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数学:2.2《直线、平面平行的判定及其性质》测试(新人教A版必修2)


2. 2《直线、平面平行的判定及其性质》测试
第 1 题. 已知 ?

? ? a , ? ? ? m , ? ? ? b ,且 m//? ,求证: a//b .

答案:证明:

? ? m? ? ? ? m//? ? ? m//a ? ? a//b . ? ? ? ? a? ? 同理 ? m//b ?

?

?
b

?
a

?

m

第 2 题. 已知: ?

? ? b , a//? , a//? ,则 a 与 b 的位置关系是(
B. a ? b D. a , b 异面



A. a//b C. a , b 相交但不垂直 答案:A.

第 3 题. 如图, 已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外的一点,E ,F 分别是 PA ,BD 上 的点且 PE∶EA ? BF ∶FD ,求证: EF// 平面 PBC .

P

E
D F

C

A

B

第 - 1 - 页 共 17 页

答案:证明:连结 AF 并延长交 BC 于 M .连结 PM ,

BF MF PE BF PE MF ? ? ? ,又由已知 ,∴ . FD FA EA FD EA FA 由平面几何知识可得 EF// PM ,又 EF ? PBC , PM ? 平面 PBC , ∴ EF// 平面 PBC .
∵ AD//BC ,∴

第 4 题. 如图,长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, E1 F 1 1 上的线段,求证: E1 F 1// 平 1 是平面 AC 面 AC .

D1 A1

F1

C1
B1
C
B

E1
D

A

答案: 证明: 如图, 分别在 AB 和 CD 上截取 AE ? A1E1 ,DF ? D1F1 , 连接 EE1 ,FF1 ,EF .

∵ 长方体 AC1 的各个面为矩形,

∴ A1E1 平行且等于 AE , D1F1 平行且等于 DF ,
故四边形 AEE1 A 1 , DFF 1D 1 为平行四边形.

∴ EE1 平行且等于 AA1 , FF1 平行且等于 DD1 . ∵ AA1 平行且等于 DD1 ,∴ EE1 平行且等于 FF1 ,
四边形 EFF1 E1 为平行四边形, E1F 1//EF .

∵ EF ? 平面 ABCD , E1F1 ? 平面 ABCD , ∴ E1F1// 平面 ABCD .

D1 A1

F1

C1
B1

E1
D F

C
B

A

E第

- 2 - 页 共 17 页

第 5 题. 如图,在正方形 ABCD 中, BD 的圆心是 A ,半径为 AB , BD 是正方形 ABCD 的 对角线,正方形以 AB 所在直线为轴旋转一周.则图中Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ三部分旋转所得几何体的体 积之比为 .

A
Ⅰ Ⅱ Ⅲ

D

B
答案: 1∶1∶1

C

第 6 题. 如图,正方形 ABCD 的边长为 13 ,平面 ABCD 外一点 P 到正方形各顶点的距离都 是 13 , M , N 分别是 PA , DB 上的点,且 PM ∶MA ? BN∶ND ? 5∶8 . (1) 求证:直线 MN // 平面 PBC ; (2) 求线段 MN 的长.

P

M
D

C
N

E

A

B

(1) 答案:证明:连接 AN 并延长交 BC 于 E ,连接 PE ,

第 - 3 - 页 共 17 页

BN NE ? . ND AN BN PM NE PM ∵ ? ? ,∴ . ND MA AN MA ∴ MN //PE ,又 PE ? 平面 PBC , MN ? 平面 PBC , ∴ MN // 平面 PBC . ?; (2) 解:由 PB ? BC ? PC ? 13 ,得 ?PBC ? 60 BE BN 5 5 65 ? ? ,知 BE ? ? 13 ? 由 , AD ND 8 8 8 91 8 PE ? 7 . 由余弦定理可得 PE ? ,∴ MN ? 8 13
则由 AD//BC ,得

第 7 题. 如图,已知 P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一点, M 为 PB 的中点, 求证: PD// 平面 MAC .

P

M

B A

C
D

∴ PD//MO . 答案: 证明: 连接 AC 、BD 交点为 O , 连接 MO , 则 MO 为 △BDP 的中位线, ∵ PD ? 平面 MAC , MO ? 平面 MAC ,∴ PD// 平面 MAC .
P

M

B
A

C

O

第 - 4 - 页 共 17 页

D

E , F 分别是棱 BC , C1D1 的中点,求证: 第 8 题. 如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,

EF // 平面 BB1D1D .

D1 A1

F

C1
B1

D

C
B

A

E

答案:证明:如图,取 D1 B1 的中点 O ,连接 OF , OB ,

1 1 ∵ OF 平行且等于 B1C1 , BE 平行且等于 B1C1 , 2 2 ∴ OF 平行且等于 BE ,则 OFEB 为平行四边形, ∴ EF // BO .
∵ EF ? 平面 BB1D1D , BO ? 平面 BB1D1D ,
∴ EF // 平面 BB1D1D .

D1 A1
O

F

C1
B1

D

C
第 - 5 - 页 共 17 页E

A

B

第 9 题. 如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,试作出过 AC 且与直线 D 1 B 平行的截面,并 说明理由.

D1 A1 B1

C1

D

C
B

A

答案: 解: 如图, 连接 DB 交 AC 于点 O , 取 D1 D 的中点 M , 连接 MA ,MC , 则截面 MAC 即为所求作的截面.

D1 A1
M
D

C1
B1

C

A

O
B

∵ MO 为 △D1DB 的中位线,∴ D1B//MO .

∵ D1B ? 平面 MAC , MO ? 平面 MAC , ∴ D1B// 平面 MAC ,则截面 MAC 为过 AC 且与直线 D1B 平行的截面.

第 10 题. 设 a , b 是异面直线, a ?平面 ? ,则过 b 与 ? 平行的平面(
第 - 6 - 页 共 17 页



A.不存在 C.可能不存在也可能有 1 个 答案:C.

B.有 1 个 D.有 2 个以上

第 11 题. 如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,求证:平面 A 1 BD// 平面 CD 1B 1.

D1 A1 B1

C1

C
A
D

B

答案:证明: ?

? ? B1B ∥ A1 A ? B1B ∥D1D ∥D D A A ? 1 1 ?

? 四边形 BB1D1D 是平行四边形
? D1 B1//DB ? ? ? DB ? 平面A1 BD ? D B ? 平面A BD 1 ? 1 1 ? D1 B1//平面A1 BD ? ? ?同理B1C //平面A1 BD ?D B B C ? B 1 1 ? 1 1

? 平面B1CD1//平面A1BD .

第 12 题. 如图, M 、 N 、 P 分别为空间四边形 ABCD 的边 AB , BC , CD 上的点,且 AM ∶MB ? CN∶NB ? CP∶PD . 求证: (1) AC// 平面 MNP , BD// 平面 MNP ; (2)平面 MNP 与平面 ACD 的交线 //AC .
第 - 7 - 页 共 17 页

A

M

E

B

D

N
C
答案:证明: (1)

P

AM CN ? ? ? MN //AC ? MB NB ? AC ? 平面MNP ? ? AC //平面MNP . ? MN ? 平面MNP ? ? CN CP ? ? ? PN //BD ? NB PD ? BD ? 平面MNP ? BD//平面MNP . ? PN ? 平面MNP ? ?
(2)

设平面MNP 平面ACD ? PE ? ? AC ? 平面ACD ? ? PE //AC, ? AC //平面MNP ?
即平面MNP与平面ACD的交线//AC .

第 13 题. 如图,线段 AB , CD 所在直线是异面直 线, E , F ,G , H 分别是线段 AC ,CB , BD , DA 的中点. (1) 求证: EFGH 共面且 AB ∥ 面 EFGH , CD ∥ 面 EFGH ; (2) 设 P ,Q 分别是 AB 和 CD 上任意一点,求 证: PQ 被平面 EFGH 平分.

A E

H
M P

C

Q
F

N
G
B

D

第 - 8 - 页 共 17 页

答案:证明: (1)∵ E , F , G , H 分别是 AC , CB , BD , DA 的中点. ,

∴ EH //CD , FG//CD ,∴ EH //FG .因此, E , F , G , H 共面. ∵ CD//EH , CD ? 平面 EFGH , EH ? 平面 EFGH , ∴ CD// 平面 EFGH .同理 AB// 平面 EFGH .
(2)设 PQ 平面 EFGH = N ,连接 PC ,设 PC 平面 EFGH = MN ,

EF ? M .

△PCQ 所在平面

∵CQ// 平面 EFGH , CQ ? 平面 PCQ ,∴CQ//MN .
∵ EF 是 △ ABC 是的中位线, ∴ M 是 PC 的中点,则 N 是 PQ 的中点,即 PQ 被平面 EFGH 平分.

第 14 题. 过平面 ? 外的直线 l ,作一组平面与 ? 相交,如果所得的交线为 a , b , c , …, 则这些交线的位置关系为( ) A.都平行 B.都相交且一定交于同一点 C.都相交但不一定交于同一点 D.都平行或都交于同一点 答案:D.

第 15 题. a , b 是两条异面直线, A 是不在 a , b 上的点,则下列结论成立的是( A.过 A 且平行于 a 和 b 的平面可能不存在 B.过 A 有且只有一个平面平行于 a 和 b C.过 A 至少有一个平面平行于 a 和 b D.过 A 有无数个平面平行于 a 和 b 答案:A.



第 16 题. 若空间四边形 ABCD 的两条对角线 AC ,BD 的长分别是 8, 12, 过 AB 的中点 E 且 平行于 BD 、 AC 的截面四边形的周长为 . 答案:20.

第 - 9 - 页 共 17 页

第 17 题. 在空间四边形 ABCD 中, E , F , G , H 分别为 AB , BC , CD , DA 上的一 点,且 EFGH 为菱形,若 AC// 平面 EFGH , BD// 平面 EFGH , AC ? m , BD ? n , 则 AE:BE ? . 答案: m∶n .

? 的角,且 AD ? BC ? a ,平行于 第 18 题. 如图,空间四边形 ABCD 的对棱 AD 、 BC 成 60 AD 与 BC 的截面分别交 AB 、 AC 、 CD 、 BD 于 E 、 F 、 G 、 H . (1)求证:四边形 EGFH 为平行四边形; (2) E 在 AB 的何处时截面 EGFH 的面积最大?最大面积是多少?
A E
F

B

H

D

G

C

答案: (1)证明:∵ BC // 平面 EFGH , BC ? 平面 ABC , 平面 ABC 平面 EFGH ? EF ,

∴ BC//EF .同理 BC//GH , ∴ EF //GH ,同理 EH //FG , ∴ 四边形 EGFH 为平行四边形. ? 角, (2)解:∵ AD 与 BC 成 60
∴ ?HGF ? 60 ? 或 120 ? ,设 AE : AB ? x ,∵

EF AE ? ? x, BC AB

BC ? a ,∴ EF ? ax ,由
得 EH ? a(1 ? x) .

EH BE ? ? 1? x , AD AB

∴ S四边形EFGH ? EF ? EH ? sin 60 ?

? ax ? a(1 ? x) ?

3 2

?

3 2 3 2? 1 1? a (? x 2 ? x) ? a ??( x ? )2 ? ? . 2 2 2 4? ?
第 - 10 - 页 共 17 页

当x?

1 3 2 时, S最大值 ? a , 2 8

即当 E 为 AB 的 中点时,截面的面积最大,最大面积为

3 2 a . 8

第 19 题. P 为 △ ABC 所在平面外一点,平面 ? // 平面 ABC ,? 交线段 PA , PB , PC 于

A'B'C' , PA'∶A'A ? 2∶3 ,则 S△AB ' 'C' ∶S△ABC ?
答案: 4∶25



第 20 题. 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, ABCD 是平行四边形, M , N 分别是 AB , PC 的中点. 求证: MN // 平面 PAD .

P

N

D

C

A

M

B

答案:证明:如图,取 CD 的中点 E ,连接 NE , ME ∵ M , N 分别是 AB , PC 的中点,

∴ NE//PD , ME//AD , 可证明 NE// 平面 PAD , ME// 平面 PAD . 又 NE ME ? E , ∴ 平面 MNE// 平面 PAD , 又 MN ? 平面 MNE ,∴ MN // 平面 PAD .

第 - 11 - 页 共 17 页

P

N

D

E A

C

M

B

第 21 题. 已知平面 ? // 平面 ? , AB ,CD 是夹在两平行平面间的两条线段,A ,C 在 ? 内,

B , C 在 ? 内,点 E , F 分别在 AB , CD 上,且 AE∶EB ? CF∶FD ? m∶n .
求证: EF // 平面 ? . 答案:证明:分 AB , CD 是异面、共面两种情况讨论. (1) 当 AB , CD 共面时,如图( a )

∵? //? ,∴ AC//BD ,连接 E , F .
∵ AE∶EB ? CF∶FD ,∴ EF //AC//BD 且 EF ? ? , AC ? ? ,∴ EF // 平面 ? .

A

C

?

E

F D ?
图( a )

B

A

C

?

G
E
H
B

F D ?
第 - 12 - 页 共 17 图( 页 b)

(2) 当 AB , CD 异面时,如图( b ) ,过点 A 作 AH //CD 交 ? 于点 H .
∶ G H? m ∶ n 在 H 上取点 G ,使 AG , 连 接 EF , 由 ( 1 ) 证 明 可 得 G F// H D, 又

A G∶ G H? A ∶ E E得 B EG//BH .∴ 平面 EFG// 平面 ? // 平面 ? .
又 EF ? 面 EFG ,∴ EF // 平面 ? .

第 22 题. 已知 ?

? ? a , ? ? ? m , ? ? ? b ,且 m//? ,求证: a//b .

答案:证明:

? ? ? m? ? ? ? m//? ? ? m//a ? ? a//b . ? ? ? ?a? ? 同理 ? m//b ?

?
b

?
a

?

m

第 23 题. 三棱锥 A ? BCD 中, AB ? CD ? a ,截面 MNPQ 与 AB 、 CD 都平行,则截面

MNPQ 的周长是(
A. 4 a C. B. 2 a

) .

3a 2

D.周长与截面的位置有关

第 - 13 - 页 共 17 页

答案:B.

第 24 题. 已知: ?

? ? b , a//? , a//? ,则 a 与 b 的位置关系是(
B. a ? b D. a 、 b 异面

) .

A. a//b C. a 、 b 相交但不垂直 答案:A.

第 25 题. 如图,已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外的一点, E 、 F 分别是 PA 、 BD 上的点且 PE : EA ? BF : FD ,求证: EF// 平面 PBC .

P
E
D

C
A
F

B

答案:证明:连结 AF 并延长交 BC 于 M . 连结 PM ,

BF MF ? , FD FA PE BF PE MF ? ? 又由已知 ,∴ . EA FD EA FA 由平面几何知识可得 EF// PM , 又 EF ? PBC , PM ? 平面 PBC , ∴ EF// 平面 PBC .
∵ AD//BC ,∴

第 26 题. 如图,长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, E1 F 1 1 上的线段,求证: E1 F 1// 平 1 是平面 AC 面 ABCD .

D1 A1

F1

C1
B1
C
B

E1
D
第 - 14 - 页 共 A 17 页

答案: 证明: 如图, 分别在 AB 和 CD 上截得 AE ? A1E1 ,DF ? D1F1 , 连接 EE1 ,FF1 ,EF .

∵ 长方体 AC1 的各个面为矩形,

∴ EE1 平 行且等于 AA1 , FF1 平行且等于 DD1 . ∵ AA1 平行且等于 DD1 ,∴ EE1 平行且等于 FF1 ,
四边形 EFF1 E1 为平行四边形,

E1F1//EF .
∵ EF ? 平面 ABCD , E1F1 ? 平面 ABCD , ∴ E1F1// 平面 ABCD .

D1 A1

F1

C1
B1

E1
D F

C
B

A

E

第 27 题. 已知正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1, 求证:平面 AB1D1// 平面 C1BD .

D1 A1 B1

C1

D

C
B

A

第 - 15 - 页 共 17 页

答案:证明:因为 ABCD ? A 1B 1C1D 1 为正方体, 所以 D1C1//A 1B 1, D 1C1 ? A 1B 1. 又 AB//A 1B 1, 1B 1 , AB ? A 所以 D1C1//AB , D1C1 ? AB , 所以 D1C1BA 为平行四边形. 所以 D1 A//C1B .由直线与平面平行的判定定理得

D1 A// 平面 C1BD .
同理 D1 B1// 平面 C1BD ,又 D1 A 所以,平面 AB1D1// 平面 C1BD .

D1B1 ? D1 ,

第 28 题. 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面,求证:另一条也平行于这个 平面. 如 图,已知直线 a , b 平面 ? ,且 a//b , a//? , a , b 都在 ? 外. 求证: b//? .

?

a

b

?

c

答案:证明:过 a 作平面 ? ,使它与平面 ? 相交,交线为 c . 因为 a//? , a ? ? , ? 所以 a//c . 因为 a//b ,
第 - 16 - 页 共 17 页

? ? c,

所以 b//c . 又因为 c ? ? , b ? ? , 所以 b//? .

第 29 题. 如图,直线 AA' , BB ' , CC' 相交于 O , AO ? A'O , BO ? B'O , CO ? C'O . 求证: ABC// 平面 A'B'C' .

C'
B' A'

O
A B

C

' ' , AC//AC ' '. 答案:提示:容易证明 AB//AB 进而可证平面 ABC// 平面 A'B'C' .

第 30 题. 直线 a 与平面 ? 平行的充要条件是( A.直线 a 与平面 ? 内的一条直线平行 B.直线 a 与平面 ? 内两条直线不相交 C.直线 a 与平面 ? 内的任一条直线都不相交 D.直线 a 与平面 ? 内的无数条直线平行 答案:C.



第 - 17 - 页 共 17 页


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