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《 函数的极值与导数》导学案


第 6 课时
1.理解求函数极大值与极小值的方法. 2.极小值点与极大值点的概念.

函数的极值与导数

3.应用极值解决求参数值、参数取值范围、判断函数零点的个数,证明不等式等问题.

若函数 f(x)的定义域为区间(a,b),导数 f'(x)在(a,b)内的图象如图所示,用极值的定义你能判断函数 f(x)在 (a,b)内的极小值点有几个吗?

问题 1:判断函数 y=f(x)的极值的一般方法 解方程 f'(x)=0.当 f'(x0)=0 时: (1)如果在 x0 附近的左侧 f'(x0)>0,右侧 f'(x0)<0,那么 f(x0)是 (2)如果在 x0 附近的左侧 f'(x0)<0,右侧 f'(x0)>0,那么 f(x0)是 问题 2:用导数求函数极值的方法和步骤 如果 y=f(x)在某个区间内有导数,则可以这样求它的极值. 第一步,求导数 f'(x). 第二步,求方程 的根 x=x0. ,若不是,则 第三步,判断 x=x0 是不是函数的极值点,若是,则求 f(x0)的值,即为 ;

.

.

问题 3:函数的极值有助于分析函数的最值与值域吗?与函数单调性的关系呢? 函数的极值有助于分析函数的最值或值域,其实质就是函数单调性的升华.

1.已知 f'(x0)=0,则下列结论中正确的是( A.x0 一定是极值点

).

B.如果在 x0 附近的左侧 f'(x)>0,右侧 f'(x)<0,那么 f(x0)是极大值 C.如果在 x0 附近的左侧 f'(x)>0,右侧 f'(x)<0,那么 f(x0)是极小值 D.如果在 x0 附近的左侧 f'(x)<0,右侧 f'(x)>0,那么 f(x0)是极大值 2.函数 y=ax3+bx2 取得极大值和极小值时的 x 的值分别为 0 和 ,则( A.a-2b=0 B.2a-b=0 C.2a+b=0 D.a+2b=0 ).

3.若函数 y=-x3+6x2+m 的极大值为 13,则实数 m= 4 .若

.

y=x3+kx

在 R 上无极值,求 k 的取值范围.

利用导数求函数的极值 求函数 f(x)= x3-4x+4 的极值.

利用函数的极值和极值点求函数的相关系数 已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,当 x=-1 时,取得极大值 7;当 x=3 时,取得极小值,求 f(x)的极小值及 a、b、c 的值.

函数的极值与零点问题 已知函数 f(x)= x3-bx2+c(b,c 为常数).当 x=2 时,函数 f(x)取得极值,若函数 f(x)只有三个零点,求实数 c 的 取值范围.

已知函数 f(x)=2ln x+ ,求 f(x)的极值.

已知函数 f(x)= x3- (2a+1)x2+(a2+a)x.若 f(x)在 x=1 处取得极大值,求实数 a 的值.

设 a∈R,函数 f(x)=x3-x2-x+a. (1)求 f(x)的极值; (2)方程 x3-x2-x+a=0 有 3 个实根,求 a 的取值范围.

1.函数 f(x)=x3-3x2-9x(-2<x<2)有(

).

A.极大值 5,极小值-27 B.极大值 5,极小值-11

C.极大值 5,无极小值 D.极小值-27,无极大值 2.函数 y=x3-3bx+3b 在(0,1)内有极小值,则 b 的取值范围是( A.0<b<1 B.b<1 C.b<0 或 b>1 D.b>0 条件. ).

3.若函数 y=f(x)是定义在 R 上的可导函数,则“f'(x0)=0”是“x0 为函数 y=f(x)的极值点”的 4.已知 x=2 是函数

f(x)=(x2+ax-2a-3)ex 的一个极值点.求实数

a 的值.

(2011 年·福建卷)若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x3-ax2-2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值等于( A.2 B.3 C.6 D.9 考题变式(我来改编):

).

第 6 课时
知识体系梳理 问题 1:(1)极大值 问题 2:f'(x)=0 基础学习交流 (2)极小值 无极值 极值

函数的极值与导数

1.B 直接根据极值概念判断,也可画出图象进行分析. 2.D y'=3ax2+2bx,据题意,0、 是方程 3ax2+2bx=0 的两根,∴- = ,∴a+2b=0.

3.-19 y'=-3x2+12x,由 y'=0,得 x=0 或 x=4,容易得出当 x=4 时函数取得极大值,所以-43+6×42+m=13,解得

m=-19. 4.解:y'=3x2+k,∵y=x3+kx 在 R 上无极值, ∴y'≥0 恒成立,∴k∈[0,+∞).
重点难点探究 探究一:【解析】因为 f(x)= x3-4x+4,所以 f'(x)=x2-4=(x-2)(x+2), 令 f'(x)=0,解得 x=2 或 x=-2. 下面分两种情况讨论: (1)当 f'(x)>0 时, x>2 或 x<-2; (2)当 f'(x)<0 时,-2<x<2. 当 x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x f'(x) f(x)
(-∞,-2)

-2
0

(-2,2)

2 0

(2,+∞)

+
单调递增

单调递减

+
单调递增

-

因此,当 x=-2 时,f(x)有极大值,且极大值为 f(-2)= ;当 x=2 时,f(x)有极小值,且极小值为 f(2)=- . 【小结】求函数 y=f(x)极值的方法:求 f'(x),解方程 f'(x)=0. 当 f'(x0)=0 时, 如果在 x=x0 附近的左侧 f'(x)>0,右侧 f'(x)<0,那么 f(x0)是极大值. 如果在 x=x0 附近的左侧 f'(x)<0,右侧 f'(x)>0,那么 f(x0)是极小值. 探究二:【解析】f'(x)=3x2+2ax+b,据题意知-1,3 是方程 3x2+2ax+b=0 的两个根,



∴a=-3,b=-9.

∴f(x)=x3-3x2-9x+c. ∵f(-1)=7,∴c=2. 极小值 f(3)=33-3×32-9×3+2=-25. ∴极小值为-25,a=-3,b=-9,c=2.
【小结】 本题灵活应用韦达定理使求解更加方便,解题关键就是要理解极值与导数的关系,函数过点(-1,7) 是求出 c 的思维障碍点. 探究三:【解析】∵f(x)= x3-bx2+c,∴f'(x)=x2-2bx.

∵x=2 时,f(x)取得极值,∴22-2b×2=0,解得 b=1, ∴f(x)= x3-x2+c,∴f'(x)=x2-2x=x(x-2), ∴当 x∈(-∞,0)时,f(x)单调递增; 当 x∈(0,2)时,f(x)单调递减; 当 x∈(2,+∞)时,f(x)单调递增. 若 f(x)=0 有 3 个实根,
则 解得 0<c< ,

∴实数 c 的取值范围为(0, ).
【小结】 分析函数的极值对解决问题有很大的帮助,本题通过函数的极值解决函数的零点,关键就是求函 数的极值. 思维拓展应用 应用一:f(x)=2ln x+ ,且函数 f(x)的定义成为(0,+∞),f'(x)= - =

.

由 f'(x)=

>0,解得 x> ,∴f(x)在(0, )上是减函数,在( ,+∞)上是增函数.

∴f(x)的极小值为 f( )=2-2ln 2,无极大值.
应用二:(法一)因为 f'(x)=x2-(2a+1)x+(a2+a)=(x-a)[x-(a+1)].令 f'(x)=0,得 x1=(a+1),x2=a,所以 f'(x),f(x)随 x 的变化情况如下表:
x f'(x) f(x)
(-∞,a)

a
0 极大值

(a,a+1)

a+1
0 极小值

(a+1,+∞)

+
递增

递减

+
递增

因为 f(x)在 x=1 处取得极大值,所以 a=1. (法二)由 f'(1)=0 得(1-a)[1-(a+1)]=0,得 a=0 或 a=1,再用单调性验证即得 a=1. 应用三:(1)f'(x)=3x2-2x-1,令 f'(x)=0,即 3x2-2x-1=0,得 x=- 或 1. 当 x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x f'(x) f(x)
(-∞,- )

0 极大值

(- ,1)

1 0 极小值

(1,+∞)

+




+


∴f(x)极大值=f(- )= +a,f(x)极小值=f(1)=a-1.
(2)原题等价于函数 f(x)=x3-x2-x+a 与 y=0 有 3 个交点,∴a-1<0 且 +a>0,∴- <a<1. 基础智能检测 1.C 令 f'(x)=3x2-6x-9=0 得 x=3 或 x=-1,函数在(-2,-1)上递增,在(-1,2)上递减,故极大值为 f(-1)=5,无极小 值. 2.A y'=3x2-3b,结合图象可知 解得 0<b<1.

3.必要不充分 f'(x0)=0 不一定能得出 x0 为极值点.如 f(x)=x3,f'(0)=0,但 0 不是极值点,若 x0 为 y=f(x)的极值 点,一定能得出 f'(x0)=0. 4.解:由 f(x)=(x2+ax-2a-3)ex 可得,

f'(x)=(2x+a)ex+(x2+ax-2a-3)ex =[x2+(2+a)x-a-3]ex. ∵x=2 是函数 f(x)的一个极值点,∴f'(2)=0. ∴(a+5)e2=0,解得 a=-5.
全新视角拓展 D 因为 f'(x)=12x2-2ax-2b,由极值的充要条件得 f(1)=0?12-2a-2b=0?a+b=6,再由均值不等式可得

ab≤(

)2 = 9 .


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