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高中数学第二章平面向量18平面向量数量积习题课练习北师大版必修4

18 平面向量数量积习题课 时间:45 分钟 满分:80 分 班级________ 姓名________ 分数________ 一、选择题:(每小题 5 分,共 5?6=30 分) 1.已知平面向量 a=(1,-3),b=(4,-2),λ a+b 与 a 垂直,则 λ =( ) A.-1 B.1 C.-2 D.2 答案:A 解析:a=(1,-3),b=(4,-2),∴λ a+b=λ (1,-3)+(4,-2)=(λ +4,-3λ -2),∵λ a+b 与 a 垂直,∴λ +4+(-3)(-3λ -2)=0,∴λ =-1,故选 A. 2.设向量 a,b 均为单位向量,且|a+b|=1,则 a 与 b 的夹角为( ) π π A. B. 3 2 2π 3π C. D. 3 4 答案:C 1 2π 2 2 解析:∵|a+b|=1,∴|a| +2a?b+|b| =1,∴cos〈a,b〉=- ,∴〈a?b〉= . 2 3 3. 已知向量 a=(3,4), b=(6, t), 若 a 与 b 的夹角为锐角, 则实数 t 的取值范围是( ) A.(8,+∞) ? 9 ? B.?- ,8? ? 2 ? ? 9 ? C.?- ,+∞? ? 2 ? ? 9 ? D.?- ,8?∪(8,+∞) ? 2 ? 答案:D 9 解析:由题意,得 a?b>0,即 18+4t>0,解得 t>- .又当 t=8 时,两向量同向,应 2 去掉,故选 D. 4.如图,在四边形 ABCD 中,∠B=120°,∠C=150°,且 AB=3,BC=1,CD=2,则 AD 的长所在的区间为( ) A.(2,3) B.(3,4) C.(4,5) D.(5,6) 答案:C → → → → → → → → 解析:由向量的性质,知AD=AB+BC+CD,其中AB与BC的夹角为 60°,BC与CD的夹角 → → → 2 → → → 2 → 2 → 2 → 2 → → 为 30°, AB与CD的夹角为 90°, 于是|AD| =|AB+BC+CD| =|AB| +|BC| +|CD| +2AB?BC 1 3 → → → → +2BC?CD+2AB?CD=9+1+4+2?3?1? +2?1?2? +0=17+2 3 ∈(16,25),所 2 2 以 AD∈(4,5). → → 5. 在△ABC 中, AB=BC=4, ∠ABC=30°, AD 是边 BC 上的高, 则AD?AC的值等于( ) A.0 B.4 1 C.8 D.-4 答案:B → → 解析:因为∠ABC=30°,AD 是边 BC 上的高,所以∠BAD=60°,AD=2,则AD?AC= → → → → → → → AD?(BC-BA)=AD?BC-AD?BA=-2?4?cos120°=4,所以选 B. 6.已知 a、b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足(a-c)?(b-c)=0, 则|c|的最大值是( ) A.1 B.2 2 C. 2 D. 2 答案:C 2 2 解析:由 (a - c)?(b - c) = 0 得 a?b - (a + b)?c + c = 0 ,即 c = (a + b)?c ,故 |c|?|c|≤|a+b|?|c|,即|c|≤|a+b|= 2,故选 C. 二、填空题:(每小题 5 分,共 5?3=15 分) 7.已知向量 a,b 满足 b=(1, 3),b?(a-b)=-3,则向量 a 在 b 方向上的投影为 __________. 1 答案: 2 解析:|b|= 1 +? 3? =2 且由 b?(a-b)=-3,解得 a?b=1,所以 a 在 b 方向 a?b 1 上的投影为:|a|cos<a,b>= = . |b| 2 2 2 → → 8. △ABO 三顶点坐标为 A(1,0), B(0,2), O(0,0), P(x, y)是坐标平面内一点, 满足AP?OA → → → → ≤0,BP?OB≥0,则OB?AB的最小值为 __________. 答案:3 → → 解析:∵AP?OA=(x-1,y)?(1,0)=x-1≤0,∴x≤1.∴-x≥-1, → → ∵BP?OB=(x,y-2)?(0,2)=2(y-2)≥0,∴y≥2. → → ∴OP?AB=(x,y)?(-1,2)=2y-x≥3. 9.已知向量 a=(1,1),b=(-1,1),设向量 c 满足(2a-c)?(3b-c)=0,则|c|的最 大值为 __________. 答案: 26 1 2 解析:设 c=(x,y),则由题意得(2-x)?(-3-x)+(2-y)?(3-y)=0,即(x+ ) 2 5 2 13 +(y- ) = ,所以|c|的最大值为直径 26. 2 2 三、解答题:(共 35 分,11+12+12) → → → → 10. 已知在四边形 ABCD 中, AB=a, BC=b, CD=c, DA=d, 且 a?b=b?c=c?d=d?a, 判断四边形 ABCD 的形状. → → → → 解析:在四边形 ABCD 中,AB,BC,CD,DA四个向量顺次首尾相接,则其和向量为零向 量,故有 a+b+c+d=0, 2 2 ∴a+b=-(c+d),∴(a+b) =(c+d) , 2 2 2 2 即|a| +2a?b+|b| =|c| +2c?d=|d| . 2 2 2 2 又 a?b=c?d,∴|a| +|b| =|c| +|d| .① 2 2 2 2 同理有|a| +|d| =|c| +|b| ,② 由①②可得|a|=|c|,|b|=|d|,即此四边形两组对边分别相等. 2 故四边形 ABCD 为平行四边形. 另一方面,由 a?b=b?c,有 b?(a-c)=0,由平行四边形 ABCD 得 a=-c,代入上 式得 b?(2a)=0,即 a?b=0,故有 a⊥b,即 AB⊥BC. 综上,四边形 ABCD 是矩形. → → 11.已知在△ABC 中,AB=(2,3),AC=(1,k)

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