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高考数学三角函数典型例题


三角函数典型例题
1 .设锐角 ?ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , a ? 2b sin A .

(Ⅰ B 的大小; )求 (Ⅱ cos A ? sin C 的取值范围. )求 2 .在 ?ABC 中,角 A. B.C 的对边分别为 a、b、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C. (Ⅰ )求角 B 的大小; (Ⅱ m ? ? sin A,cos 2 A? ,n ? ? 4k,1?? k ? 1? , 且 m ? n 的最大值是 5,求 k 的值. )设

??

?

?? ?
2

A? B C ? sin ? 2 . 3 .在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a,b,c , sin 2 2 I.试判断△ ABC 的形状; II.若△ ABC 的周长为 16,求面积的最大值. 3 4 .在 ?ABC 中,a、b、c 分别是角 A. B.C 的对边,C=2A, cos A ? , 4
0 0 7 0 3 1

(1)求 cosC , cos B 的值; (2)若 BA ? BC ?

6

27 ,求边 AC 的长? 2

2 5 .已知在 ?ABC 中, A ? B ,且 tan A 与 tan B 是方程 x

? 5 x ? 6 ? 0 的两个根.

(Ⅰ tan(A ? B) 的值; )求 (Ⅱ AB ? 5 ,求 BC 的长. )若 . 在 ?ABC 中 , 已 知 内 角

6

A .

B . C

所 对 的 边 分 别 为

a 、 b 、 c, 向 量

? ? ? B ? ? ? m ? 2 s i n , , n ? ? cos 2 B, 2cos 2 ? 1? ,且 m / / n ? B? 3 2 ? ?
(I)求锐角 B 的大小; (II)如果 b ? 2 ,求 ?ABC 的面积 S?ABC 的最大值?
7 .在 ?ABC 中,角 A. B.C 所对的边分别是 a,b,c,且 a ? c ? b ?
2 2 2

?

?

1 ac. 2

(1)求 sin

2

A?C ? cos 2 B 的值; 2

(2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值.

sin( ? ? ) 4 8 .已知 tan? ? a, (a ? 1) ,求 ? tan 2? 的值? ? sin( ? ? ) 2
3? ? ? sin ? 5? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? 2 ? ? 9 .已知 f ?? ? ? 3? ? ?? ? ? sin ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? tan ?? ? 3? ? 2 ? 2? ? ?
(I)化简 f

?

?? ?
第 1 页 共 4 页

(II)若 ? 是第三象限角,且 cos ?

? 3? ? 1 ? ? ? ? ,求 f ?? ? 的值? ? 2 ? 5

10.已知函数 f(x)=sin x+

2

3 sinxcosx+2cos2x,x ? R.

(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调增区间; (2)函数 f(x)的图象可以由函数 y=sin2x(x∈ R)的图象经过怎样的变换得到?
11.已知 a ? ?

? 3 3? ?x ?x ? ? 2 ,? 2 ? , b ? (sin 4 , cos 4 ) , f ( x) ? a ? b ? ? ?

(1)求 f (x) 的单调递减区间? (2)若函数 y ? g (x) 与 y ? f (x) 关于直线 x ? 1 对称,求当 x ? [0, ] 时, y ? g (x) 的最大值?
12.已知 cos ? ? ?2sin ? ,求下列各式的值;

4 3

(1)

2sin ? ? cos ? ; sin ? ? 3cos ?
2

(2) sin ? ? 2sin ? cos ?
13.设向量 a ? (sin x,cos x), b ? (cos x,cos x), x ? R ,函数 f ( x) ? a ? (a ? b)

(I)求函数 f ( x ) 的最大值与最小正周期; (II)求使不等式 f ( x ) ?

3 成立的 x 的取值集合? 2

14.已知向量 m

? (cos? ?

? 2 ,?1) , n ? (sin? ,1) , m 与 n 为共线向量,且 ? ? [ ? ,0] 2 3

(Ⅰ sin ? ? cos ? 的值; )求 (Ⅱ )求

sin 2? 的值.? sin ? ? cos ?

15.如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座

灯塔的塔顶?测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75 , 30 , 于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60 ,AC=0.1km?试探究图中 B,D 间距离与另外哪两点距离相等,然后求 B,D 的距离(计算结果精确到 0.01km, 2 ? 1.414, 6 ? 2.449)
16. 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0,? ? 0, 0? ? ?
0

0

0

?
2

)

的图象与 x 轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为

? 2? , ?2) . ,且图象上一个最低点为 M ( 3 2

第 2 页 共 4 页

(Ⅰ f ( x ) 的解析式;(Ⅱ x ? [ )求 )当

, ] ,求 f ( x) 的值域. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 12 2

? ?

18.已知 sin ? ? cos ? ?

1 ? ,? ? ( , ? ) , 5 2

3 3 4 4 求(1) sin ? ? cos ? (2) sin ? ? cos ? (3) sin ? ? cos ?

19.已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0 ,

? ? 0 , | ? |? ? )的一段图象

如图所示, (1)求函数的解析式; (2)求这个函数的单调递增区间。

20.已知 ?ABC 的内角 A. B.C 所对边分别为 a、b、c,设向量 m ? (1 ? cos( A ? B), cos

5 A? B 9 n ? ( , cos ) ,且 m ? n ? . 8 2 8 (Ⅰ )求 tan A ? tan B 的值; ab sin C (Ⅱ )求 2 的最大值. a ? b2 ? c2

A? B ), 2

21.已知函数 f ( x) ? (1 ? tan x)[1 ?

2 sin( 2 x ?

?
4

)] ,求:

(1)函数 f (x) 的定义域和值域;

(2)写出函数 f (x) 的单调递增区间。

22.如图为一个观览车示意图.该观览车圆半径为 4.8m,圆上最低点与地面距

离为 0.8m,60 秒转动一圈.途中 OA 与地面垂直.以 OA 为始边,逆时针 转动 ? 角到 OB .设 B 点与地面距离为 h . (1)求 h 与 ? 的函数解析式; (2)设从 OA 开始转动,经过 80 秒到达 OB ,求 h .

23.设函数

f ( x) ? a ? b, 其中向量 ? (2 cos x,1),b ? (cosx, 3 sin 2x ? m). a

[ (1)求函数 f ( x)的最小正周期和在0, ? ] 上的单调递增区间;
(2)当 x ? [0,

?
6

]时,?4 ? f ( x) ? 4恒成立 , 求实数 m 的取值范围。

24.已知函数

?π ? ?π π? f ( x) ? 2sin 2 ? ? x ? ? 3 cos 2 x , x ? ? , ? . ?4 ? ?4 2?

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(1)求 f (x) 的最大值和最小值; (2) f ( x) ? m ? 2 在 x ? ? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围. 4 2
25.在锐角△ABC 中,角 A. B.C 的对边分别为 a、b、c,已知 (b
2

?π π? ? ?

? c 2 ? a 2 ) tan A ? 3bc.

(I)求角 A; (II)若 a=2,求△ABC 面积 S 的最大值? 26.甲船由 A 岛出发向北偏东 45° 的方向作匀速直线航行,速度为 15 2 浬/小时,在甲船从 A 岛出发的同时,乙船从 A 岛正南 40 浬处的 B 岛出发,朝北偏东 θ( ? ? arctg 1 ) 的方向作匀速直线航
2

行,速度为 10

5 浬/小时.(如图所示)

(Ⅰ )求出发后 3 小时两船相距多少浬? (Ⅱ )求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少浬? 27.在锐角 ?ABC 中,已知内角 A. B.C 所对的边分别为 a、b、 c,且 (tanA-tanB)=1+tanA· B. tan (1)若 a2-ab=c2-b2,求 A. B.C 的大小; (2)已知向量 m =(sinA,cosA), n =(cosB,sinB),求|3 m -2 n |的取值范围.
28.如图,某住宅小区的平面图呈扇形 AO C.小区的两个出入口设置在点 A

?

?

?

?

及点 C 处,小区里有两条笔直的小路 AD,DC ,且拐弯处的转角为

C

120? .已知某人从 C 沿 CD 走到 D 用了 10 分钟,从 D 沿 DA 走到 A 用
了 6 分钟.若此人步行的速度为每分钟 50 米,求该扇形的半径 OA 的长 (精确到 1 米) .
29.已知角 ? 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点 P(?3, 3) .

A
1200

D
O

(1)求 tan? 的值; (2)定义行列式运算

a b sin ? ? ad ? bc ,求行列式 1 c d

tan ? 的值; cos ?

(3)若函数 f ( x) ? 求函数 y ? 3 f (

cos( x ? ? ) ? sin ? ( x ? R ), sin( x ? ? ) cos ?

?
2

? 2x) ? 2 f 2 ( x) 的最大值,并指出取到最大值时 x 的值

x ? k? ?

?
6

(k ?Z) .

30.已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)2 +cos2 x .

? ?? (Ⅰ )求函数 f ? x ? 的最小正周期;(Ⅱ x ? ?0, ? 时,求函数 f ? x ? 的最大值,并写出 x 相应的取值. )当 ? 2?

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