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离散型随机变量均值和方差(2)


一、复习:数据方差的概念
设一组数据

x1,x 2 ,x3 ,? ,x n
1

x1 ? x 2 ? ? ? x n 平均值: x ? n
方差: s ?
2

n

[(x 1 ? x )2 ? (x 2 ? x )2 ? ? ? (x n ? x )2 ]

标准差: s ?

1

n

[(x1 ? x )2 ? ? ? (x n ? x )2

标准差越大,表明样本数据在平均数周围越分散; 反之,越集中。
1

二、离散型随机变量的方差(P65):

D(x ) ?

D(x )的算术平方根 D(x ) 叫做随机变量x的标准差,记作 ?(x )
即 ?(x ) ? D(x ) 注意:D(X)是用来衡量随机变量X与E(X)的平均偏离程

(xi ? i
?1

n

? E(x )) pi
2

度的特征量
D(X)越小,表明平均偏离程度越小,X的取值越集中;

D(X)越大,表明平均偏离程度越大,X的取值越分散。

2

1.方差的性质:

(1)D(c ) ? 0(C为常数)

(2) D(ax ? b ) ? a 2D(x )
2

(a,b为常数)
2

(3) D(x ) ? E(x ) ? (E(x ))
2.几种特殊随机变量的方望:

(1)若x服从两点分布:则 D(x )

? p(1 ? p )

(2)若x ? B(n , p ), 则 D(x ) ? np(1 ? p )
(3)若x服从参数为N,M,n的超几何分布:则

nM (N ? M )(N ? n ) D(x ) ? N 2(N ? 1)

如何记忆?
3

1.甲,乙两个运动员射击命中环数ξ,η的分布列如下表. 其中射击比较稳定的运动员是( ) 环数k P(ξ=k) 8 0.3 0.2 C.一样 9 0.2 10 0.5

B

P(η=k)
A.甲 B.乙

0.4 0.4 D.无法比较

2.变量X~B(n,p),且E(X)=1.6,D(X)=1.28,则( A ) A.n=8,p=0.2 B.n=4,p=0.4 C.n=5,p=0.32 D. 7?,p=0.45 3.设随机变量 X 服 ?n=1
3.设随机变量 X 服从二项分布 B?4,3?,则 D(X)的
? 1? B?4,3?,则 ? ?
? ?

3.设随机变量 X 服从二项分布 值为( ) ) A.4
3 8 B.3 8 C.9

D(X)的 值为( C )

值为( 4 A.3

1 D.9

8 B.3

8 C.9

1 D.9

4 A.3

8 B.3

4.某射手击中目标的概率为p,则他射击一次击中目标的次 数X的均值是________,方差是________. P,1-p

5.随机变量X的分布列如下表:

X P

0 x

1 y

2 z


其中x、y、z成等差数列,若E(X)= 则D(X)的值是______.

2 9

6.已知随机变量X的分布列是:

X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.2 0.3 0.2 0.1
试求D(X)和D(2X-1). E(X)=1.8,D(X)=1.56

E(2X-1)=2.6,D(2X-1)=6.24.
7.已知X是一个随机变量,随机变量X+5的分布列如下表: X+5 P -2 -1 0.2 0.1 0 0.1 1 0.4 2 0.2

试求E(X)、D(X).

E(X)=-4.7, D(X)=2.01

8.已知某运动员投篮命中率p=0.6. (1)求一次投篮命中次数X的期望与方差; (2)求重复5次投篮时,命中次数η的均值与方差. (1)E(X)=0.6,D(X)=0.24. (2)E(η)=3,D(η)=1.2. 9.设在15个同类型的零件中有2个是次品,每次任取1个,取 出后不再放回,共取3次.若以X表示取出次品的个数,求 X的均值和方差.

2 52 E(x ) ? ,D(x ) ? 5 175

10.甲乙两射手在同一条件下射击,甲射击的环数8、9、10的 概率是0.2、0.6、0.2,乙射击环数8、9、10的概率是 0.4、0.2、0.4,试比较甲乙的射击水平。
由上可知, E?1 ? E? 2 , D?
1

? D?2

王新敞
奎屯

新疆

所以,在射击之前,可以预测甲、乙

两名射手所得的平均环数很接近, 均在 9 环左右, 但甲所得环数较 集中,以 9 环居多,而乙得环数较分散,得 8、10 环地次数多些.

对于两个随机变量X和Y,在E(X)和E(Y)相等或很接近时, 比较D(X)和D(Y),可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生 活实际,更适合人们的需要。(教材P67)

8

A 、 B A 、 B两台机床同时加工零件,每生产一批数量较大的产品时,出次 两台机床同时加工零件,每生产一批数量较大的产品时,出次

A、 B两台机床同时加工零件,每生产一批数量较大的产品时, 品的概率如下表所示: 品的概率如下表所示: 出次品的概率如下表所示
A A机床 机床 1 1 B B机床 机床 1 1 次品 次品 数 1 数XX 1 概率 概率
P 1 P 1

0 0

2 2

3 3

次品 次品 数 数XX2 2 概率 概率
P 2 P 2

0 0

2 2

3 3

0.7 0.7 0.2 0.2 0.06 0.06 0.04 0.04

0.8 0.8 0.06 0.06 0.04 0.04 0.10 0.10

由上面的分布列可知, 由上面的分布列可知, 问:哪一台机床加工质量较好? 问 ? 由上面的分布列可知, 问: :哪一台机床加工质量较好 哪一台机床加工质量较好 ? EX ? 0.44 0.44 , EX , 2 ? EX1 ? 0.44 EX ? 0.44 , , 1 2 由上面的分布列可知, EX 1 ? 0.44 , EX 2 ? 0.44 , DX ? 0.6064 0.9264 , DX 2 ? DX1 ? 0.6064 DX ? 0.9264 1 EX1 ? 0.44 ,,EX 2 2? 0.44 DX ? 0.6064 , DX 2 ? 0.9264 , 1 EX ? EX DX 所以: EX1 ? EX 2 , DX . 1 ? DX ? DX 2 所以: 1 2, 1 2. 所以: EX DX ? 0.6064 , DX 2 ? 0.9264 1 ? EX 2 , DX1 ? DX 2 . 1 机床加工较稳定、质量较好 故 A .
所以: EX1 ? EX 2 , DX1 ? DX 2 .
9


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