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江苏省宿迁市沭阳县2016-2017学年高一(上)期中数学试卷(解析版)


2016-2017 学年江苏省宿迁市沭阳县高一(上)期中数学试卷
一、填空题(共 14 小题,每小题 5 分,满分 70 分) 1.已知集合 A={1,2,3},B={3,4,5},则 A∩B= 2.已知幂函数 f(x)=k?xα 的图象过点( ,

. . .

) ,则 k+α=

3.已知函数 y=f(x)在 R 上为奇函数,当 x>0 时,f(x)=3x2﹣9,则 f(﹣2)= 4.方程 2x+( )x=2 的根为 5.函数 y= . .

的定义域是

6.已知函数 f(x)=

,则 f[f(1)]=



7.设 a=0.32,b=20.5,c=log24,则实数 a,b,c 的大小关系是 . (按从小到大的顺序用 不等号连接) 8.已知函数 f(x)=5x+b 的图象经过第一、三、四象限,则实数 b 的取值范围是 . x 9.已知函数 f(x)=2 +x﹣5,那么方程 f(x)=0 的解所在区间是(n,n+1) ,则 n= . x 10. y=a a 1 1 1 1 a 已知指数函数 ( > ) 在区间[﹣ ,]上的最大值比最小值大 , 则实数 的值为 . 11.设 lg(4a)+lgb=2lg(a﹣3b) ,则 log3 的值为 . .

12.已知方程 x2﹣2mx+4=0 的两个实数根均大于 1,则实数 m 的范围是 13.已知函数 f(x)=

在区间(﹣∞,+∞)内是减函数,则 a 的取

值范围是 . 14.已知函数 f(x)=|x|﹣x+1,则不等式 f(1﹣x2)>f(1﹣2x)的解集为 二、解答题(共 6 小题,满分 90 分) 15.已知全集 U=R,函数 f(x)=lg(4﹣x)﹣ <x<a}. (1)求集合?UA; (2)若 A∪B=B,求实数 a 的取值范围. 16.计算: (1) (2 ) ﹣(﹣9.6)0﹣(3 ) +(1.5)﹣2;



的定义域为集合 A,集合 B={x|﹣2

(2)lg5+lg2?lg5+(lg2)2+eln3. 17.销售甲、乙两种商品所得利润分别是 P(单位:万元)和 Q(单位:万元) ,它们与投 入资金 t(单位:万元)的关系有经验公式 P= t,Q= .今将 3 万元资金投入经营甲、

乙两种商品,其中对甲种商品投资 x(单位:万元) , (1)试建立总利润 y(单位:万元)关于 x 的函数关系式;
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(2)当对甲种商品投资 x(单位:万元)为多少时?总利润 y(单位:万元)值最大. 18.已知二次函数 t 满足 f(0)=f(2)=2,f(1)=1. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)当 x∈[﹣1,2]时,求 y=f(x)的值域; (3)设 h(x)=f(x)﹣mx 在[1,3]上是单调函数,求 m 的取值范围. 19.对于函数 f1(x) 、f2(x) 、h(x) ,如果存在实数 a,b 使得 h(x)=a?f1(x)+bf2(x) , 那么称 h(x)为 f1(x) 、f2(x)的和谐函数. (1)已知函数 f1(x)=x﹣1,f2(x)=3x+1,h(x)=2x+2,试判断 h(x)是否为 f1(x) 、 f2(x)的和谐函数?并说明理由; (2)已知 h(x)为函数 f1(x)=log3x,f2(x)=log x 的和谐函数,其中 a=2,b=1,若

方程 h(9x)+t?h(3x)=0 在 x∈[3,9]上有解,求实数 t 的取值范围. 20.已知函数 f(x)= , (a>0) .

(1)当 a=2 时,证明函数 f(x)不是奇函数; (2)判断函数 f(x)的单调性,并利用函数单调性的定义给出证明; (3)若 f(x)是奇函数,且 f(x)﹣x2+4x≥m 在 x∈[﹣2,2]时恒成立,求实数 m 的取 值范围.

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2016-2017 学年江苏省宿迁市沭阳县高一(上)期中数学 试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(共 14 小题,每小题 5 分,满分 70 分) 1.已知集合 A={1,2,3},B={3,4,5},则 A∩B= {3} . 【考点】交集及其运算. 【分析】由 A,B,求出两集合的交集即可. 【解答】解:∵A={1,2,3},B={3,4,5}, ∴A∩B={3}, 故答案为:{3}. 2.已知幂函数 f(x)=k?xα 的图象过点( , 【考点】幂函数的图象. 【分析】根据幂函数系数为 1,可以求出 k 的值,又由幂函数 f(x)=k?xα 的图象过点( , ) ,我们将点的坐标代入函数解析式,易求出 a 值,进而得到 k+α 的值. 【解答】解:由幂函数的定义得 k=1, 再将点( , )代入得 =( )α,

) ,则 k+α=



从而 α= ,故 k+α= . 故答案为: 3.已知函数 y=f(x)在 R 上为奇函数,当 x>0 时,f(x)=3x2﹣9,则 f(﹣2)= ﹣3 . 【考点】函数奇偶性的性质. 【分析】根据题意函数 y=f(x)在 R 上为奇函数,可得:f(0)=0,f(﹣x)=﹣f(x) .当 2 x>0 时,f(x)=3x ﹣9,求解 f(x)在 R 上解析式,再求 f(﹣2)的值. 【解答】解:由题意:函数 y=f(x)在 R 上为奇函数,可得:f(0)=0,f(﹣x)=﹣f(x) . 2 当 x>0 时,f(x)=3x ﹣9, 当 x<0 时,则﹣x>0,f(﹣x)=3x2﹣9, ∵f(﹣x)=﹣f(x) , 2 ∴f(x)=﹣3x +9,

故得 f(x)在 R 上解析式为:



∵﹣2<0,
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∴f(﹣2)=﹣3(﹣2)2+9=﹣3. 故答案为:﹣3. 4.方程 2x+( )x=2 的根为

0 .

【考点】函数的零点与方程根的关系. 【分析】利用方程求出 2x 的值,然后求解 x 的值即可. 【解答】解:方程 2x+( )x=2,化为: (2x)2﹣2?2x+1=0,解得 2x=1,可得 x=0. 故答案为:0.

5.函数 y=

的定义域是 [﹣3,1] .

【考点】函数的定义域及其求法. 【分析】根据被开方数不小于 0,构造不等式,解得答案. 【解答】解:由 3﹣2x﹣x2≥0 得:x2+2x﹣3≤0, 解得:x∈[﹣3,1], 故答案为:[﹣3,1]

6.已知函数 f(x)=

,则 f[f(1)]= 1 .

【考点】函数的值. 【分析】先将 x=1 代入第一段的解析式求出 f(1) ;再求出 f[f(1)]的值. 【解答】解:f(1)=log21=0 f[f(1)]=f(0)=1 故答案为 1 7.设 a=0.32,b=20.5,c=log24,则实数 a,b,c 的大小关系是 a<b<c . (按从小到大的 顺序用不等号连接) 【考点】对数值大小的比较. 【分析】运用指数函数和对数函数的单调性,即可判断大小. 【解答】解:由 0<a=0.32<1,1<b=20.5<2,c=log24=2, 可得 a<b<c. 故答案为:a<b<c. 8. =5x+b 的图象经过第一、 已知函数 f (x) 三、 四象限, 则实数 b 的取值范围是 b<﹣1 . 【考点】指数函数的图象变换. 【分析】由指数函数 y=5x 的图象过(0,1)点,且在第一、第二象限,结合函数的图象平 移得答案. 【解答】解:∵y=5x 的图象过(0,1)点,且在第一、第二象限, ∴要使函数 f(x)=5x+b 的图象经过第一、三、四象限,则 b<﹣1. 故答案为:b<﹣1.

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9.已知函数 f(x)=2x+x﹣5,那么方程 f(x)=0 的解所在区间是(n,n+1) ,则 n= 1 . 【考点】二分法的定义. 【分析】方程 2x+x﹣5=0 的解所在的区间就是函数 f(x)=2x+x﹣5 的零点所在的区间,根 据函数零点的判定定理可得函数 f(x)的零点所在的区间,由此可得结论. 【解答】解:令 f(x)=2x+x﹣5,则 方程 2x+x=5 的解所在的区间就是函数 f(x)=2x+x﹣5 的零点所在的区间. 由于 f(1)=2+1﹣5=﹣2<0,f(2)=4+2﹣5=1>0, 根据函数零点的判定定理可得函数 f(x)=2x+x﹣5 的零点所在的区间为(1,2) , 方程 f(x)=0 的解所在区间是(n,n+1) , n=1 ∴ , 故答案为:1. 10.已知指数函数 y=ax(a>1)在区间[﹣1,1]上的最大值比最小值大 1,则实数 a 的值为 . 【考点】指数函数的图象与性质. 【分析】根据函数的单调性得到关于 a 的方程,解出即可. 【解答】解:当 a>1 时,y=ax 在[﹣1,1]上单调递增, ∴当 x=﹣1 时,y 取到最小值 a﹣1,当 x=1 时,y 取到最大值 a, ∴a﹣a﹣1=1, 解得:a= 故答案为: , .

11.设 lg(4a)+lgb=2lg(a﹣3b) ,则 log3 的值为 2 . 【考点】对数的运算性质. 【分析】利用对数运算法则化简已知条件,推出结果即可. 【解答】解:lg(4a)+lgb=2lg(a﹣3b) ,a>3b>0 2 2 2 可得 4ab=(a﹣3b) =a ﹣6ab+9b , 即:a2﹣10ab+9b2=0,即(a﹣b) (a﹣9b)=0, 可得 a=b(舍去)或 a=9b. log3 =log39=2. 故答案为:2. 12.已知方程 x2﹣2mx+4=0 的两个实数根均大于 1,则实数 m 的范围是



【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系. 【分析】令 f(x)=x2﹣2mx+4,利用二次函数的零点与判别式、对称轴及区间端点处的函 数值,列出不等式组,求出解集即可得出答案. 【解答】解:令 f(x)=x2﹣2mx+4, ∵方程 x2﹣2mx+4=0 的两个实数根都大于 1,
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,即



解得

, ,

∴实数 m 的取值范围是 故答案为: .

13.已知函数 f(x)=

在区间(﹣∞,+∞)内是减函数,则 a 的取

值范围是



【考点】分段函数的应用;函数单调性的判断与证明. 【分析】若函数 f(x)= 在区间(﹣∞,+∞)内是减函数,则

,解得 a 的取值范围.

【解答】解:∵函数 f(x)=

在区间(﹣∞,+∞)内是减函数,





解得 a∈ 故答案为:



14.已知函数 f(x)=|x|﹣x+1,则不等式 f(1﹣x2)>f(1﹣2x)的解集为 {x|x>2 或 x <﹣1} . 【考点】其他不等式的解法. 【分析】对 x≥0 和 x<0 进行讨论去掉绝对值,求出 f(x)的解析式,利用 f(x)的单调 性解不等式的即可. 【解答】解:由题意:函数 f(x)=|x|﹣x+1, 当 x≥0 时,f(x)=1,
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当 x<0 时,f(x)=﹣2x+1. 故得 f(x)的解析式为 f(x)= ∵f(x)=﹣2x+1 是减函数, 当 x<0 时:∴不等式 f(1﹣x2)>f(1﹣2x)转化为: ,

,解得:x>2;



时,不等式恒成立.

解得:x<﹣1. 综上所得:不等式 f(1﹣x2)>f(1﹣2x)的解集为为{x|x>2 或 x<﹣1}. 故答案为:{x|x>2 或 x<﹣1}. 二、解答题(共 6 小题,满分 90 分) 15.已知全集 U=R,函数 f(x)=lg(4﹣x)﹣ 的定义域为集合 A,集合 B={x|﹣2

<x<a}. (1)求集合?UA; (2)若 A∪B=B,求实数 a 的取值范围. 【考点】集合的包含关系判断及应用;补集及其运算;函数的定义域及其求法. 【分析】 (1)根据题意,求出函数 的定义域,即可得集合 A,进而由

补集的定义计算可得答案; (2)因为 A∪B=B,所以 A? B,进而集合包含关系分析可得答案. 【解答】解: (1)对于函数 ,

所以

,解可得﹣1<x<4,

即 A=(﹣1,4)…6 分 所以 CUA=(﹣∞,﹣1]∪[4,+∞)…8 分 (2)因为 A∪B=B,所以 A? B…12 分 所以 a≥4…14 分. 16.计算: (1) (2 ) ﹣(﹣9.6)0﹣(3 ) +(1.5)﹣2;

(2)lg5+lg2?lg5+(lg2)2+eln3. 【考点】对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 【分析】 (1)利用有理指数幂的运算法则化简求解即可.
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(2)利用对数运算法则化简求解即可. 【解答】解: (1)原式= …7 分

(2)原式=lg5+(lg2+lg5)lg2+3=lg5+lg2?lg10+3=lg10+3=4…14 分. 17.销售甲、乙两种商品所得利润分别是 P(单位:万元)和 Q(单位:万元) ,它们与投 入资金 t(单位:万元)的关系有经验公式 P= t,Q= .今将 3 万元资金投入经营甲、

乙两种商品,其中对甲种商品投资 x(单位:万元) , 1 y x ( )试建立总利润 (单位:万元)关于 的函数关系式; (2)当对甲种商品投资 x(单位:万元)为多少时?总利润 y(单位:万元)值最大. 【考点】函数模型的选择与应用. 【分析】 (1)通过设出甲投资以及乙投资的数目,设立函数表达式,根据函数式直接写出定 义域; (2)对于(1)中的函数解析式,利用换元法转化成一个二次函数的形式,最后结合二次函 数的最值求法得出函数的最大值,从而解决问题. 【解答】解: (1) (2)设 (0≤x≤3)…6 分 ,…8 分 . 当 时,即 时, .…13 分 …14 万元. …12 分

,x=3﹣t2,因为 0≤x≤3,所以

答: 应甲种商品投资 万元, 对乙种商品投资 万元时, 总利润最大, 最大值为 分. 18.已知二次函数 t 满足 f(0)=f(2)=2,f(1)=1. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)当 x∈[﹣1,2]时,求 y=f(x)的值域; (3)设 h(x)=f(x)﹣mx 在[1,3]上是单调函数,求 m 的取值范围.

【考点】二次函数的性质;函数单调性的判断与证明. 【分析】 (1)由题意可设 f(x)=a(x﹣1)2+1,代值计算即可, (2)根据二次函数的图象和性质求解即可; (3)根据题意可知对称轴不在区间内即可. 【解答】解: (1)由题意可设 f(x)=a(x﹣1)2+1,因为 f(0)=2,所以 a?(0﹣1)2+1=2, 解得:a=1,即 f(x)=(x﹣1)2+1. (2)因为 x∈[﹣1,2],f(x)在[﹣1,1]为减函数,f(x)在[1,2]为增函数. 当 x=1 时,ymin=1. 当 x=﹣1 时,ymax=5.所以 y=f(x)的值域是[1,5], (3)因为 h(x)=f(x)﹣mx=x2﹣(m+2)x+2 在[1,3]上是单调函数, 所以 或 ,即 m≤0 或 m≥4.
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综上:当 m≤0 或 m≥4,h(x)=f(x)﹣mx 在[1,3]上是单调函数. 19.对于函数 f1(x) 、f2(x) 、h(x) ,如果存在实数 a,b 使得 h(x)=a?f1(x)+bf2(x) , 那么称 h(x)为 f1(x) 、f2(x)的和谐函数. (1)已知函数 f1(x)=x﹣1,f2(x)=3x+1,h(x)=2x+2,试判断 h(x)是否为 f1(x) 、 f2(x)的和谐函数?并说明理由; (2)已知 h(x)为函数 f1(x)=log3x,f2(x)=log x 的和谐函数,其中 a=2,b=1,若

方程 h(9x)+t?h(3x)=0 在 x∈[3,9]上有解,求实数 t 的取值范围. 【考点】函数与方程的综合运用;函数的值. 【分析】 (1)h(x)是 f1(x) 、f2(x)的和谐函数,存在 a=﹣1,b=1,设 h(x)=af1(x) +bf2(x) ,利用新定义判断即可. (2)解法一:方程 在 x∈[3,

9]上有解,即 log3(9x)+t?log3(3x)=0 在 x∈[3,9]上有解,设 m=log3x,x∈[3,9], 则 m∈[1,2],原问题可以转化关于 m 的方程(1+t)m+(t+2)=0 在 m∈[1,2]上有解, 令 g(m)=(1+t)m+(t+2)通过 g(1)?g(2)≤0,求解即可. (2)解法二:log3(9x)+t?log3(3x)=0,化简得:2+log3x+t(1+log3x)=0,原式可转化 为方程 在 x∈[3,9]区间上有解,即求函数 在 x∈[3,

9]的值域,通过分离常数法,求解即可. 【解答】解: (1)h(x)是 f1(x) 、f2(x)的和谐函数,因为存在 a=﹣1,b=1 使 h(x)=﹣f1(x)+f2(x)…2 分 设 h(x)=af1(x)+bf2(x) ,则 2x+2=a(x﹣1)+b(3x+1) , 所以 ,

所以 h(x)是 f1(x) 、f2(x)的和谐函数.…6 分 (2) 解法一: 依题意, 由方程 x∈[3,9]上有解,即 log3(9x)+t?log3(3x)=0 在 x∈[3,9]上有解, 化简得:2+log3x+t(1+log3x)=0…10 分 设 m=log3x,x∈[3,9],则 m∈[1,2],即 (1+m)?t+(t+2)=0 原问题可以转化关于 m 的方程(1+t)m+(t+2)=0 在 m∈[1,2]上有解, 令 g(m)=(1+t)m+(t+2)…13 分 由题意得:g(1)?g(2)≤0,解得 综上: …16 分 . 在

(2)解法二:log3(9x)+t?log3(3x)=0,化简得:2+log3x+t(1+log3x)=0…10 分 因为 x∈[3,9],所以(1+log3x)∈[2,3], 原式可转化为方程 在 x∈[3,9]区间上有解

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即求函数

在 x∈[3,9]的值域…12 分



,因为 2≤1+log3x≤3

由反比例函数性质可得,函数 g(x)的值域为 所以实数 t 的取值范围 .…16 分.

20.已知函数 f(x)=

, (a>0) .

(1)当 a=2 时,证明函数 f(x)不是奇函数; (2)判断函数 f(x)的单调性,并利用函数单调性的定义给出证明; (3)若 f(x)是奇函数,且 f(x)﹣x2+4x≥m 在 x∈[﹣2,2]时恒成立,求实数 m 的取 值范围. 【考点】函数恒成立问题;函数单调性的判断与证明. 【分析】 (1)当 a=2 时,f(x)= ,根据 f(﹣1)≠﹣f(1) ,可得函数 f(x)不是

奇函数; (2)函数 f(x)在 R 上为单调增函数,取 x1<x2,利用作差法,判断出 f(x1)<f(x2) , 再由函数单调性的定义,可得结论; (3)若 f(x)是奇函数,可得 a=1.令 g(x)=f(x)﹣x2+4x,判断函数的单调性,进而 求出函数的最小值,进而可得实数 m 的取值范围. 【解答】证明: (1)当 a=2 时,f(x)= ,因为 f(1)=0,f(﹣1)=﹣1,

所以 f(﹣1)≠﹣f(1) , 故 f(x)不是奇函数; …4 分 解: (2)函数 f(x)在 R 上为单调增函数,…6 分 证明:设 x1<x2,则 f(x1)﹣f(x2)= ∵x1<x2,∴ <0,且 , ﹣ = …8 分



又∵a>0, ∴1+a>0, ∴f(x1)﹣f(x2)<0,故 f(x1)<f(x2) , ∴函数 f(x)在 R 上为单调增函数…10 分 (3)因为 f(x)是奇函数,所以 f(﹣x)=﹣f(x)对任意 x∈R 恒成立.

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+

=0 对任意 x∈R 恒成立.

化简整理得

对任意 x∈R 恒成立.

∴a=1…12 分 因为 f(x)﹣x2+4x≥m 在 x∈[﹣2,2]时恒成立, 令 g(x)=f(x)﹣x2+4x,设 x1,x2∈[﹣2,2],且 x1<x2, 则 g(x1)﹣g(x2)=[f(x1)﹣f(x2)]+(x1﹣x2) (4﹣x1﹣x2) , 2 f x f x 0 x x 4 x x 由( )可知, ( 1)﹣ ( 2)< ,又( 1﹣ 2) ( ﹣ 1﹣ 2)<0, 所以 g(x1)﹣g(x2)<0,即 g(x1)<g(x2) , 2 故函数 g(x)=f(x)﹣x +4x 在 x∈[﹣2,2]上是增函数…14 分(直接判断出单调性也给分) 所以当 x=﹣2 时,函数 g(x)取最小值﹣ 故 m≤﹣ , ]…16 分. ,

因此 m 的取值范围是(﹣∞,﹣

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2016 年 11 月 26 日

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