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高中数学经典解题技巧和方法跟踪训练题

高中数学经典解题技巧:三角变换与解三角形——跟踪训练题
一、选择题(本大题共 6 个小题,每小题 6 分,总分 36 分) 1. (2010 届·山东省实验高三一诊(文) )已知点 P(sin ? ? cos? ,2 cos? ) 在第四象限, 则角 ? 的终边在 ( ) B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限

cos 2?

sin(? ? ) 4 2.若

?

??

2 2

,则 cos ? ? sin ? 的值为(

)

?
A.

7 2
2

1 B. 2 ?

1 C. 2


7 D. 2

3.函数 y ? sin x ? sin x cos x 的最小正周期 T= (

(A)2π

? ? (B)π (C) 2 (D) 3
x?

?
3 对称; (3)

4.若函数 y=f(x)同时具有下列三个性质: (1)最小正周期为π , (2)图象关于直线

[?
在区间

? ?

, ] 6 3 上是增函数,则 y=f(x)的解析式可以是 y ? cos( 2 x ?
B.





x ? y ? sin( ? ) 2 6 A. y ? sin( 2 x ?
C.

?
3

)

?
6

)
D.

y ? cos( 2 x ?

?
6

)

5. (2010 届·广东高三六校联考(理) )如图,Rt△ABC 中,AC⊥BC,D 在边 AC 上,已知 BC=2,CD=1, ∠ABD=45°,则 AD=( )

A.2 6.

B.5

C.4

D.1





二、填空题(本大题共 3 个小题,每小题 6 分,总分 18 分) 7.在 则 中,角 , , 所对的边分别是 , , ,若 ,且 ,

的面积等于_____ 上的函数 对 上的任意 个值 , ,?, ,总满足

8.若定义在区间

≤ 区间 上是“凸函数”,则在△ 中,

,则称



上的凸函数.已知函数 的最大值是____.



9.已知△ABC 的三个内角 A,B,C 满足 cosA(sinB+cosB)+cosC=0,则 A=_______. 三、解答题(10、11 题每小题 15 分,12 题 16 分,总分 46 分)

cos x ? 2 sin x ?3 cos x ? sin x 10. (本小题满分 12 分)已知 .

cos 2 x 2 cos( ? x) ? sin x 4 (1)求 tan x ; (2)求 的值.
1 f ( x) ? cos2 ? x ? sin ? x cos ? x ? (? ? 0) 2 11.已知函数 的最小正周期为 ? . [? , ] 2 8 上的最大值和最小值;

?

? ?

(1)求 f ( x) 在区间

(2)求函数 f ( x) 图象上与坐标原点最近的对称中心的坐标. 12.在锐角△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,且 3a ? 2c sin A

(Ⅰ)确定角 C 的大小

3 3 (Ⅱ)若 c= 7 ,且△ABC 的面积为 2

,求 a+b 的值。

参考答案
1.C 2.C 3.B 4.C 5.B 6. 【解析】选 A.依题意,画出图形.

△CAO 是等腰三角形, ∴∠DCO=∠COA=π -2θ .在 Rt△COD 中,CD=CO·cos∠DCO=cos(π -2θ )=-cos2 θ ,过 O 作 OH⊥AC 于 H 点,则 CA=2AH=2OAcosθ =2cosθ .∴f(θ )=AC+CD=2cosθ -cos2θ .

7.

8.

9. 【解析】∵cosA(sinB+cosB)+cosC=0,∴cosAsinB+cosAcosB+cos[π -(A+B)]=0, ∴cosAsinB+cosAcosB-cos(A+B)=0,cosAsinB+cosAcosB-cosAcosB+sinAsinB=0, 即 cosAsinB+sinAsinB=0.

又∵sinB≠0,∴cosA+sinA=0,又 A 是三角形的内角,∴A=

.答案:

1 ? 2 tan x cos x ? 2 sin x ?3 ?3 10.解析: (1)? cos x ? sin x ,? 1 ? tan x

?

tan x ?

2 5

cos2 x ? sin 2 x 2(
(2) 原式=

2 2 cos x ? sin x) sin x 2 2

?

(cos x ? sin x)(cosx ? sin x) cos x ? sin x ? (cos x ? sin x) sin x sin x

7 ? cot x ? 1 = 2 .

1 1 1 1 f ( x) ? cos2 ? x ? sin ? x ? cos ? x ? ? (cos2? x ? 1) ? sin 2? x ? 2 2 2 2 11.解析: (1)
2 ? sin(2? x ? ). 2 4 2? 2 ? ?T ? ? ? ,?? ? 1,? f ( x) ? sin(2 x ? ). 2? 2 4 ?

?当 2

?

?

?x?

?

3? ? ? ? 2x ? ? . 8 时, 4 4 2 ?

?当

2x ?

?
4

??

?
2 时, ? k?

f ( x) ?

2 2 ? 2 sin(2 x ? ) ? . 2 4 取得最大值为 2 ,最小值为 2
k? ? 2

(2)令

2x ?

?
4

?

,得

x?

4 ? k? ? ? , k ? Z 2 8

?

当 k ? 0 时,

x??

?
8 ,当 k ? 1 时,

x?

? 3? (? ,0). 8 ,?满足要求的对称中心为 8

a 2sin A sin A ? ? sin C 3 12.解析: (1)由 3a ? 2c sin A 及正弦定理得, c
Q sin A ? 0,? sin C ? 3 2 ?????????????? 3 分
?C ?

?
3
?????????????? 6 分

Q ?ABC 是锐角三角形,

Q c ? 7, C ?
(2)解法 1:

?

. 3 由面积公式得

1 ? 3 3 ab sin ? ,即ab ? 6        ① 2 3 2 ???????? 9 分
a 2 ? b 2 ? 2ab cos
由余弦定理得
2

?
3

? 7, 即a 2 ? b 2 ? ab ? 7     ②

(a+b) ? 25, 故a ? b ? 5 ??????????????12 分 由②变形得
解法 2:前同解法 1,联立①、②得

?a 2 ? b2 ? ab ? 7 ?a 2 ? b2=13   ? ? ? ?ab ? 6 ?ab ? 6 ?????????????? 9 分

4 2 2 2 消去 b 并整理得 a ? 13a ? 36 ? 0 解得 a ? 4或a ? 9

?a ? 2 ?a ? 3 或? ? ?b ? 3 ?b ? 2 故 a ? b ? 5 ?????????????? 12 分 所以


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