ? 3! ? 1 . 3! 三、组合. 1. ⑴组合:从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一 个组合. ⑵组合数公式: C m n? m Am n(n ? 1) ?(n ? m ? 1) n! n ? Cm n? m m! m!(n ? m)! Am n?m n; ⑶两个公式:① C n ?C ②C m?1 m m n ?C n ?C n ?1 ①从 n 个不同元素中取出 m 个元素后就剩下 n-m 个元素, 因此从 n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是 一一对应的,因此是一样多的就是说从 n 个不同元素中取出 n-m 个元素的唯一的一个组合. (或者从 n+1 个编号不同的小球中,n 个白球一个红球,任取 m 个不同小球其不同选法,分二类,一类是 1 m ?1 m 含红球选法有 C m?n ?C1 1 ?C n 一类是不含红球的选法有 C n ) ②根据组合定义与加法原理得;在确定 n+1 个不同元素中取 m 个元素方法时,对于某一元素,只存在取与 1 不取两种可能,如果取这一元素,则需从剩下的 n 个元素中再取 m-1 个元素,所以有 C m?n ,如果不取这一 元素,则需从剩余 n 个元素中取出 m 个元素,所以共有 C n 种,依分类原理有 C m m?1 m m n ?C

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