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3.1.1《直线的倾斜角与斜率》


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第三章 直线与方程

3.1 直线的倾斜角与斜率
3.1.1 直线的倾斜角与斜率

本节课主要学习直线的倾斜角与斜率。本课件在由拔河比 赛过程动画演示确定直线的条件引入新课,让学生体会到除了 由两点确定一条直线外,还可以由一个点和这条直线的倾斜程 度来确定直线,从而容易接受直线的倾斜角。以学生探究为主 ,运用分类讨论画图展示直线倾斜角的各种情况,由坡度联系 到之间三角形中正切的定义引入直线的斜率的概念,并利用直 角三角形中的正切值分两种情况导出直线的斜率公式,运用两 点确定的直线的斜率公式计算软件计算直线的斜率,从而判断 直线的倾斜角的大小。 通过例1熟悉斜率公式,通过斜率判断直线的倾斜角的大小 ,通过例2逆向思维由直线的斜率可以通过取直线上的点确定 直线,并在直角坐标系中画出直线,让学生体会到直线经过一 个点和这条直线的斜率就能确定直线。运用分类讨论思想和联 想,把直线的倾斜角与倾斜角的正切值即直线的斜率联系在一 起,这是学习直线的两个重要概念。

绳子软的可以 卷缩起来,怎 么才能拽成一 条直线呢?拔 河比赛中,如 果只有一端固 定,绳子能否 拽直?如果两 端都用力绳子 能否拽直?

直线的倾斜角 1.确定直线的条件 (1)过一点能确定一条直线吗? (2)这些直线有怎样的区别? (3)怎样准确的表示它们的区别呢?

y P

l

?

O

x

2.直线倾斜角的定义
直线与x轴相交时,直线向上的方向与x轴正方向所成的角? 叫做这条直线的倾斜角.

3.直线倾斜角的范围 0?≤? <180? y y P P 0 0 0 ? ? ? 90 ? x O O y
P
?

900 ? ? ? 1800

?

x

y
? ? 90
o

P

? ?0

o

O

x

O

x

规定:当直线和x轴平行或重合时,它的倾斜角为0°

直线的斜率 日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量?

升高量 坡度 ? 前进量
升 高 量
前进量

=tan?

α

直线斜率的定义: 倾斜角不是90?的直线,它的倾斜角的正切值叫做这条 直线的斜率,通常用k表示,即 k=tan ? (? ≠ 900 )

当0? ? ? ? 90?时, k ? 0;

两直线倾斜角相等, 斜率也相等吗?

当倾斜角为900时,直线的斜率不存在.

当90? ? ? ? 180?时, k ? 0 .

两直线斜率相等, 倾斜角也相等吗?

练习:已知直线的倾斜角,求对应的斜率 k : (1)? =30?;
(2)? =45?; (3)? =120?; (4)? =135?.

直线上两点的斜率公式 已知两点P1(x1,y1)、P2(x2, y2)(其中x1≠x2), 求直线P1P2的斜率. 当α为锐角时

k>0

? ? ?P2 P 1Q, 在Rt?P2 P 1Q中 QP2 k ? tan? ? tan?P2 P1Q ? P1Q

y2
y1

y

P 2 ( x2 , y2 )

?
P 1 ( x1 , y1 )

Q( x2 , y1 )

y2 ? y1 k? x2 ? x1

o

?

x1

x2

x

若交换两点的位置,结果会怎样?

当α为钝角时

y
y2

k<0
P 2 ( x2 , y2 )

? ? 180 ? ? , ? tan? ? tan( 180 ? ? ) ? ? tan?
?

在Rt?P 中 2QP 1

y1

?
Q( x2 , y1 )

P 1 ( x1 , y1 )

o

x2

x1

?

x

y2 ? y1 ? t an? ? P x1 ? x2 1Q
P2Q

y2 ? y1 y2 ? y1 ? k ? tan? ? ? ? x1 ? x2 x2 ? x1

当直线与坐标轴平行或重合时,又怎样呢?
y

? = 0 0时

P 1 ( x1 , y1 )

P 2 ( x2 , y2 )

o

l

x

y2 ? y1 k? ?0 x2 ? x1

y

? =900时

y2

P 2 ( x2 , y2 )
P 1 ( x1 , y1 )

y1

y2 ? y1 k? x2 ? x1
k 不存在

o

x

直线的斜率公式: 经过两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 )的直线的斜率公式

y2 ? y1 k? x2 ? x1



y1 ? y2 k? (x1 x1 ? x2

? x2 )

典例展示
例1.如图已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2),求直线AB、BC、CA 的斜率,并判断这些直线的倾斜角是什么角? 解:直线AB的斜率

k AB

∴直线AB的倾斜角为零度角。

2?2 ? ?0 ?8? 4

y

直线BC的斜率 k BC

?2?2 ?4 1 ? ? ?? 0 ? (?8) 8 2

B . . . .

. .
o

. . .

A

.

x

∴直线BC的倾斜角为钝角。 直线CA的斜率

C

kCA

2 ? (?2) 4 ? ? ?1 4?0 4

∴直线CA的倾斜角为锐角。

练习.求经过下列两点的斜率,并判断其倾斜角是锐角 还是钝角. (1)C(18,8),D(4,-4)

(2)P(0,0),Q(-1, 3)
解: kCD

(?4) ? 8 6 ? ? ?0 4 ? 18 7

所以直线CD的倾斜角是锐角.

k PQ

3 ?0 ? ?? 3?0 (?1) ? 0

所以直线PQ的倾斜角是钝角.

例2.在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为1,-1,2,-3 的直线 l1,l2,l3,l4

y1 解:设A1(x1,y1)是l1上的一点, 根据斜率公式有: 1=
即x1=y1,设x1=1,则y1=1于是A1的坐标为(1,1). l1是过原点及(1,1)的直线. 设A2(x2,y2)是 l2上的一点, 由 -1= y

0 x1 - 0

l3

l1

y2 - 0

设x2=1,则y2= -1,于是A2的坐标为(1,-1) .

x2 - 0

得:x2= -y2,

(1,2) A3 A1 (1,1)

O

A2 (1,-1)
A4 (1,-3)

x

同理, l3是过原点及(1,2)的直线;
l4是过原点及(1,-3)的直线 .

l2

l4

1.直线倾斜角的定义
直线与x轴相交时,直线向上的方向与x轴正方向所成的角?叫做这条直
线的倾斜角.

2.直线斜率的定义
倾斜角不是90?的直线,它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率,通常 用k表示,即 k=tan ? (? ≠ 900 )

倾斜角为900的直线的斜率不存在.

3.直线的斜率公式

y2 ? y1 y ? y 1 2 或 k? (x1 k? x2 ? x1 x1 ? x2

? x2 )

课后练习

课后习题


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