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三角函数练习题(经典难题)


三角函数典型难题
一、 选择题
1.已知 tan ? ? 2, 则

4sin 3 ? ? 2 cos ? 的值为( ) 5cos ? ? 3sin ?
C. 3 5

A.

2 5

B.

5 11

D.

7 11

2. 4cos 50? ? tan 40? 的值为( )

A. 2

B.

2 3 ? 2 2

C. 3

D. 2 2 ? 1

3.已知 w ? 0 ,函数 f ( x) ? sin( wx ? ( )

?

) 在 ( , ? ) 上单调递减,则 w 的取值范围是 2 4

?

?1 5? A. ? , ? ?2 4? 2 3

?1 3? B. ? , ? ?2 4?

? 1? C. ? 0, ? ? 2?

D. ? 0, 2?


4.若 sin ? ? ,sin ? ?

sin ? 2? ? ? ? 1 ? ?? ? 2cos ?? ? ? ? 的值为( , ? , ? ? ? 0, ? ,则 sin ? 3 ? 2?
C. 3
D. 1 3

A. 2

B.

1 2

5. 已知 f ( x) ? a sin3 x ? b 3 x ? cos3 x ? 4,(a, b ? 0且为实常数) ,若 f (sin10?) ? 5 ,则

f (cos100? ) 的值为(
A. 1



B .

2

4

C .

3

D .

6.平面内不共线的向量 a, b, c 两两所成的角相等,且 a ? 1, b ? 2, c ? 3 ,则 a ? b ? c 与 a 的夹角为(

r r r

r

r

r

r

r r

r



A. 30?
7. log 2

B. 60?

C. 120?


D. 150?

sin 20? 1 ? cos 40? 的值为( cos 50?
B. 1 2 C. 2

A.

1 2

D. -2


8.已知 cos( x ?

?

1 ? ) ? ? , 则 cos x ? cos( x ? ) 的值为( 6 3 3

1/5

A.

3 3

B. 3

C. -

3 3

D. - 3

9.已知函数 g ( x) ? 1 ? cos ? πx ? 2? ? 0 ? ? ? π 的图象过点 1 , 2 ,若有 4 个不同的正数 xi 2 2 满足 g ( xi ) ? M (0 ? M ? 1) ,且 xi ? 4(i ? 1, 2, 3, 4) ,则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 等于

?

?

? ?
D.60

A. 12 或 20

B.12 或 22

C.21

10. .如果圆 x2+y2=n2 至少覆盖函数 f ( x) ? 3 sin 点,则正整数的最小值是( (A) 1 (B) 2 ) (C) 3

?x 的一个最大值点和一个最小值 n
(D) 4

二:填空题
11. 已知 x,2y∈ [ ?

? ?

? x 3 ? sin x ? 2a ? 0.......... .(1) , ] ,a∈R,且 ? 3 ,则 4 4 2) ?4 y ? sin y cos y ? a ? 0.......(

cos(x+2y)=_______。 12. y ? 3sin(x ? 20?) ? 4cos(x ? 10?) 的最大值为____________。 13.

cos 40? ? sin 50?(1 ? 3 tan10?) 的值为____________。 sin 70? 1 ? cos 40?

14.函数 f (x) ? sinx? cosx? sin x ? cos x 对任意的 x ? R 都有 f (x1 ) ? f (x) ? f (x 2 ) , 则 x2 ? x1 的最小值为____________。

三、简答题
3 16. 已知 a ? (5 3 cos x,cos x), b ? (sin x,2cos x) ,设函数 f ( x) ? a b? | b |2 ? . 2 ? ? 5 (1)当 x ? [ , ] 时,求函数 f ( x) 的值域; [ ,10] 6 2 2 ? ? ? (2)当 x ? [ , ] 时,若 f ( x) ? 8 ,求函数 f ( x ? ) 的值域; 6 2 12

17.已知△ ABC 中,函数 f ( x) ? cos( ①求∠A 的大小; ②求函数 f ( x) 的单调递增区间.
2/5

?4 ? 6 ? 2 3? , ? x) ? sin( A ? x) 的最小值为 8 2

? 18.已知函数 y ? A sin(2 x ? ?) ,其中 A ? 0, ?? (0, ) . 2

(1)若函数 f ( x) 的图像过点 E (?

? ? ? ,1), F ( , 3) ,求函数 f ( x) 的解析式; ? ? 12 6 3

(2)如图,点 M、N 是函数 y ? f ( x) 的图像在 y 轴两侧与 x 轴的两个相邻交点, 函数图像上点 P(t ,
?2 3? ,求函数 f ( x) 的最大值. ) ,满足 PN MN ? 8 16
y P M 0
N

x

19. 已知 x0 , x0 ? 是函数 f ( x) ? cos2 (?x ? ) ? sin 2 ?x(? ? 0) 的两个相邻的零点.
? (1)求 f ( ) 的值; 12

? 2

? 6

(2)若对 ?x ? [?

7? ,0] ,都有 | f ( x) ? m |? 1 ,求实数 m 的取值范围. 12

3/5

16. (1) f ( x) ? 5 3sin x cos x ? 2cos2 x ? 4cos2 x ? sin 2 x ?
? 5 3sin x cos x ? 5cos2 x ?

3 2

5 ? ? 5sin(2 x ? ) ? 5 2 6



? ? ? ? 7? 1 ? 5 , ? ? sin(2 x ? ) ? 1 ,所以 f ( x) 的值域为 [ ,10] . ? x ? 得 ? 2x ? ? 6 2 2 6 6 2 6 2

? ? 3 ? 4 (2) f ( x) ? 5sin(2 x ? ) ? 5 ? 8 ,则 sin(2 x ? ) ? ,所以 cos(2 x ? ) ? ? 6 6 5 6 5
f (x ? ? ? ? 3 3 ) ? 5sin 2 x ? 5 ? 5sin[(2 x ? ) ? ] ? 5 ? ?7 12 6 6 2

? ? A sin(? ? ?) ? 1 ? ? 6 18. 解析:(1)由 ? ? ? A sin( ? ?) ? 3 ? 3 ?

? ? sin( ? ?) ? 3 sin(? ? ?) 3 6

? ? 展开整理可得 tan ? ? 3 ,因为 ?? (0, ) ,所以 ? ? 2 3
? ? ? f ( x) ? Asin(2x ? ) ,因为 f ( ) ? 3 可得 A ? 2 ,所以 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 3 6 3

(2)过点 P 作 PC 垂直 x 轴于点 C,令 f ( x) ? A sin(2 x ? ?) ? 0 ,则
2 x ? ? ? k ?, k ? z ,因为 M、N 分别位于 y 轴的两侧,所以

? ? ? ? M (? ,0), N ( ? ,0),| MN |? 2 2 2 2

PN MN ?| PN || MN | cos ?PNM ?

? ? ?2 | PN | cos ?PNM ? | NC |? 2 2 16

? 3? ? 3? 3? 所以 | NC |? ,| MC |?| MN | ? | NC |? 即 ? t ? , ? ? 2t ? , 8 8 2 8 4
A sin(? ? 2t ) ? A sin 3? 3? ? 4 8 ?A? 6 ? 8

? 1 ? cos(2?x ? ) 3 ? 1 ? cos 2?x ? 1 [cos(2?x ? ? ) ? cos 2?x] 19.解析:(1) f ( x) ? 2 2 2 3
1 1 3 3 1 3 ? [( cos 2?x ? sin 2?x) ? cos 2?x] ? ( sin 2?x ? cos 2?x) 2 2 2 2 2 2
4/5

?

3 ? sin(2?x ? ) 由题意知 T ? ? 2 3

| ? |? 1 因为 ? ? 0
? 3 ? 3 )? sin ? 12 2 2 2

所以 ? ? 1, f ( x) ?

3 ? sin(2 x ? ) 2 3

所以 f (

(2) | f ( x) ? m |? 1 即 f ( x) ? 1 ? m ? f ( x) ? 1 因为对 ?x ? [? 由?
7? ,0] ,都有 | f ( x) ? m |? 1 等价于 m ? f ( x)max ? 1 且 m ? f ( x)min ? 1 12

? 3 7? 5? ? ? , ? x ? 0 得 ? ? 2 x ? ? ,所以 ?1 ? sin(2 x ? ) ? 3 2 12 6 3 3
3 4 3 1 3 ,所以 ? ? m ? 1 ? 2 4 2

即 f ( x) max ? , f ( x) min ? ?
1 4

即 m 的取值范围为 [? ,1 ?

3 ]. 2

5/5


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