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2014届高三上学期期末联考理数学试卷(带解析)


四所重点中学 2014 届高三上学期期末联考理数学试卷 (带解 析)
1.已知 x,y∈R,i 为虚数单位,且 ? x ? 2? i ? y ? ?1 ? i ,则(1+i) A.4 【答案】B 【解析】 B.-4 C.4+4i D.2i
x+y

的值为(



试题分析:∵ ? x ? 2? i ? y ? ?1 ? i ,∴ ?

?x ? 2 ? 1 ,解得 x ? 3, y ? 1,∴ x ? y ? 4 , ? y ? ? 1 ?

?1 ? i ?

x? y

? ?1 ? i ? ? ?4 ,故选B.
4

考点:复数相等的充要条件. 2.下列命题中正确的是( ) A.若命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,则命题“p 且 q”为真命题

1 ? ”是“α = ”的充分不必要条件 2 6 C.l 为直线,α ,β 为两个不同的平面,若 l⊥β ,α ⊥β ,则 l∥α
B.“sinα = D.命题“?x∈R,2 >0”的否定是“?x0∈R, 2 x0 ≤0”
x

【答案】D 【解析】 试题分析:若命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,则命题“p 且 q”为假命题,故是错 误的;“ sin ? ?

1 ? ”是“ ? ? ”的必要不充分条件,故是错误的;l 为直线,α ,β 2 6

为两个不同的平面,若 l⊥β ,α ⊥β , 则 l∥α ,有可能在平面内,故是错误的;命题 “?x∈R, 2 >0”的否定是“?x0∈R, 2 x0 ≤0”,全称命题的否定是特称命题,故D正
x

确. 考点:命题真假判断. 3.平面 α ∥平面 β ,点 A,C∈α ,B,D∈β ,则直线 AC∥直线 BD 的充要条件是( ) A.AB∥CD B.AD∥CB C.AB 与 CD 相交 D.A,B,C,D 四点共面 【答案】D 【解析】 试题分析:因为平面α ∥平面β ,要使直线 AC∥直线 BD,则直线 AC 与 BD 是共面直线, 即 A,B,C,D 四点必须共面.故选 D. 考点:充要条件. 4.已知向量 a,b 的夹角为 60°,且|a|=2,|b|=1,则向量 a 与向量 a+2b 的夹角等 于( ) A.150° B.90° C.60° D.30° 【答案】D 【解析】 试题分析: 由题意可得 a ? b ? 2 ?1? cos 60? ? 1 , 设向量 a 与向量 a ? 2b 的夹角等于 ? ,

? ?

?

?

?

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? ? ? ? 2 ?2 ? ? ?2 a ? 2b ? 2 , 3 故 | , 即 a ? 2b ? a ? 4a ? b ? 4b ? 12 ? ? ? a? ?a 2 b? 4 2 3 ,再由 ? ? ? 0?,180?? ,可得 ? ? 30? ,故选 D. c ?o? ? s ? ? ? ? 2? a ?a 2 b 2 23

?

?

考点:数量积表示两个向量的夹角. 5 .一个空间几何体的三视图及其相关数据如图所示,则这个空间几何体的表面积是 ( )

11? 11? 11? B. +6 C.11π D. +3 3 2 2 2 【答案】D 【解析】 试题分析:由三视图可知,此几何体为一个半个圆台,由图中数据可知,上下底面半径
A. 分 别 为 1, 2 , 母 线 长 为 2 , 高 为

3 , 故 该几 何 体的 表面 积为

S?

1 1 11? ? ?12 ? ? ? 22 ? ? ?1 ? 2 ? ? 2 ? ? ? 2 ? 4 ? ? 3 ? ?3 3. ? 2 2 2

考点:三视图,几何体的表面积. 2 6.过抛物线 y =4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A, B 两点,O 为坐标原点。若|AF| =3,则△AOB 的面积为( )
2 2 【答案】C

A.

B. 2

C.

3 2 2

D.2 2

【解析】 试题分析:设直线 AB 的倾斜角为 ? ? 0 ? ? ? ? ? 及 BF ? m ,∵ AF ? 3 ,∴点 A 到

? ? 3,即 cos? ? 准线 l : x ? ?1 的距离为 3 ,∴ 2 ? 3 cos
m ? 2 ? m cos?? ?? ? , ∴
S?
m? 2 3 ? 1 ? cos ? 2


2 2 1 ,则 sin ? ? ,∵ 3 3
?AOB
的 面 积 为

1 1 ? 3? 2 2 3 2 ,故答案选C. OF AB sin ? ? ?1? ? 3 ? ? ? ? 2 2 2 ? 2? 3

考点:抛物线的简单性质. 1 1 2 3 7.已知函数 f(x)=ax + x 在 x=-1 处取得极大值,记 g(x)= 。程序框图如 f ' ( x) 2 图所示,若输出的结果 S=

2013 ,则判断框中可以填入的关于 n 的判断条件是( 2014



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A.n≤2013 【答案】A 【解析】

B.n≤2014

C.n>2013

D.n>2014

试题分析: f ' ? x ? ? 3ax ? x ,因为 f ? x ? 在 x ? ?1 处取得极大值,所以 f ' ? ?1? ? 0 ,
2

即 3a ? 1 ? 0 , 解 得 a ?

1 1 1 , 故 f '? x , 则 g ? x? ? , ? 2 ? 2 x? x ? 3 f '? x? x ? x
, 输 出 的 结 果

g ? n? ?

1 1 1 1 ? ? ? n ? n n ? n ? 1? n n ? 1
2

1 n 2013 ? , 由S ? , 得 n ? 2014 , , n ?1 n ?1 2014 故判断框中可以填入的关于 n 的判断条件为: n ? 2013 . S ? g ?1? ? g ? 2 ? ? g ? 3? ? ? ? g ? n ? ? 1 ?
考点:函数在某点取得极值的条件;程序框图.
? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点为 F1,左、右顶点分别为 A1、A2,P 为 a2 b2 双曲线上任意一点,则分别以线段 PF1,A1A2 为直径的两个圆的位置关系为( )

8.已知双曲线

x2

?

y2

A.相交 【答案】B 【解析】

B.相切

C.相离

D.以上情况都有可能

P 在双曲线左支, 试题分析:设以线段 PF 1, A 1A 2 为直径的两圆的半径分别为 r 1, r 2 ,若
如图所示,则 O2O1 ?

1 1 1 PF2 ? ? PF1 ? 2a ? ? PF1 ? a ? r1 ? r2 ,即圆心距为半径 2 2 2

之和, 两圆外切. 若 P 在双曲线右支, 同理求得 O2O1 ? r 故此时, 两圆相内切. 综 1 ?r 2, 上,两圆相切,故选 B.

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考点:圆与圆的位置关系及其判定;双曲线的简单性质. 4 9.已知函数 f(x)= -1 的定义域是[a,b](a,b∈Z),值域是[0,1],则满足条件 | x | ?2 的整数对(a,b)共有( A.2 个 B.5 个 【答案】B 【解析】 ) C.6 个 D.无数个

试题分析:当 x ? 0 时,函数

f ? x? ?

4 4 ?1 ?1 ? 0 x ? 2 ,令 f ? x ? ? 0 即 x ? 2 ,解得

x ? 2 ;令

f ? x? ? 1

4 ?1 ? 1 f ? x? x ? 0 ,即 x ? 2 ,解得 x ? 0 ,易知函数 在 时为减函

y?
数,利用

4 x 平移的方法可画出 x ? 0 时 f ? x ? 的图象,又由此函数为偶函数,得到

x ? 0 时的图象是由 x ? 0 时的图象关于 y 轴对称得来的,所以作出函数的图象,根据
图象可知满足整数数对的有(-2,0) , (-2,1) , (-2,2) , (0,2) , (-1,2)共 5 个.

考点:函数的定义域及其求法. 10. 设 D={(x,y)|(x-y)(x+y)≤0}, 记“平面区域 D 夹在直线 y=-1 与 y=t(t∈[- 1,1])之间的部分的面积”为 S,则函数 S=f(t)的图象的大致形状为( )

【答案】C 【解析】
2 ? ?1 ? t ? ?1 ? t ? 0 ? 试题分析:由题意 S ? ? ,有二次函数图像可得,答案选C. 2 ? ? 1 ? t ? 0 ? t ? 1?

考点:函数的图象与图象变化.

11 .设 O 为坐标原点, C 为圆 (x - 2) + y = 3 的圆心,且圆上有一点 M(x,y) 满足 ???? ? ???? ? y 。 OM ? CM =0,则 = x

2

2

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【答案】± 3 【解析】 试题分析:∵ OM ? CM ? 0 ,∴ OM ? CM ,∴ OM 是圆的切线,设 OM 的方程为

???? ? ???? ?

y ? kx ,由

2k 1? k 2

? 3 ,得 k ? ? 3 ,即

y ? ? 3. x

考点:直线和圆的方程的应用;平面向量数量积的运算. 12. 已知 f(n)=1+ >

1 1 1 5 经计算得 f(4)>2,f(8)> ,f(16)>3,f(32) ? ? ? ? (n∈N*), 2 3 n 2


7 ,??,观察上述结果,则可归纳出一般结论为 2
n

【答案】 f (2 ) ? 【解析】

n?2 2

3 1? 2 1 可 化 为 f ?2 ? ? , 同 理 f ? 4? ? 2 可 化 为 2 2 2?2 5 3? 2 f ? 22 ? ? f ? 8 ? ? , 可 化 为 f ? 23 ? ? , , f ?16? ? 3 可 化 为 2 2 2 4?2 7 5? 2 n?2 5 n f ? 24 ? ? , f ? 32 ? ? 可化为 f ? 2 ? ? , 以此类推, 可得, f (2 ) ? , 2 2 2 2 n?2 n 故答案为: f (2 ) ? . 2
试 题 分 析 : 由 题 意 f ? 2? ? 考点:归纳推理.

? )的图像可由曲线 y=1+cos2x 向左平 6 ? ? ? ? 移 个单位得到;②函数 y=sin(x+ )+cos(x+ )是偶函数;③直线 x= 是曲 3 4 4 8 5? ? 2 线 y=sin(2x+ )的一条对称轴;④函数 y=2sin (x+ )的最小正周期是 2π . 4 3
13.给出下列四个命题:①函数 y=2cos (x+
2

其中不正确 命题的序号是 ... 【答案】①④ 【解析】
2



试题分析: : ① 函 数 y ? 2 cos ? x ?

? ?

??

?? ? ? cos 2? ? , 故 它 的 图 像 可 由 曲 线 ?? 1 ? x 6? 3? ?

y ? 1 ? cos 2 x 向 左 平 移

? 个 单 位 得 到 , 所 以 错 误 ; ② 函 数 6

? ? ? ? ? y ? s i ? n x ? ? ? c o? s x ? 4 ? ? ? 4
③直线 x ?

? ? ? ? ? i n x? ? ? ? ? 2 s? 4 ? ? ? 4
5? 4 ? ? ? 5? ? 得,y ? sin ? 2 ? ? 8 4 ? ?

? 2 x c o s ,是偶函数,故正确; 3? ? ? ? ?1 ,x ? ? ? sin 8 2 ?

?
8

代入 y ? sin ? 2 x ?

? ?

是 函 数 y ? s i? nx ? 2

? ?

5? ? ? 的 一 条 对 称 轴 , 故 正 确 ; ④ 函 数 4 ?
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?? 2? ? ? y ? 2sin 2 ? x ? ? ? 1 ? cos ? 2 x ? 3? 3 ? ?
故其中不正确 命题的序号是①④. ... 考点:三角函数图像与性质.

2? ? ? ,它的最小正周期是 T ? 2 ? ? ,所以错误; ?

?0 ? y ? 4, ? ? 14.随机地向区域 ? x ? 0, 内投点,点落在区域的每个位置是等可能的,则坐标原点 ? 2 ? ?y ? x

与该点连线的倾斜角小于

?
3

的概率为



【答案】 【解析】

3 3 32

?0 ? y ? 4, ? ? 试题分析:不等式组 区域 ? x ? 0, 表示的平面区域为 M ,即为图中的抛物线在第一 ? 2 ? ?y ? x

象限内部分, A

?

3, 3 ,倾斜角小于
2

?

?
3

的区域为图中阴影部分;区域 M 的面积为,

S =?

2 0

1 3? 16 ? , 坐标原点与该点连线的倾斜角小于 的面积 ? 4 ? x ? dx ? ? ? 4x ? x ? ? 3 3 3 ? ?0
2

为 S '=

? ?
3 0

? 3 2 1 3? 3 ,由几何概率的计算公式可得 3x ? x dx ? ? x ? x ? ? ? 2 ? 3 2 ? ?0
2

?

3

3 3 3 3 3 故答案为: . P? 2 ? 16 32 32 3

考点:几何概型

5 2 ? ? ? x ? 5 cos ? , ?x ? t , 15.已知两曲线参数方程分别为 ? (0≤θ <π )和 ? (t∈R),它们 4 ? ? ? y ? sin? ?y ? t
的交点坐标为 。

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【答案】 (1, 【解析】

2 5 ) 5
? ? x ? 5 cos ? , (0≤θ < π ) 消 去 参 数 后 的 普 通 方 程 为 ? ? ? y ? sin?

试题分析:由

? 4 x2 x ? t2, 2 2 ? y ? 1? 0 ? y ? 1? ,由 ? (t∈R)消去参数后的普通方程为 y ? x ,联 4 ? 5 5 ?y ? t 5 ?
立两个曲线的普通方程得 x ? 1 ,∴ y ?

? 2 5? 2 5 ,所以它们的交点坐标为 ? 1, ? ? ?. 5 5 ? ?

考点:抛物线的参数方程;椭圆的参数方程. 16.设函数 f(x)=|x―a|―2,若不等式|f(x)|<1 的解为 x∈(-2,0)∪(2,4),则实 数 a= 。 【答案】1 【解析】 试题分析: ∵ ?1 ? x ? a ? 2 ? 1, ∴1 ? x ? a ? 3, ∴ 1 ? x ? a ? 3 或 ?3 ? x ? a ? ?1 , ∴ 1 ? a ? x ? 3 ? a 或 a ? 3 ? x ? a ? 1 , ∵ 不 等 式 的 解 集 是 ? ?2,0? ? ? 2,4? ,

1 ? a ? 2,3 ? a ? 4 , a ? 3 ? ?2, a ? 1 ? 0 应同时成立,解得 a ? 1 ,故答案为 a ? 1 .
考点:绝对值不等式的解法;集合的包含关系判断及应用.

17.已知函数 f(x)=2cos x―sin(2x― (Ⅰ)求函数

2

7? ). 6

f ? x?

的最大值,并写出

f ? x?

取最大值时 x 的取值集合;

3 (Ⅱ)已知△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 f(A)= 2 ,b+c=2,求实数 a
的最小值。

【答案】 (Ⅰ) 所以函数 实数 a 的最小值为 1. 【解析】

f ? x?

的最大值为 2,

f ? x?

?? ? ? ? 取最大值时 x 的取值集合 ? 3 ? ; (Ⅱ)

试题分析: (Ⅰ)求函数 将

f ? x?

的最大值,并写出

f ? x?

取最大值时 x 的取值集合,首先

f ? x?

化为一个角的一个三角函数,因此利用二倍角公式及辅助角公式,化简函数得

?? ? f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? 1 f ? x? 6? , ? 即可求得函数的最大值为 2, 从而可得 取最大值时 x 的

试卷第 7 页,总 15 页

?? ?? 3 ? ? f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? 1 f ? A? ? n s i 2 ? A ? 1? ? ? 6? , 6? 2, ? ? 取值集合; (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 得, 故
? 可求得角 A 的值为 3 ,在 ?ABC 中,因为 b ? c ? 2 ,可考虑利用余弦定理来解,由余

?b?c? a ? c ? b ? 2bccosA ? (b ? c) ? 3bc ? (b ? c) ? 3 ? ? ?1 ? 2 ? 弦定理得, ,即可 求得实数 a 的最小值.
2 2 2 2 2

2

试题解析: (Ⅰ)f(x)=2cos x-sin(2x-

2

7? 7? 7? )=(1+cos2x)-(sin2xcos -cos2xsin ) 6 6 6
(3 分)

=1+

3 1 ? sin2x+ cos2x=sin(2x+ )+1 2 6 2

所以函数

f ? x?
?
6

的最大值为 2. )=1,即 2x+

(4 分) =2kπ +

此时 sin(2x+

?
6

? (k ? z) 2

解得 x=kπ +

?
6

(k ? z) (6 分)

故 x 的取值集合为 {x| x=kπ + (Ⅱ)由题意 f(A)=sin(2A+

?
6

,k ? z}

? 3 ? 1 )+1= ,化简得 sin(2A+ )= , 6 2 6 2 ? ? 13? ? ∵A ? (0,π ), ? 2A+ ? ( , ). ? A= (8 分) 6 6 6 3
在三角形ABC中,根据余弦定理, 得 a =b +c -2bc?cos 由 b+c=2 知 bc ? (
2 2 2

? 2 =(b+c) -3bc 3

(10 分)

b?c 2 2 ) =1, 即 a ? 1 2 (12 分) ? 当 b=c=1 时,实数 a 的最小值为 1. 考点:余弦定理的应用;两角和与差的正弦函数;二倍角的余弦. 18.某足球俱乐部 2013 年 10 月份安排 4 次体能测试,规定:按顺序测试,一旦测试合 格就不必参加以后的测试,否则 4 次测试都要参加。若运动员小李 4 次测试每次合格的 1 1 概率组成一个公差为 的等差数列,他第一次测试合格的概率不超过 ,且他直到第二 2 8 9 次测试才合格的概率为 。 32 (Ⅰ)求小李第一次参加测试就合格的概率 P1; (2)求小李 10 月份参加测试的次数?的分布列和数学期望。 1 【答案】 (Ⅰ)小李第一次参加测试就合格的概率为 ; (Ⅱ)则?的分布列为 4
? P 1 2 3 4

1 4

9 32

15 64

15 64 157 . 64

小李 10 月份参加测试的次数?的数学期望为 【解析】

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试题分析: (Ⅰ)求小李第一次参加测试就合格的概率,由题意小李 4 次测试每次合格

1 的概率组成一个公差为 的等差数列,可设第一次参加测试就合格的概率为 a ,则小李 8
四次测试合格的概率依次为 a, a ? , a ?

1 8

1 3 , a ? ,而他直到第二次测试才合格的概率 4 8



1? 9 1 5 ? 9 ,即 ?1 ? a ? ? a ? ? ? ,解得 a ? 或 a ? ,又因为他第一次测试合格的概 32 4 8 8 ? 32 ?
5 1 ,可舍去 a ? ; (Ⅱ)求小李 10 月份参加测试的次数?的分布列和数学期 2 8

率不超过

望,小李 10 月份参加测试的次数为 ? ,则 ? ? 1,2,3,4 ,小李四次考核每次合格的概率 依次为

1 3 1 5 , , , ,根据相互独立事件同时发生的概率,得到分布列和期望. 4 8 2 8
(2 分)

试题解析: (Ⅰ)设小李四次测试合格的概率依次为:

3 1 1 1 a, a+ , a+ , a+ (a≤ ), 4 8 2 8 9 7 5 1 则(1-a)(a+ )= ,即 a 2 ? a ? ? 0, 8 8 32 32 1 5 1 解得 a ? 或a ? ? (舍), 4 8 2
所以小李第一次参加测试就合格的概率为

(5 分)

1 ; (6 分) 4 3 1 1 15 3 3 9 1 (Ⅱ)因为 P(?=1)= , P(?=2)= ? ? ,P(?=3)= ? ? ? , 4 4 8 32 4 8 2 64 15 P(?=4)=1-P(?=1)-P(?=2)-P(?=3)= , (8 分) 64 则?的分布列为
? P (10 分) 1 2 3 4

1 4

9 32

15 64

15 64

1 9 15 15 157 所以 E? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? , 4 32 64 64 64
即小李 10 月份参加测试的次数?的数学期望为 考点:相互独立事件的概率乘法公式. 19.已知函数 f ? x ? ? logk x ( k 为常数,k ? 0 且 k ? 1 ),且数列 f ? an ? 是首项为 4, 公差为 2 的等差数列。 (Ⅰ)求证:数列 ?an ? 是等比数列; (Ⅱ)若 bn ? an f ? an ? ,当 k ?

157 . 64

(12 分)

?

?

2 时,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn 。

【答案】 (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ) Sn ? n ? 2n?3 . 【解析】

试卷第 9 页,总 15 页

试题分析: (Ⅰ)数列 ?an ? 是等比数列,只需证明

an ?1 等于一个与 n 无关的常数即可, an

由已知数列 f ? an ? 是首项为 4 ,公差为 2 的等差数列,故 f ? an ? ? 2n ? 2 ,即

?

?

f ? an ? ? logk an ? 2n ? 2,可求得 an ? k 2n?2 ,代入
(Ⅱ)若 bn ?an f a ?n

an ?1 即可数列 ?an ? 是等比数列; an

? ,当 k ?

2 时,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ,首先求出数列 ?bn ?
2 n?2

的通项公式,由(Ⅰ)可知 an ? k 2n?2 ,故 bn ? an f ? an ? ? ? 2n ? 2? k

,这是一个等

差数列与一个等比数列对应项积所组成的数列,可利用错位相减法来求和,可求得

Sn ? n ? 2n?3 .
试题解析: (Ⅰ)由题意知 f(an)=4+(n-1)?2=2n+2, 2n+2 即 logkan=2n+2,∴an=k , (2 分) (3 分) (5 分)

a k 2(n ?1) ? 2 ? k2 . ∴ n ?1 ? 2n ? 2 an k
∵常数 k>0 且 k≠1,∴k 为非零常数, 4 2 ∴数列{an}是以 k 为首项,k 为公比的等比数列。 2n+2 (Ⅱ)由(1)知,bn=anf(an)=k ?(2n+2), 当 k= 2 时,bn=(2n+2)?2
3 4 5 n+1 2

(6 分)

=(n+1)?2
n+2

n+2

.

(8 分)

∴Sn=2?2 +3?2 +4?2 ++(n+1)?2 , ① 4 5 n+2 n+3 2Sn=2?2 +3?2 ++n?2 +(n+1)?2 , ② 3 4 5 n+2 n+3 ②-①,得 Sn=―2?2 ―2 ―2 ――2 +(n+1)?2 3 3 4 5 n+2 n+3 =―2 ―(2 +2 +2 ++2 )+(n+1)?2 , ∴Sn=―2 ―
3

(10 分)

23 (1 ? 2n ) n+3 n+3 +(n+1)?2 =n?2 . 1? 2

(12 分)

考点:等差数列与等比数列的综合,数列求和. 20.如图,已知平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 的底面为正方形,O1、O 分别为上、下底面的 中心,且 A1 在底面 ABCD 上的射影是 O。

(Ⅰ)求证:平面 O1DC⊥平面 ABCD; (Ⅱ)若∠A1AB=60°,求平面 BAA1 与平面 CAA1 的夹角的余弦值。 【答案】 (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ)平面 BAA1 与平面 CAA1 的夹角的余弦值为 【解析】
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3 . 3

试题分析: (Ⅰ)求证平面 O1DC ? 平面 ABCD ,证明面面垂直,先证线面垂直,即证

ABCD 上的射影是 O ,即 AO 一个平面过另一个平面的垂线,注意到 A ? 平面 1 1 在底面 ABCD ,由图像可知只需证明 AO O为 ? O1C 即可,因此可连 AC, BD, AC 1 1 1 ,则

AC , BD 的交点,易知四边形 AOCO ? O1C ,这样就得 1 1 为平行四边形,从而得 AO 1
由面面垂直的判定定理可得结论; (Ⅱ) 平面 BAA1 与平面 CAA1 的 O1C ? 平面 ABCD , 夹角的余弦值,可用传统方法,找二面角的平面角,过点 O 作 OM ? AA1 ,垂足为 M ,

?OMB 为二面角 C ? AA1 ? B 的平面角, 连接 BM ,由三垂线定理得 AA 1 ? BM ,∴
在 ?OMB 中求出此角即可;也可用空间向量法,如图分别以 OB, OC, OA1 为 x, y, z 轴 建立空间直角坐标系,分别找出两个半平面的法向量,利用法向量来求平面 BAA1 与平 面 CAA1 的夹角的余弦值. 试题解析: (Ⅰ)连结 AC,BD, A1C1,则 O 为 AC,BD 的交点 O1 为 A1C1,B1D1 的交点。 由平行六面体的性质知: A1O1∥OC 且 A1O1=OC,? 四边形 A1OCO1 为平行四边形, 分) ? A1O∥O1C. 又∵A1O⊥平面 ABCD,? O1C⊥平面 ABCD, (4 分) 又∵O1C ? 平面 O1DC, ? 平面 O1DC⊥平面 ABCD。 (6 分) (2

(Ⅱ)由题意可知 Rt ? A1OB≌Rt ? A1OA,则 A1A=A1B, 0 又∠A1AB=60 ,故 ? A1AB 是等边三角形。 不妨设 AB=a, 则在 Rt ? A1OA 中,OA=

(7 分)

2 2 a, AA1=a, OA1= a, 2 2 如图分别以 OB,OC,OA1 为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,

则可得坐标为 A(0,AB =(

2 2 2 a,0), B( a,0,0), A1(0,0,, a) 2 2 2

(8 分)

2 2 2 2 a, a,0), BA1 =(a,0, a) 2 2 2 2

设平面 ABA1 的法向量为 n1 =(x,y,z) 则由 AB ? n1 =0 得 x+y=0,由 BA1 ? n1 =0 得 x-z=0 令 x=1 得 n1 =(1,-1,1)
试卷第 11 页,总 15 页

(10 分)

又知 BD⊥平面 ACC1A1,故可得平面 CAA1 的一个法向量为 n 2 =(1,0,0) cosθ =|
n1 ? n 2 | n1 | ? | n 2 |

|=

3 3

3 。 (12 分) 3 考点:与二面角有关的立体几何综合题; 平面与平面垂直的判定.

从而平面 BAA1 与平面 CAA1 的夹角的余弦值为

21.如图,设 F(-c,0)是椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的左焦点,直线 l:x=-

a2 与x c

轴交于 P 点,MN 为椭圆的长轴,已知|MN|=8,且|PM|=2|MF|。

(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)过点 P 的直线 m 与椭圆相交于不同的两点 A,B。 ①证明:∠AFM=∠BFN; ②求△ABF 面积的最大值。 【答案】 (Ⅰ)椭圆的标准方程为 【解析】 试题分析: (Ⅰ) 求椭圆的标准方程, 只需利用待定系数法来求, 由 MN ? 8 , 知a ? 4, 由 PM ? 2 MF , 得
x2 y2 (Ⅱ)①详见解析;② 3 3 . ? ?1; 16 12

a2 ? a? 2 ?a? c c

? ,将 a ? 4 代入,可求出 c 的值,从而得 b 的值,

由此能求出椭圆的标准方程. (Ⅱ) ①证明:?AFM ? ?BFN , 只需证明 k AF ? kBF ? 0 即可,这是直线与二次曲线位置关系问题,可采用设而不求的方法,因此当 AB 的斜率 为 0 时, ?AFM ? ?BFN ? 0 ,满足题意.当 AB 的斜率不为0时,可设直线 AB 的

? 8 , 代 入 椭 圆 方 程 得 3m ? 4 y ? 48my ? 144 ? 0 , 设 出 方程为 x? my
2 2

?

?

A? xA , yA ? , B ? xB , yB ? ,有根与系数关系,及斜率公式可得 k AF ? k BF ? 0 ,从而得到
?AFM ? ?BFN .故恒有 ?AFM ? ?BFN ;②求△ABF 面积的最大值,由图可知

S?ABF ? S?PBF ? S?PAF ?

1 72 m2 ? 4 ,由基本不等式,能求出三 | PF | ? | yB ? y A |? 2 3m2 ? 4
(1 分) (2 分)
试卷第 12 页,总 15 页

角形 ABF 面积的最大值. 试题解析: (Ⅰ)∵|MN|=8, ∴a=4, 又∵|PM|=2|MF|,∴e=

1 , 2

∴c=2,b =a -c =12, ∴椭圆的标准方程为
x2 y2 ? ?1 16 12

2

2

2

(3 分)

(Ⅱ)①证明: 当 AB 的斜率为 0 时,显然∠AFM=∠BFN=0,满足题意; 当 AB 的斜率不为 0 时,设 AB 的方程为 x=my-8, 2 2 代入椭圆方程整理得(3m +4)y -48my+144=0. 48m 144 2 △=576(m -4), yA+yB= , yAyB= . 2 3m ? 4 3m 2 ? 4 yA yB yA yB ? ? ? 则 k AF ? k BF ? x A ? 2 x B ? 2 my A ? 6 myB ? 6
y (myB ? 6) ? y B (my A ? 6) 2my A y B ? 6( y A ? y B ) ? A ? , (my A ? 6)(myB ? 6) (my A ? 6)(myB ? 6)

(4 分) (5 分)

而 2myAyB-6(yA+yB)=2m?

=0, 3m ? 4 3m 2 ? 4 ∴kAF+kBF=0,从而∠AFM=∠BFN. 综合可知:对于任意的割线 PAB,恒有∠AFM=∠BFN. ②方法一:
2

144

-6?

48m

(7 分)

(8 分)

S△ABF=S△PBF-S△PAF ?

1 72 m2 ? 4 | PF | ? | y B ? y A |? , 2 3m2 ? 4
? 72 3 m ?4 ?
2

(10 分)

即 S△ABF=

72 m 2 ? 4 3(m ? 4) ? 16
2

16 m2 ? 4

?

72 2 3 ? 16

?3 3,

(12 分)

当且仅当 3 m 2 ? 4 ? 号。

16 m ?4
2

,即 m=±

2 21 时(此时适合于△>0 的条件)取到等 3

∴△ABF 面积的最大值是 3 3 . 方法二:

(13 分)

| AB |? 1 ? m2 | y1 ? y2 |? 1 ? m 2 ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ?
点 F 到直线 AB 的距离 d ?

24 1 ? m2 ? m2 ? 4 3m2 ? 4
(10 分)

| 2 ?8| 1 ? m2

?

6 1 ? m2

S?

1 1 24 1 ? m 2 m 2 ? 4 6 72 m 2 ? 4 | AB | ?d ? ? ? ? 2 2 3m 2 ? 4 3m 2 ? 4 1 ? m2

?

72 3 m2 ? 4 ? 16 m2 ? 4

?

72 2 ? 3 ? 16

?3 3,

(12 分)

试卷第 13 页,总 15 页

当且仅当 3 m 2 ? 4 ?

16 m2 ? 4

,即 m=±

2 21 时取等号。 3

(13 分)

考点:直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.
3 2 ? 2 ?? x ? ax ? bx( x ? 1), 22.已知函数 f(x)= ? 在 x=0,x= 处存在极值。 x ?1 3 ? ? 1)( x ? 1) ?c(e

(Ⅰ)求实数 a,b 的值; (Ⅱ)函数 y=f(x)的图象上存在两点 A,B 使得△AOB 是以坐标原点 O 为直角顶点的直 角三角形,且斜边 AB 的中点在 y 轴上,求实数 c 的取值范围; (Ⅲ)当 c=e 时,讨论关于 x 的方程 f(x)=kx(k∈R)的实根个数。 【答案】 (Ⅰ) a ? 1, b ? 0 ; (Ⅱ)实数 c 的取值范围是(0,+∞) ;(Ⅲ)当 k> <0 时,方程 f(x)=kx 有一个实根;当 k= 当 0<k< 【解析】 试题分析: (Ⅰ)由于两个极值点都小于零,故对 f ? x ? 在 x ? 1 求导, ,即当 x ? 1 时,

1 或k 4

1 或 k=0 时,方程 f(x)=kx 有两个实根; 4

1 时,方程 f(x)=kx 有三个实根。 4

f ' ? x ? ? ?3x2 ? 2ax ? b ,依题意,由 ? ?

? f ' (0) ? 0, 可求实数 a , b 的值; (Ⅱ)由(Ⅰ)可 2 ? f ' ( 3 ) ? 0, ?

3 2 ? ?? x ? x ( x ? 1), 求 得 f ( x) ? ? ,依题意 A,B 的横坐标互为相反数,不妨设 x ?1 ? ? 1)( x ? 1), ?c(e

A ? ?t , t 3 ? t 2 ? , B ? t , f ? t ? ? , ? t ? 0 ? , 分 t ? 1 与 t ? 1 讨 论 , 利 用 ?AOB 是 直 角 ,

??? ? ??? ? OA ? OB ? 0 , 即 可 求 得 实 数 c 的 取 值 范 围 ; ( Ⅲ ) 由 方 程 f ? x ? ? kx , 知
3 2 ? ?? x ? x ( x ? 1), kx ? ? , 可 知 0 一 定 是 方 程 的 根 , x?0 , 方 程 等 价 于 x ? e ? e ( x ? 1 ), ?

?? x 2 ? x( x ? 1且x ? 0), ?? x 2 ? x( x ? 1且x ? 0), ? ? , 构造函数 g ( x) ? ? x , 分 x ? 1且 x ? 0 与 k ?? x e ?e e ?e ? ? ( x ? 1). ( x ? 1), ? x ? x

x ? 1 两类讨论,即可确定 f ? x ? ? kx ? k ? R ? 的实根的个数.
试题解析: (Ⅰ)当 x<1 时, f ' ? x ? ? ?3x ? 2ax ? b .
2

因为函数 f(x)在 x=0,x= 解得 a=1,b=0.

? f ' (0) ? 0, 2 ? 处存在极值,所以 ? 2 3 ? f ' ( 3 ) ? 0, ?

(3 分)

3 2 ? ?? x ? x ( x ? 1), (Ⅱ)由(1)得 f ( x) ? ? x ?1 ? ? 1)( x ? 1), ?c(e

试卷第 14 页,总 15 页

根据条件知 A,B 的横坐标互为相反数,不妨设 A(-t,t +t ), B(t,f(t)(t>0). 分) 3 2 若 t<1,则 f(t)=-t +t , 由∠AOB 是直角得 OA ? OB =0,即-t +(t +t )(-t +t )=0, 即 t -t +1=0.此时无解; (5 分) t―1 若 t≥1,则 f(t)=c(e ―1).由于 AB 的中点在 y 轴上,且∠AOB 是直角, 所以 B 点不可能在 x 轴上,即 t≠1. 同理 OA ? OB =0, 即-t +( t +t )?c(e 整理后得
c? 1 (t ? 1)(et ?1 ? 1)
t-1 2 3 2 t―1 4 2 2 3 2 3 2

3

2

(4

―1)=0, (7 分)

.

因为函数 y=(t+1)(e ―1)在 t>1 上的值域是(0, +∞), 所以实数 c 的取值范围是(0, +∞). (3)由方程 f(x)=kx,
3 2 ? ?? x ? x ( x ? 1), 知 kx ? ? x ? ?e ? e( x ? 1),

(8 分)

因为 0 一定是方程的根, 所以仅就 x≠0 时进行研究:

(9 分)

?? x 2 ? x( x ? 1且x ? 0), ? 方程等价于 k ? ? x e ?e ? ( x ? 1). ? x ?? x 2 ? x( x ? 1且x ? 0), ? 构造函数 g ( x) ? ? x e ?e ? ( x ? 1), ? x
2

(10 分)

对于 x<1 且 x≠0 部分,函数 g(x)=-x +x 的图象是开口向下的抛物线的一部分,当 x=

1 1 1 时取得最大值 ,其值域是(-∞, 0)∪(0, ]; 2 4 4
e x ( x ? 1) ? e ex ? e ? 0, ,由 g ' ( x) ? x x2

(11 分)

对于 x≥1 部分,函数 g ( x) ?

知函数 g(x)在(1, +∞)上单调递增,则 g(x) ? [0,+ ? ) 所以, ①当 k> ②当 k=

(13 分)

1 或 k<0 时,方程 f(x)=kx 有一个实根; 4

1 或 k=0 时,方程 f(x)=kx 有两个实根; 4 1 ③当 0<k< 时,方程 f(x)=kx 有三个实根。 (14 分) 4 考点:利用导数研究函数的极值;根的存在性及根的个数判断.

试卷第 15 页,总 15 页


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