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2015-2016学年高中数学 2.2.2等差数列的性质课件 新人教A版必修5


2.2.2 等差数列的性质

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1.掌握等差数列的定义和通项公式. 2.探索发现等差数列的性质,并能应用性质灵活地解决一些实际问 题.

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题型1 利用等差数列的通项公式或性质解题
例 1 等差数列{an}中, 如果 a5=11, a8=5, 求数列的通项公式. 分析:求等差数列的通项公式只要求 a1、d 两个量即可.
? ?a5=a1+4d=11, ? ?a1=19, 解析:方法一 由题意 ? ?? ? ? ? ?a8=a1+7d=5 ?d=-2
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an=19+(n-1)×(-2), 故数列的通项公式为 an=21-2n(n∈N*). 方法二 a8-a5=5-11=3d?d=-2, a5=a1+4d?a1=19, 故 an=21-2n(n∈N*).

点评: 等差数列{an}的通项公式 an=a1+(n-1)d 中共含有四个变 数,即 a1,d,n,an.如果知道了其中任意三个数,就可以求出第四 个数,这种可行性与求出未知数的过程可以称为“知三求一”.有时 是用两种方式(或条件)给出了两个同类变数的值,就可以求出这个等 差数列其他未知数的值.
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1. 数列{an}各项的倒数组成等差数列, 如果 a3= +1,求 a11.

2-1, a5= 2

分析: 题目中给出了两个数列, 首先要清楚两个数列的关系, 数列{an}栏
目 链 并不是等差数列,它的倒数列才是等差数列.应首先根据等差数列的接

知识考虑倒数数列,后根据倒数关系求 a11.

解析:设{an}各项的倒数组成等差数列为{bn},则 b3= 2+1,b5= 2-1.
? ?b1+2d= 2+1, ? ?b1=3+ 2, ? ?? ? ? ?d=-1 ?b1+4d= 2-1
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?b11=b1+10d= 2-7 1 -7- 2 ?a11= = . b11 47

题型2 利用等差数列的性质解题
已知等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求此数列 的通项公式. 解析:方法一 ∵a1+a7=2a4,a1+a4+a7=3a4=15, ∴a4=5. 又∵a2a4a6=45,∴a2a6=9, 即(a4-2d)(a4+2d)=9,(5-2d)(5+2d)=9, 解得:d=±2. 若 d=2,an=a4+(n-4)d=2n-3;
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若 d=-2,an=a4+(n-4)d=13-2n. ∴an=2n-3 或 an=13-2n,n∈N*. 方法二 ∵a1+a7=2a4,a1+a4+a7=3a4=15, ∴a4=5, ∴a2+a6=2a4=10. 又∵a2a4a6=45,∴a2a6=9,从而 a2,a6 可看成方程 x2-10x+9 =0 的两根,
? ?a2=1, ? ?a2=9, 解得:? 或? ? ? ?a6=9 ?a6=1,
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∴an=2n-3 或 an=13-2n,n∈N*.
目 列出两个方程,确定 a1、d,然后求其他;②利用性质巧解,其中 m链 接

点评:等差数列的运算常用两条思路:①根据已知条件,寻找、 栏

+n=k+l=2s(m、n、k、l、s∈N*)?am+an=ak+al=2as.

2.在等差数列{an}中,a5+a13=40,则 a8+a9+a10 的值为( A.72 B.60 C.48 D.36

)

分析:在题目中的项很多,利用通项公式转化为两个基本量 a1 和 d,但并不能直接求出 a1 和 d,因此利用 a1 和 d 来寻找所求和已知 的等量关系. 解析:方法一 设此数列的首项为 a1,公差为 d,则 a5+a13=a1+4d+a1+12d=2a1+16d=40,

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即 a1+8d=20. a8+a9+a10=a1+7d+a1+8d+ a1+9d=3a1+24d=3(a1+8d)= 60.故选 B. 方法二 可以应用等差数列的性质: 若 m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则 am+an=ap+aq,所以有 a8+a10=a5+a13=2a9=40,故 a8+a9+a10=60.故选 B. 答案:B
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题型3 等差数列的运算

例 3 已知无穷等差数列{an},首项 a1=3,公差 d=-5,依次 取出项数被 4 除余 3 的项组成数列{bn}. (1)求 b1 和 b2; (2)求{bn}的通项公式; (3){bn}中的第 110 项是{an}的第几项? 分析:数列{bn}是数列{an}的一个子数列,其项数构成以 3 为首 项,4 为公差的等差数列,由于{an}是等差数列,则{bn}也是等差数 列.
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解析:(1)∵a1=3,d=-5, ∴an=3+(n-1)(-5)=8-5n(n∈N*). 数列{an}中项数被 4 除余 3 的项是{an}的第 3 项,第 7 项,第 11 项,?,这些项组成一个新的等差数列(第二问中加以证明),其首项 b1=a3=-7,b2=a7=-27. (2)设{an}中的第 m 项是{bn}的第 n 项, 即 bn=am,则 m=3+4(n-1)=4n-1, ∴bn=am=a4n-1=8-5(4n-1)=13-20n. ∵bn-bn-1=-20(n≥2,n∈N*),
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∴{bn}是等差数列,其通项公式为 bn=13-20n,n∈N*. (3)b110=13-20×110=-2 187,设它是{an}中的第 m 项,则-2 187=8-5m,则 m=439.
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点评:数列的项数相当于函数的自变量,通项公式相当于对应法 则,对数列的研究应很好地把握项数,研究数列的子数列一定要研究 二者项数的关系.

.3.三个数成等差数列,和为 6,积为-24,求这三个数. 解析:方法一 设等差数列的等差中项为 a,公差为 d,则这三 个数分别为 a-d,a,a+d. 依题意,3a=6 且 a(a-d)(a+d)=-24, 所以 a=2,代入 a(a-d)(a+d)=-24, 化简得 d2=16,于是 d=±4, 故三个数为-2,2,6 或 6,2,-2.
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方法二 设首项为 a,公差为 d,这三个数分别为 a,a+d,a+ 2d, 依题意,3a+3d=6 且 a(a+d)(a+2d)=-24, 所以 a=2-d,代入 a(a+d)(a+2d)=-24. 得 2(2-d)(2+d)=-24,4-d2=-12, 即 d2=16,于是 d=±4,三个数为-2,2,6 或 6,2,-2.
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